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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 2
Lição 6: Conhecendo mais a fundo o determinante- Determinante quando uma linha é multiplicada por uma escalar
- (correção) multiplicação escalar de linha
- Determinante quando uma linha é adicionada
- Determinante de linha duplicada
- Determinantes após operações de linhas
- Determinante da triangular superior
- Determinante 4x4 mais simples
- Determinante e área de um paralelogramo
- Determinante como fator de escala
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Determinante 4x4 mais simples
Cálculo de um determinante 4x4, colocando primeiro na forma triangular superior. Versão original criada por Sal Khan.
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- Se não houver os zeros, ainda assim troca a segunda linha com a terceira linha?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá! Nós temos aqui uma matriz A
de quatro linhas por quatro colunas e vamos ver se nós podemos calcular
o determinante dessa matriz A, o determinante de A. Mas antes de a gente fazer da maneira como
nós estávamos fazendo nos vídeos passados, e olha que aqui você não tem nenhuma
linha e nenhuma coluna muito fácil com zero, o que
facilitaria os cálculos, a gente pode até pegar essa coluna aqui
para poder criar submatrizes, mas aí nós teríamos que calcular o determinante
de quatro matrizes 3 por 3 e depois ainda calcular três determinantes
de matrizes 2 por 2. Bom, isso seria um processo
bem complicado, bem demorado. Vamos ver se a gente consegue usar algumas
técnicas que foram estudadas nos vídeos anteriores para poder simplificar
um pouco esse processo. Uma ideia de operação entre as linhas
da matriz seria trocar a linha j por uma combinação linear da linha j com
a linha i, por exemplo. De que maneira? Então nós vamos trocar a linha j por j
menos um múltiplo, vezes a linha i. E se nós fizermos essa troca, saberemos que
isso não vai alterar o valor do determinante de A. Então nós podemos fazer essa
operação com linhas da matriz e isso não vai afetar, não vai alterar
o valor do determinante da matriz. A outra ideia que vimos é que podemos calcular
o determinante de matrizes triangulares superiores. E o que vem a ser uma matriz
triangular superior? Vamos lembrar: essencialmente,
é uma matriz em que todos os termos que estão
abaixo da diagonal principal... E aí deixe-me fazer aqui
essa diagonal principal. Vamos fazer termos genéricos aqui, tá?
Esses termos não são iguais a zero, mas todos os termos que estiverem aqui, abaixo
da diagonal principal, eles serão iguais a zero. Então aqui vai
ser tudo zero, aqui tudo zero, tudo zero aqui dentro
dessa matriz, nessa parte aqui de baixo que eu estou aqui
destacando de verde. E tudo que estiver acima
da diagonal principal, todos esses
termos aqui, eles não necessariamente
têm que ser iguais a zero, mas os que estão abaixo
da diagonal principal, sim. Todos esses têm que ser
iguais a zero. Eu não mencionei
isso no vídeo, mas existe uma matriz que
se chama matriz triangular inferior e você já vai adivinhar
o que é isso. Uma matriz
triangular inferior é uma matriz em que todos os termos que
estão acima da diagonal principal, (e aqui eu estou fazendo a diagonal principal
com termos que são diferentes de zero), na matriz triangular inferior, todos os termos que estão
acima da diagonal principal são iguais a zero. Então todos esses termos aqui
são iguais a zero e todos os termos que estão
abaixo da diagonal principal seriam diferentes de zero,
não são iguais a zero. Nós vimos que para calcular o determinante
de uma matriz triangular superior, nós precisávamos apenas calcular o produto
dos termos que estão na diagonal principal. Eu não vou provar isso para este vídeo,
mas nós podemos usar o mesmo argumento para calcular o determinante
de uma matriz triangular inferior. Basta multiplicar os termos
que estão na diagonal principal. Então considerando que basta multiplicarmos
os termos da diagonal principal e que também podemos
fazer operações entre as linhas, quem sabe uma maneira de calcular o determinante
da matriz A, uma maneira mais simples, não seja transformá-la em
uma matriz triangular superior, e assim nós vamos apenas multiplicar
os termos da diagonal principal. Então vamos fazer isso. Vamos
calcular o determinante de A. Vou escrever aqui 1, 2, 2, 1;
1, 2, 4, 2; 2, 7, 5, 2;
-1, 4, -6, 3. Agora nós vamos começar
o processo de triangulação. Então a primeira linha
eu vou manter, 1, 2, 2, 1, a segunda linha vou substituir pelo resultado
da segunda linha menos a primeira linha, então 1 menos 1, zero,
2 menos 2, zero, 4 menos 2, 2,
2 menos 1, 1. A terceira linha eu vou substituir pelo resultado
da terceira linha menos 2 vezes a primeira linha, então 2 menos 2 vezes 1, zero,
7 menos 2 vezes 2, 3, 5 menos 2 vezes 2, 1,
2 menos 2 vezes 1, zero. E a última linha vou
substituir pelo resultado da soma da última linha
com a primeira linha: -1 mais 1, zero,
4 mais 2, 6, -6 mais 2, -4,
3 mais 1, 4. Bom, e agora estou vendo
que eu tenho dois zeros aqui, então eu tenho um zero
na minha diagonal principal. Eu vou fazer
uma troca de linhas. Eu posso fazer uma troca de linhas?
Posso, sim. Como que vai ficar, então? A primeira linha vai se manter,
então vai ficar 1, 2, 2, 1, a última linha também
vou manter, zero, 6, -4, 4 e vou trocar a segunda linha
com a terceira linha. Então a terceira linha
vai vir para cá e fica assim:
zero, 3, 1, zero e a segunda linha vai para o lugar
da terceira, ficando zero, zero, 2, 1. Bom, eu posso trocar
linhas de lugar? Posso, mas é importante
lembrar o seguinte: quando eu troco duas linhas de lugar,
o sinal do determinante da matriz em relação ao sinal do determinante
da matriz original também troca, então eu posso fazer essa troca desde que
eu também troque o sinal do determinante. Isso foi uma coisa que nós vimos
em um dos primeiros vídeos sobre esse assunto de
manipulação de determinantes. E para transformar essa matriz
em uma matriz triangular superior, nós vamos precisar zerar aqui
também esse termo. Então vai ficar assim:
todo o restante igual, 1, 2, 2, 1; zero, 3, 1, zero;
zero, zero, 2, 1 e a última linha eu vou substituir
pelo resultado da seguinte operação: última linha menos
2 vezes a segunda linha, zero menos 2 vezes zero, zero,
6 menos 2 vezes 3, zero, -4 menos 2 vezes 1, -6,
4 menos 2 vezes zero, 4. Eu não posso esquecer também
do sinal, que era negativo, não é? Aqui vai
se manter também. Agora já está quase terminando
o processo de triangulação, mas eu ainda preciso
zerar esse termo aqui. Então a primeira, segunda
e terceira linhas vão ficar como estavam, então continua 1, 2, 2, 1; zero, 3, 1, zero;
zero, zero, 2, 1. Estou calculando o determinante, não
posso esquecer que o sinal aqui é negativo porque nós fizemos uma troca
de linhas anteriormente e a última linha vou substituir pelo resultado
da operação dela mais 3 vezes a penúltima linha. Então vai ficar assim:
zero mais 3 vezes zero, zero, zero mais 3 vezes zero, zero,
-6 mais 3 vezes 2, zero, 4 mais 3 vezes 1, 7. E agora que eu tenho
uma matriz triangular superior, o determinante dela vai ser o produto
desses termos da diagonal principal. Então o determinante aqui vai ser,
não posso esquecer do sinal negativo, menos o produto desses termos
que estão na diagonal principal: 1 vez 3 vezes 2 vezes 7.
1 vez 3, 3, 3 vezes 2, 6,
6 vezes 7, 42. -42, portanto, é o determinante
dessa matriz aqui. Este é um método rápido e tende
a ser computacionalmente mais eficiente utilizar esse processo de transformar
a matriz em uma matriz triangular superior e depois calcular
o determinante dessa matriz multiplicando apenas os termos da
diagonal principal, que no nosso caso foi -42.