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Determinante de linha duplicada

Determinante de uma matriz com linhas duplicadas. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Digamos que nós temos uma matriz A que é "n" por "n", uma matriz quadrada. Esta matriz aqui eu posso escrever da seguinte maneira. Os elementos dela vão ser, na primeira linha: a₁₁, a₁₂, etc, até um determinado elemento a₁ₙ, (linha 1, coluna "n"). Nós vamos ter também, na segunda linha, os elementos a₂₁, a₂₂, etc., até um determinado termo a₂ₙ, linha 2 e coluna "n". Podemos seguir indefinidamente aqui para baixo, até chegarmos a uma i-ésima linha, ou seja, a linha que vai ter os elementos aᵢ₁, aᵢ₂, etc., até um determinado termo aᵢₙ. Aí, também descemos mais um pouco até chegarmos na j-ésima linha, onde tem os termos aⱼ₁, aⱼ₂ (é a linha "j"), até o termo aⱼₙ. E finalmente, vamos até a enésima linha, onde teremos os termos aₙ₁, aₙ₂, e assim por diante até o termo aₙₙ. É uma matriz quadrada, então, tem "n" linhas e "n" colunas. O que eu vou fazer agora aqui vai ser definir, por exemplo, r₁, como sendo os elementos da primeira linha. Eu poderia até defini-lo como sendo um vetor linha, só que não vou fazer isso porque ainda não falei sobre vetor linha. Então vamos lá: r₁ seria o quê? Seria os elementos a₁₁, a₁₂, etc, até o elemento a₁ₙ. Ou seja, para ficar bem clara a ideia, eu vou pegar toda esta linha 1, por exemplo, e trocar por este elemento r₁. Eu vou até colocar como vetor linha, que posso colocar desta forma. Acho que você compreendeu qual é a ideia da coisa. Trocar toda linha da matriz A (por exemplo, a linha 1) por este vetor linha r₁, por exemplo. Eu posso reescrever esta matriz, fazendo todas essas mudanças em todas as linhas, da seguinte forma: vai ser a matriz A, "n" por "n" ainda, mesma coisa. Só que eu vou reescrevê-la assim, olha só. no lugar da linha 1, eu vou trocar todos esses elementos da linha 1 por r₁. Então, vou colocar aqui o r₁, assim. Na linha 2, eu vou trocar todos os elementos por r₂. Depois vou lá para baixo, até a i-ésima linha, onde eu vou ter rᵢ. Depois vou seguir para baixo até o rⱼ. E, finalmente, até o rₙ. Vai ficar desta forma. Agora vamos fazer o seguinte: vamos definir uma matriz de permutação "s", que eu vou chamar de matriz sᵢⱼ. O que isso significa? Que eu estou pegando a linha "i" e a linha "j" e permutando, ou seja, a linha "i" vai passar a ser a linha "j" e a linha "j" vai passar a ser a linha "i". Então, esta matriz seria escrita da seguinte forma. Vamos imaginar que a linha 1 e a linha 2, por exemplo, não sejam a linha "i" nem a linha "j". Poderiam até ser, mas vamos supor que não sejam. Vamos colocar aqui o r₁, que vai continuar no seu devido lugar, o r₂ aqui e aí nós vamos descer. Só que aqui, em vez de escrever o rᵢ, como eu estou permutando de lugar a linha "i" com a linha "j", aqui, em vez do rᵢ, vai ser o rⱼ. Vamos descer mais um pouquinho e aí vamos ter o rᵢ, que vai estar no lugar do rⱼ, ou seja, o rⱼ está ocupando a linha rᵢ e o rᵢ está ocupando a linha rⱼ na matriz original. E depois vamos chegar até o rₙ. Agora é o seguinte: nós já vimos em vídeos anteriores que, quando nós permutamos duas linhas desta forma, nós vamos ter que o determinante na matriz de permutação... Vou escrever aqui. O determinante desta matriz Sᵢⱼ tem que ser igual ao simétrico do determinante da matriz original A. Então, se eu tiver uma matriz "n" por "n" (esta matriz A, por exemplo) e eu inverter a posição destas linhas aqui, a linha rᵢ e a linha rⱼ, por exemplo, fiz essa permutação, o determinante da matriz sᵢⱼ vai ser igual a menos o determinante da matriz original A. Mas agora vou te fazer uma pergunta interessante. O que vai acontecer se as duas linhas, rᵢ e rⱼ, forem iguais? E agora, o que vai acontecer? Ou seja, todos os elementos desta linha são iguais aos elementos desta linha. Todos eles, ou seja, este cara aqui é igual a este, este é igual a este, etc. Até chegar à conclusão de que este é igual a este também. Todos os elementos são iguais. Repare que, neste caso, quando eu fizer a permutação das linhas, por exemplo, de rᵢ com rⱼ, fiz a permutação, isso não vai mudar nada. A matriz Sᵢⱼ vai ser exatamente igual à matriz original A, "n" por "n". Vai dar exatamente a mesma coisa porque as linhas são idênticas, são iguais. Quando eu permutar, não vai mudar nada. Absolutamente nada. E neste caso, o determinante da matriz de permutação vai ser igual ao determinante da matriz A. Porque não mudou nada, então, o determinante é igual. Vou escrever isso. Se a linha "i" foi igual à linha "j", esta matriz de permutação Sᵢⱼ vai ser exatamente igual à matriz A. Então, neste caso, nós vamos ter a seguinte configuração: vamos ter que o determinante da matriz de permutação, da matriz Sᵢⱼ, vai ser igual ao determinante da matriz A. Por que isso acontece? Porque nós mudamos as linhas e não alterou nada, continuou sendo a mesma matriz. E, se as matrizes são iguais, os determinantes também serão completamente iguais. Só que, ao mesmo tempo, nós acabamos de dizer que, se efetuássemos a permutação aqui, isto aconteceria, ou seja, o determinante da matriz Sᵢⱼ seria igual a menos o determinante de A. Então, isto, o determinante da matriz de permutação igual ao determinante da matriz original, também tem que ser igual a menos o determinante da matriz A. Porque eu efetuei a permutação, então, isto tem que ser uma igualdade válida. Logo, aqui, vamos ter esta situação, em que o determinante da matriz A precisa ser igual a menos o determinante da matriz A. E aí, imagine a seguinte situação. Vamos representar o determinante da matriz A por "x". Vamos ter isto é um número. Qual é o número que vai ser igual ao seu simétrico? Ou seja, x = -x? Quanto tem que ser o valor de "x" aqui? O "x" só vai ser igual ao seu simétrico se ele for igual a zero. Porque, aqui, vamos substituir: 0 = -0. Zero, na verdade, não tem sinal. Zero é igual a zero de qualquer jeito, seja ele positivo ou negativo. Então, a situação que eu tenho aqui, vou até escrever, é que: linhas duplicadas, o determinante é zero. Sempre que eu tiver linhas duplicadas e estiver permutando essas linhas, o determinante vai ser igual a zero, por isto que eu expliquei aqui. Podemos encarar isto também da seguinte maneira: você se lembra, de uns 5 ou 6 vídeos atrás, que nós falamos sobre matriz inversível. Uma matriz é inversível se, e somente se, a sua forma escalonada reduzida por linhas (coloquei aqui uma abreviação) é a matriz identidade. Vou representar assim. E isto quer dizer o seguinte: que, se estas linhas forem iguais umas às outras, eu poderia fazer uma operação aqui de maneira que eu faço este termo menos este termo, este termo menos este termo e, como eles são iguais, sempre vai dar zero. Eu vou ter uma linha toda de uma matriz igual a zero. Uma linha inteirinha, toda ela composta por números zeros. E o que acontece? Se eu tiver uma linha toda composta apenas por zeros, como eu falei aqui, trocando estes termos todos por zeros, eu nunca vou poder chegar na matriz identidade. Então, podemos escrever aqui que linhas duplicadas... Linhas duplicadas nunca poderiam ter a forma escalonada reduzida por linhas para ser a matriz identidade. Porque eu teria apenas uma linha composta por zeros, como acabei de explicar. E isso também significa que, quando eu tenho linhas duplicadas, esta matriz não é inversível. E nós também já vimos em vídeos anteriores que uma matriz não é inversível se, e somente se, o seu determinante for igual a zero. Então, nós acabamos de ver a mesma coisa de duas formas diferentes. A primeira, desta forma, analisando através da matriz permutação, chegamos à conclusão que o determinante da matriz permutação tem que ser igual a menos o determinante da matriz original A e, ao mesmo tempo, se eu tiver linhas iguais aqui, linhas duplicadas, ou seja, rᵢ igual a rⱼ, eu vou ter esta configuração aqui. Porque as matrizes seriam iguais, tanto a de permutação quanto a original seriam iguais, porque as linhas permutadas não iriam mudar. Então, o determinante da matriz de permutação seria igual ao determinante da matriz A, que por sua vez, por isto aqui, seria igual a menos o determinante de A. E aí, o determinante só poderia ser igual a zero. A outra forma que nós vimos é através da inversibilidade da matriz. Nós já vimos em vídeos anteriores, como eu acabei de falar. Então, nós faríamos aqui os requerimentos de inversibilidade de uma matriz. Se você vir linhas duplicadas ou então colunas duplicadas (pode pensar um pouco sobre esse problema), se você vir linhas duplicadas ou colunas duplicadas, já pode ter a certeza de que o determinante vai ser igual a zero. Até o próximo vídeo!