Determinante como fator de escala

eu quero fazer uma representação gráfica em r 2 para isso vou precisar dos dois eixos aqui está o especificado agora o eixo horizontal em r 2 e digamos que eu tenha quatro pontos em r 2 e esses pontos estão especificados por quatro vetores posição meu primeiro ponto é o ponto 00 representado pelo vetor zero zero o chamariz vetor de a o segundo ponto é especificado por esse vetor aqui vetor k-10 é esse aqui esse vetor que estou destacando que vou chamá-lo de b vetor b o terceiro ponto foi está aqui é eu na verdade eu quero criar um retângulo que é formado por vetores posição então esse vetor eu acabei de desenhar aqui ele vai ser especificado é pela componente horizontal dele vai ser a mesma do vetor b componente cada um ea componente vertical dele é ser uma componente a 2 então esse é o vetor k1 k2 e vou chamá lo de ver torcer e último vetor ele vai ser responsável e vai ser ele vai ter as seguintes coordenadas a coordenada horizontal dele é zero ea coordenada vertical k2 esse vetor que eu vou chamar de vetor de agora nós vamos definir um conjunto 7 esse conjunto hatch vai ser um retângulo um retângulo esse retângulo é formado pela conexão de todos os pontos que estão especificados pelos vetores abcd então é tango formado pela conexão de todos os pontos especificados sobrevivia isso aqui pelos vetores posição dos vetores abcd a b c e d deixou fechar aqui nós retângulo portanto é definido por esses pontos aqui aqui aqui em volta também incluindo os vértices esse é o retângulo agora como que a gente faz para calcular a área desse retângulo qualquer a área do retângulo qual é nós sabemos que era de um retângulo é base vezes altura a base tem comprimento cada um ea altura tem comprimento k2 portanto a área do nosso retângulo é k 1 vezes k2 isso não é nada fácil durante todo mundo sabe disso mas agora nós vamos fazer uma transformação nesse conjunto nós vamos transformar esse retângulo a partir de uma transformação t que é um apenamento de r 2 em r 2 e eu vou aplicar essa transformação por um vetor x essa transformação é igual a uma matriz abcd vezes esse vetor x eu vou chamar essa matriz de matriz a a e agora nós vamos ver o que acontece quando aplicamos a transformação em cada um desses pontos aqui nós vimos há vários vídeos que a imagem do nosso retângulo nessa transformação para a gente ter isso é só pegar transformação de cada um dos pontos em seguida ligar esses novos pontos que nós vamos obter no contra o domínio que também vai ser r 2 começando às transformações vamos transformar esse vetor zero zero aplicando essa transformação no vetor zero zero nós vamos multiplicar essa matriz pelo vetor 00 vai ficar sem a 0 mas b0 a primeira coordenada 0 ea segunda coordenada 60 mais de 20 segundo o coordenado também 0 agora nós vamos ver a transformação do vetor b a transformação do vetor b transformação do vetor cá 10 para fazermos essa transformação nós vamos multiplicar essa matriz pelo vetor b vai ficar assim a fiscal mais bbb10 a calma ea segunda coordenada ser vezes cada um mais de 300 e tal fica seca 1 a transformação do pontos e vai se a transformação do vetor que têm as coordenadas k1 e k2 aplicar atrás mas só nós vamos ter a vezes k1 mais b vezes k2 a primeira coordenada a cada um mas ba2 e na segunda coordenada vamos ter c vezes cada um mais de vezes k2 c1 mais de 2 fica assim e agora a transformação do vetor de transformação desse setor com coordenadas 02 e aplicando essa transformação nós vamos ter a 0 mas bem vezes k2 que da bk dois apenas e vamos ter também 60 mais de vezes que a 2 então fica apenas de catadores esse é o vetor obtido na transformação desse aqui e agora nós vamos desenhar a imagem do nosso retângulo é relacionado a essa transformação que aplicamos aqui pra isso vou precisar dos eixos vertical e horizontal estão aqui os meus textos aqui vai ficar mapeado o vetor aqui o retorno eo mapeamento dele nós vimos que continua sendo um vetor nulo 0 0 eo vetor b se transformou em que transformou nesse setor aqui com coordenadas a k1 cecal então vai ser algo aqui assim esse é o vetor b coordenada ver horizontal a k1 coordenada vertical seca um mapeamento do vetor b a k 1600 e antes da gente olhar o mapeamento do vetor sei vamos olhar o mapeamento do vetor de vetor de mapeado ficou com essas coordenadas aqui bk 2 e de k2 é um vetor por aqui assim o coordenador horizontal mercado 2 e coordenada vertical de k2 então esse é o vetor ba2 com coordenadas bk 2 e de k2 é o mapeamento do vetor de a partir dessa transformação aqui roupa bom eo vetor ser como ele vai ficar na hora que nós fizemos um mapeamento dele ele vai se transformar nesse vetor aqui acabam mais bk 2 ck1 mas de k2 são os termos desse vetor a coordenadores o pontal vai ser acalmados bk 2 não vai estar por aqui ea coordenada vertical é seca um mais de k2 condenada y então já está por aqui aí nós vamos ligar aqui e torcer piada é esse vetor aqui então e esse vetor ele tem as coordenadas a calma mas bk 2 primeiro tempo e um segundo termo segunda coordenada seca 1 mas de k2 que é a transformação do vetor c ok roupa a transformação desse conjunto retângulo vai ser esse conjunto aqui a imagem desse retângulo sobre a transformação é como é que vai fazer isso é só levamos os pontos que definem um retângulo aqui na transformação e depois nós vamos ligar esses pontos nós já vimos isso então essa linha que liga estes dois pontos vai se transformar nessa linha que está ligando esses dois pontos essa linha vai se transformar nessa linha aqui ok essa linha vai se transformar nessa linha é essa aqui vai se transformar nessa aqui ok olha aí eu posso dizer o seguinte que essa região aqui é o retângulo transformado então é a transformação do retângulo então se eu quiser usar palavras eu posso dizer que isso aqui é a imagem do retângulo a imagem do retângulo sobre a transformação t e aí também posso me perguntar qual é a área da imagem do retângulo sobre essa transformação com a área disso a quintal qual é a área dessa região é isso que a gente quer saber agora olha eu posso dizer o seguinte sobre esse para vê-lo gravar a deixou de se aqui um pouquinho pra criar um pouco de espaço eu posso dizer que esse programa é um paralelogramo gerado por esses dois vetores aqui esse vetor aqui e esse vetor aqui ou então a gente pode escrever de outro jeito se eu tiver uma matriz dois por dois e cada coluna dessa matriz são as coordenadas esses dois vetores eu teria uma coisa assim o primeiro vetor coluna seria esse vetor aqui a cada um cerca 1 a 1 ck é bom lembrar que esse vetor ele é obtido a partir da transformação desse vetor com 10 então ele é a transformação do vetor carro zero e o segundo vetor coluna seria esse vetor aqui bk 2 a 2 esse vetor ele é obtido a partir da transformação desse vetor que ó 0 a 2 então ele é a transformação do vetor zero a 2 e no último vídeo nós vemos o seguinte que a área de si para lograr que é a área da imagem de si retângulo aqui sobre a nossa transformação chamar essa imagem de que nós vimos que a área de si para lugano é igual ao valor absoluto do determinante da matriz formada pelos vetores coluna que são os vetores que formam o para o grau então a área de si para do programa é igual ao valor absoluto o determinante de enquanto que vai dar esse determinado cheque determinante deixa trocar a cor é igual né tem que manter que o valor absoluto é igual a a k 11 vezes de k2 e aí só pra organizar eu posso como é uma multiplicação ordem dos fatores não vai alterar o resultado vou colocar assim k1 k2 vezes ab - seca um de cada dois que também vou escrever esse produto numa outra ordem é ficar cá 12 vezes bc isso aqui é o determinante uma matriz dois por dois bom nós vimos isso no outro vídeo só pra deixar bem claro vou repetir se quisermos descobrir determinar a área de si para o programa que é gerado por esse vetor e esse vetor e dissemos que esses vetores formam uma matriz dois por dois nós vimos como já disse no último vídeo que a área do para o programa é igual ao valor absoluto do determinante dessa matriz que eu chamei de imagem e isso aqui é equivalente ao que nós podemos aqui faturar colocar em evidência k1 k2 e vai ficar com um cara 2 vezes a de - vez e agora quem é a de - bc olha só a de - bc é o determinante da nossa matriz de transformação que eu chamei já portanto isso aqui é igual ao valor absoluto de k1 k2 vezes determinante já que a nossa matriz transformação isso aqui é um resultado bem interessante então veja bem o que nós queremos dizer com isso aqui é o seguinte se nós tivermos uma região no nosso domínio como no caso aqui nós tínhamos um retângulo e essa região tem uma determinada área que pelo fato de ser um retângulo a área é igual a base vezes altura que é k 1 vezes k2 nessa região do meu domínio eu aplico uma transformação e essa transformação t ela vai se dar a partir de uma matriz a vezes os elementos do domínio dessa região quando eu aplico essa transformação eu gero uma imagem dessa região original mas essa imagem a partir dessa transformação muito bem eu estou querendo dizer que a área dessa região é dado da seguinte forma vamos descer aqui é igual à área da região original que era um retângulo ok área daí já original retângulo vezes o determinante da nossa matriz de transformação dessa matriz aqui que eu estou me referindo é a nossa matriz de transformação é assim que a gente calcula a área de si para lograrmos aquilo e esse resultado ele me disse o seguinte que o determinante da nossa matriz de transformação é igual um fator de escala na área de uma determinada região que no nosso caso aqui né inicialmente nossa região era um retângulo a gente só não pode esquecer que aqui a gente tem que considerar o valor absoluto porque se de repente o troca esses vetores seu muda a posição deles a direção por exemplo eles podem se tornar negativos então eu teria uma marca negativa por isso considera o valor absoluto porque aí eu sempre vou pegar uma medida um valor positivo muito bem não vou fazer uma prova formal agora mas você pode imaginar isso aqui que eu vou falar vamos imaginar que eu tenho um domínio meu domínio é e 2 e eu tenho uma região neste domingo r 2 que é o contorno desta região é um eclipse e essa região ela tem uma área que há a área dessa região é a e digamos que eu tenho uma transformação t que é um mapeamento de r 2 em r 2 e essa transformação t é definido da seguinte maneira será aplicada a um vetor x do meu domingo é igual a uma matriz que eu vou chamar db vezes esse vetor x que é qualquer vetor qualquer elemento do meu domínio a imagem dessa região sob essa transformação aqui no meu condomínio vai ser algo parecido com isso aqui não dá para dizer exatamente como vai ser mas vamos dizer que é parecido com isso aqui e como nosso conjunto original era limitado por uma elipse aqui nós temos a imagem dessa elipse sob essa transformação t que eu falei aqui olha não estou sendo muito rigoroso aqui então eu espero que você tenha fé e acredite no que eu estou te falando tá essa é a imagem desta região sob essa transformação t ok então eu posso dizer o seguinte se a região original tem área a área da imagem dessa região vai ser igual ao valor absoluto da área da região original que a vezes o determinante da nossa matriz de transformação aqui nós vamos fazer uma seta ligando essas duas regiões para indicar que teve uma transformação daqui pra cá agora se você acha essas transformações de formas assim muito generalizados complicadas a gente pode pensar de uma outra maneira vamos imaginar por exemplo que nós temos aqui um monte de retângulos dentro dessa região e nós vamos desenhando esses retângulos diariamente até preenchemos completamente o espaço o que deu pra entender o desenhando aqui vários retalhos o espaço vai ser preenchido aqui eu vou fazer lá e tangos cada vez menores mas tudo aqui vai ser preenchido e aí se você mapear cada um desses retângulos aqui a partir dessa transformação t nós vamos ter aqui vários para lograrmos não dá pra dizer exatamente como eles serão mas vai ser mais ou menos assim e esses para lograrmos vão preenchendo esse espaço aqui totalmente a gente redesenhar mais aqui alguns mas que é importante que a gente entenda aqui que essa transformação t ela está fazendo isso aqui com os retângulos está fazendo os retângulos se transformar em nesses para lograrmos aqui ok tranqüilo de imaginar isso aqui né gente essa aqui portanto é uma maneira muito legal muito interessante de olhar para um determinante nós vemos portanto que o determinante de uma matriz de transformação a verdade é um fator de escala para a área de uma região que você quer mapear lembrando nós aplicamos uma transformação te numa região que nós queremos mapear e essa transformação te gerou uma imagem dessa região na piada e nós descobrimos como calcular a área dessa nova região que foi obtida a partir dessa transformação aqui ok