Determinante quando uma linha é adicionada

RKA8JV - E aí, pessoal! Neste vídeo, a gente vai abordar uma propriedade um pouco diferente de matrizes, determinante de matrizes, no caso, e vai servir como um ótimo aprofundamento na nossa base de determinantes. Então, vamos supor que eu pegue uma matriz, eu vou criar uma matriz "x". Eu vou começar com o caso de uma matriz 2x2, porque é o caso mais trivial que nós podemos mexer, eu acho. Então, eu vou colocar "a", "b'', e aqui o termo x₁ e x₂, então, a minha segunda linha tem os termos x₁ e x₂. Vocês podem ter se perguntado por que eu não coloquei "a", "b", "c", "d" como sempre, nos outros vídeos, mas vocês já vão entender o porquê disso. E agora eu vou criar uma outra matriz aqui, uma matriz chamada "y", e eu vou colocar, também, os termos "a", "b", e aqui, em vez de x₁ e x₂ ou "c" e "d", eu vou colocar y₁ e y₂, desta maneira. Agora, só mais uma matriz, mais uma matriz chamada "z", que eu vou colocar os termos "a", "b" e agora, para variar, eu vou colocar os termos aqui embaixo, x₁ + y₁ e x₂ + y₂. Então, eu quero é que vocês não se confundam aqui, porque esta matriz "e" não é a soma de "x" e "y", é só a soma de uma linha em especial, que no caso é a minha segunda linha, que seria toda esta linha aqui, então, x₁ + y₁ seria meu termo "a₂₁", e "x₂, y₂" seria meu termo "a₂₂". Então, esta é a minha matriz "z", e agora eu quero calcular os determinantes para ver o que acontece com um determinante quando eu for calcular. Então, vamos começar calculando a determinante de "x". Deixe-me pegar uma cor diferente aqui. Um determinante de "x", vai ser igual ao produto da diagonal principal ax₂, menos a diagonal secundária, menos bx₁. E agora, o determinante de "y", desta maneira aqui. Eu acho que fiz um "y" muito feio, espere aí. Deixe-me reescrever esse "y". Desta maneira, bem melhor. O determinante de "y" vai ser igual a "ay₂ - by₁". E agora, para finalizar, eu vou fazer o determinante de "z" de outra cor aqui. Determinante de "z" vai ser igual a "a" vezes (x₂ + y₂), menos, vou fazer aqui embaixo, menos b(x₁ + y₁). Talvez vocês não tenham visto isso de cara ainda, talvez vocês não tenham percebido isso. Mas então, eu vou distribuir aqui esse "a", eu vou distribuir dentro do parênteses aqui, e este "b" também, e vocês já vão perceber o que aconteceu aqui. Então, o determinante de "z" vai ser igual a ax₂ + ay₂ - bx₁ - by₁. Então só distribuí o que estava dentro dos parênteses com o coeficiente de fora. E agora, o determinante de "x" é ax₂ - bx₁. Então, ax₂ - bx₁. O determinante de "y" é ay₂ - by₁. A gente acabou de descobrir que quando a gente adiciona uma linha só, quando a gente adiciona uma linha só de uma matriz que é, necessariamente, o resto da matriz igual, ou seja, os outros termos aqui da linha de cima continuam iguais, a gente só adiciona o de duas matrizes de outra linha, no caso, a gente só adiciona outra linha e deixa todo o resto da matriz igual. O nosso novo determinante de "z" vai ser igual à soma desses dois determinantes, então, é igual à soma do determinante de "x" com o determinante de "y", desta maneira aqui. Isso aqui foi no caso da 2x2, que é um caso mais fácil de ver, e agora, quero fazer da 3x3 e a de "nxn" porque a "nxn" é um pouco mais difícil de ver, que ela é mais abstrata, então, eu vou fazer com a 3x3 antes também para fixar bem essa ideia. Então, eu vou fazer uma matriz 3x3 aqui, eu vou chamar a matriz de "A". Pois esta matriz "A", eu vou colocar "a", "b", "c", e eu vou fazer na segunda coluna, na segunda linha dessa vez, para vocês verem que não tem que ser, necessariamente, na última. Então, aqui na segunda linha eu vou colocar os termos x₁, x₂ e x₃, e aqui embaixo, vou continuar os termos, "a", "b", "c". Agora deixe-me só pegar a cor certa aqui. "a", "b", "c", aqui "d", "e" e "f", desta maneira aqui, e pronto. Agora, se a gente for calcular o determinante de "A", só tem que lembrar daquele esquema dos sinais, que vai ficar "+, - , +, -, +, -", então, na nossa segunda linha, a gente vai ter que usar este esquema de sinais aqui. Então, se a gente for calcular o determinante de "A", a gente vai ter -x₁ vezes o determinante desta submatriz, então, tira esta coluna e essa linha, e fica "b", "c", "e", "f" mais x₂ vezes o determinante da submatriz [a, c, d, f], e agora menos o terceiro termo da linha, x₃, vezes o determinante da submatriz quando tira esta e esta linha, esta coluna, então, [a, b, d, e]. Agora, vamos imaginar que a gente pegue uma outra matriz, uma outra matriz "B", também 3x3, e eu coloco os termos "a", "b", "c", e aqui, eu mude, eu vou colocar y₁, y₂ e y₃, e continuando, os termos ''d", "e" e "f". Agora, qual vai ser o determinante desta minha matriz "B"? Então, o determinante desta minha matriz "B" vai ser igual a -y₁, no caso, por causa daquele padrão dos sinais, então, -y₁ vezes o determinante na submatriz, que vai ser, de novo, [b, c, e, f], mais y₂ vezes o determinante da submatriz, que vai ser [a, c, d, f], e menos o y₃, que vai ser multiplicado pelo determinante da submatriz, que vai ser [a, b, d, e], desta maneira aqui. Então, agora estamos chegando perto de onde a gente queria chegar. Eu vou fazer só mais uma matriz agora, que você já deve estar até imaginando qual é. É a matriz "C", também 3x3, com os termos "a", "b", "c", e aqui, "x₁ + y₁" "x₂ + y₂" e "x₃ + y₃", são 3 termos separados aqui. E continua a matriz normal depois, continua a matriz normal "d", "e", "f". Vocês até de certo, já conseguem ver qual que vai ser o determinante desta matriz "C". Então, o determinante desta matriz "C" vai ser a soma destes 2 determinantes, ou seja, vai ficar "-x₁ + y₁" multiplicado pelo determinante da submatriz, que vai ser "b", "c", "e", "f", e isso aqui mais "x₂ + y₂" multiplicado pelo determinante da submatriz, [a, c, d, f], e isso aqui menos, vai ficar "-x₃ + y₃" multiplicado pelo determinante da submatriz, opa, eu acho que cliquei em alguma errada coisa aqui, multiplicado pelo determinante da submatriz [a, b, d, e]. Então, se vocês perceberam aqui, este determinante mais o determinante "B" foi igual ao nosso determinantes "C", porque a gente só adicionou uma linha específica e o resto inteiro da matriz ficou igual, [a, b, c, d, e, f], aqui, [a, b, c, d, e, f] e aqui, [a, b, c, d, e f] também. Então, a gente só mudou uma linha específica. Agora, para finalizar, eu vou fazer o caso mais geral possível, o caso mais mais genérico possível, que é o caso de uma matriz ''nxn". Então, eu vou desenhar aqui uma matriz "A", "nxn" com os termos, aqui eu vou colocar a₁, ou melhor, a₁₁, a₁₂, e vai até chegar em a₁ₙ, ou seja, a primeira linha e enésima coluna. E agora, nós vamos descer até chegar em uma linha genérica "i". Esta é minha linha genérica "i". Então, vou o termo aᵢ₁, aᵢ₂, e este termo vai até, a gente vai nessa linha, até chegar em aᵢₙ, desta maneira aqui. E depois, nossa matriz, nossos termos continuam para baixo, até chegar em aₙ₁, e depois, até chegar na nossa diagonal aₙₙ, desta maneira aqui. Então, agora, qual seria o nosso determinante aqui? Então, é importante que vocês já estejam familiarizados com a noção de fazer contas com "sigma", porque eu vou usar um pouquinho de "σ" aqui da somatória, porque vai ficar mais fácil representar. Então, essa aqui vai ser a nossa linha, a iésima linha. Esta aqui é a nossa linha, iésima linha, e a gente pode representar o determinante desta matriz "A". como sendo o somatório de, deixe-me tentar fazer de outra cor aqui, de "j = 1" até "n", ou seja, nós estamos pegando, o "j", no caso, seria o número da coluna, então, nós estamos pegando de 1 até "n", então, da primeira coluna até a enésima coluna, dependendo de quantas colunas a matriz tiver. Agora, isso aqui vai ter que ser multiplicado, o somatório de "j = 1" até "n", isso aqui multiplicado por aquele nosso fator, para ver qual vai ser o sinal na frente do coeficiente. Então, -1ᶦ⁺ʲ, desta maneira aqui, multiplicado pelo nosso coeficiente, pelo nosso fator, então, aᵢⱼ, ou melhor, eu vou reescrever este aᵢⱼ. Eu acho que eu deveria ter escrito assim já desde o começo. Eu vou mudar este "a" para "x". Eu só vou mudar o nome, de "a" para "x", só isso. Então, isso daqui vai ficar multiplicado por xᵢⱼ, vezes o determinante da minha, ou melhor, eu vou escrever de outra maneira para não poluir tanto a equação. Vezes o determinante da submatriz quando tira a "iésima" linha, e, no caso, a "jotaésima" coluna. Então, determinante de "x", da submatriz de xᵢⱼ, que era a maneira como a gente pensou no último vídeo. E agora, eu vou fazer uma outra matriz "B", que seria o mesmo esquema desta nossa matriz aqui, "nxn" também, "nxn", só que no lugar aqui, na "iésima" coluna, deixe-me pegar a minha "iésima" coluna mais ou menos aqui. No lugar dessa "iésima" coluna, vai ser a matriz totalmente igual, acho que eu nem preciso reescrevê-la. Então, aqui na minha iésima coluna, só vou mudar este xᵢ₁ por yᵢ₁. Então, todo o meu resto da matriz continua igual. Até deixa eu colocar aqui um igual, igual, igual, aqui não é igual, aqui igual, igual, igual. Então toda a minha matriz vai continuar igual, eu só vou mudar a minha iésima linha para yᵢ₁ até chegar em yᵢₙ, desta maneira. Se a gente for calcular o determinante desta matriz "B", a gente pode fazer simplesmente a mesma coisa que a gente fez ali em cima, que seria somatório. Eu fiz este símbolo do somatório meio errado aqui. Somatório "j = 1" até "n" novamente, porque nós teremos "n" colunas nesta nossa matriz, multiplicado pelo nosso termo, para ver qual vai ser o sinal, -1ᶦ⁺ʲ, da mesma maneira que aqui em cima, vezes o coeficiente, que é o próprio fator, ou seja, yᵢⱼ, multiplicado pelo determinante da submatriz tirando a coluna e a linha do nosso termo yᵢⱼ, então, aqui, multiplicado pelo determinante de yᵢⱼ, da mesma maneira que ali em cima. Agora, eu vou fazer a última matriz, "C", que vai ser também totalmente igual às nossas outras duas, todos os outros termos vão ser iguais às nossas outras matrizes, mas nós teremos uma linha diferente, que vai ser iésima linha, que vai ter, vocês já devem até imaginar, xᵢⱼ + yᵢⱼ, até chegar em xₙₙ, ou melhor, xᵢₙ, porque xᵢₙ seria o último termo da diagonal. xᵢₙ + yᵢₙ, desta maneira aqui. E agora, o determinante desta nossa matriz "C", vai ser igual à somatória de "j = 1" até "n", porque, da mesma maneira, tem "n" colunas, e multiplicado pelo nosso fator para ver qual vai ser o sinal, -1ᶦ⁺ʲ, vezes, agora que vem a mudança, vou até fazer de outra cor aqui, vezes o nosso coeficiente, o nosso fator, que vai ser (xᵢⱼ + yᵢⱼ) multiplicado, ainda, pelo determinante de quando nós ignoramos a linha e a coluna do nosso termo, então, vezes o determinante de xᵢⱼ + yᵢⱼ. Neste caso, eu posso reescrever este determinante como o mesmo determinante aqui em cima. E na verdade, esses 3 determinantes vão ser iguais, porque, se eu estou ignorando a linha e a coluna deste termo aqui, este termo não vai aparecer, então, o determinante da submatriz vai continuar sendo igual, assim como no nosso exemplo de matriz 3x3 aqui. Este determinante, no caso, é igual a esse determinante aqui em cima, quase que eu vou errando. É igual a este determinante aqui em cima, esse é igual ao daqui debaixo, esse é igual, então, por mais que eu mude os meus coeficientes, os meus fatores, o determinante vai continuar sendo igual. Então eu posso reescrever, eu vou apagar isso aqui, eu posso reescrever todos esses 3 como sendo um determinante de submatriz genéric o que vai ser nesta mesma linha, porém, como é na mesma linha, eu vou chamar este determinante de determinante da submatriz aᵢⱼ, desta maneira aqui, então, todos os determinantes dessas 3 matrizes da submatriz, desses 3 determinantes que nós vamos calcular, da matriz ''A", "B" e "C", todos eles vão ser multiplicados pelo determinante da submatriz aᵢⱼ. Agora, se a gente parar para pensar, este determinante de "C", é a soma do determinante de "A" com o determinante "B". Então, o determinante "A" tem o termo xᵢⱼ, e o determinante "B" tem o termo yᵢⱼ. Se a gente fizesse a soma aqui, a gente ficaria com este resultado aqui, no caso, a gente não ficaria com este resultado, desculpem-me. A gente ficaria com um resultado que seria só fatorar e chegar neste resultado aqui. Ou seja, quando a gente soma duas linhas para multiplicar o determinante de uma matriz e todos os outros termos ficam iguais, a gente tem um determinante que é a soma dos outros determinantes anteriores das duas linhas separadas que a gente calculou. Eu só quero que vocês prestem muita atenção porque essa regra vale para esta matriz muito específica, em que todos os outros termos continuam iguais. Então, não é todo determinante "X" que vai ser igual à soma de um determinante "Y" mais um determinante "Z", se eu somar duas linhas de "Y" e "Z". Tem que tomar cuidado com isso. Então, muito obrigado, pessoal, e até a próxima!