Obtendo um método para a determinação de inversas

RKA4JL - Então nós temos aqui uma matriz e nós vamos querer colocá-la na sua forma reduzida, na sua forma canônica. Mas, na verdade, o real intuito deste vídeo é mostrar que as transformações que a gente vai fazer nas linhas da matriz são iguais a transformações lineares realizadas nas colunas dessa matriz, dessa matriz aqui. E também a gente já vai tentar achar um método para determinar as inversas de matrizes, então é bom vocês já assistirem o último vídeo, mas caso não tenham assistido, também dá para acompanhar a partir deste. Então o que nós vamos começar a fazer é começar a passar essa matriz para a sua forma reduzida. Então nós vamos ter que fazer uma transformação nela aqui, vou desenhar uma nova matriz aqui. Qual é a primeira coisa que a gente pode... Aliás, simultaneamente eu vou fazer aqui embaixo a notação, eu já vou escrever por extenso como que a gente vai fazer essa transformação, então nós vamos ter uma transformação que vai pegar a nossa matriz, no caso as nossas colunas, A1, A2 e A3, e nós vamos realizar alguma transformação linear para tentar colocar essa matriz um pouquinho mais perto da sua forma escalonada, no caso, da sua forma reduzida. Então o que a gente pode fazer, o que a gente pode começar a fazer? Eu vou manter a minha primeira linha igual, então 1, -1, -1 de novo (deixe-me fazer mais forte aqui) e a gente acabou, então, de manter a primeira linha igual, então A1, e agora eu posso pegar a minha segunda linha e somar com a primeira linha, então aqui ficaria, na segunda linha, -1 mais 1 dá zero, 2 mais -1, no caso 2 menos 1, vai dar 1 e 3 menos 1 vai 2. Agora eu posso pegar a minha terceira linha e simplesmente subtrair a minha primeira linha. Assim a gente acabou de denotar a nossa transformação linear aqui. Então só pegar a terceira linha e tirar a primeira linha, então vai ficar 1 menos 1 dá zero, 1 mais 1, porque aqui tem menos, então 1 mais 1 dá 2, e 4 menos -1 vai dar 5. Então vai dar 5. Então já podemos fechar aqui a primeira parte da nossa transformação e a gente pode escrever isso aqui como sendo uma transformação linear, como já tinha dito antes, a gente pode reescrever dessa maneira aqui. Eu tenho uma transformação T que pega meu vetor x, aplica nele uma matriz S, que é justamente a matriz que a gente vai tentar achar agora. Essa matriz S, no caso, a gente pode descobrir realizando essas mesmas transformações que a gente fez aqui em uma matriz identidade, por exemplo. Então vou pegar uma matriz, vou desenhar bem pequena a matriz identidade, vai ser aqui 1, zero, zero, zero, 1, zero, zero, zero, 1, e vou aplicar essas transformações lineares aqui nessa matriz. Então se eu aplicar, se eu deixar a primeira linha, vai ficar igual, então 1, zero, zero. Agora, na minha segunda linha, eu faço a minha segunda mais a primeira, então vai ficar 1, 1, zero, e a terceira menos a primeira, então -1, zero, e 1 menos zero vai dar 1. Então essa aqui é a matriz que a gente acabou de achar. Essa aqui é minha matriz de transformação linear, minha matriz de transformação S. Só para vocês entenderem aquele negócio que eu falei do começo do vídeo que as transformações que a gente realizar numa coluna são iguais às transformações... é o equivalente às transformações que a gente realizar em uma linha, vamos ver isso um pouco mais de perto. Deixe-me colocar um pouco mais pra baixo aqui... Ou melhor, vou deixar assim porque quero que vocês vejam essa matriz. Então a gente pode pegar uma matriz, por exemplo, a gente pode reescrever como sendo a multiplicação dessa nossa matriz de transformação linear vezes a nossa primeira coluna, então 1, -1, 1, e isso aqui, de novo, a nossa matriz transformação multiplicada por -1, é a nossa segunda coluna, -1, 2, 1, e agora, de novo, a nossa matriz de transformação, e isso aqui multiplicado pela nossa terceira coluna, -1, 3, 4, isso aqui tem que nos dar essa mesma matriz que a gente achou lá em cima (deixe-me fazer uma flecha aqui, vai poluir o meu desenho, poluir nossas contas, mas...) tem que achar essa mesma matriz aqui. Então vou escrevê-la aqui ainda. Então tem que achar essa mesma matriz, 1, zero, zero, -1, 1, 2, -1, 2, 5. Tem que achar essa mesma matriz. A gente pode ainda dizer que essa matriz aqui... Então, no caso, a gente pode dizer, a gente pode reescrever essa mesma matriz aqui como sendo a multiplicação de duas matrizes porque isso aqui tudo é a definição de multiplicação de matrizes. Então a gente pode dizer que essa nossa matriz que a gente achou aqui em cima (deixe-me ver onde posso reescrever isso) a gente pode dizer que essa matriz aqui em cima é igual à nossa matriz de transformação multiplicada pela nossa primeira matriz A, pela matriz que a gente tinha antes. Então, agora, vamos continuar fazendo as nossas transformações lineares para colocar essa matriz cada vez em uma forma mais reduzida. Como a gente já sabia, no caso, aqui, a gente está procurando uma matriz inversa, a gente está tentando achar um método para achar a matriz inversa, a gente já sabe que a forma reduzida dessa matriz aqui vai ter que ser a matriz identidade. Mas caso a gente não soubesse, isso é uma boa forma, uma boa lembrança para vocês, que caso a gente não soubesse, a gente teria que achar que a matriz vezes a inversa tem que dar a identidade, ou seja, a gente teria que fazer todas as operações lineares aqui para, no final, achar uma matriz identidade. Mas, enfim, continuando. O que a gente pode fazer, agora, nessa nossa matriz? (acho que desenhei muito torto aqui...) O que a gente pode fazer, agora, nessa nossa matriz para continuar a escalonando? Então eu vou manter a segunda linha, então zero, 1, 2 e agora a gente vai pegar, na primeira linha, vou pegar a primeira linha e somar com a segunda, então vai ficar 1 mais zero vai ficar 1, -1 mais 1 vai ficar zero, -1 mais 2 vai ficar 1, e na terceira linha eu posso tirar duas vezes essa segunda linha. Então posso pegar essa terceira linha, menos 2 vezes aqui vai dar zero, terceira linha menos 2 vezes vai dar zero, terceira linha menos 2 vezes vai dar 1. Então a gente já chegou mais perto aqui e pode escrever dessa mesma maneira que a gente escreveu aqui por extenso a nossa transformação linear. A gente também pode escrever nossa transformação linear por extenso aqui para essa matriz. É o que eu vou fazer agora, só que vou escrever em outra notação. Então a gente tem uma matriz, a gente tem uma transformação linear T e dessa vez eu vou escrever T2, porque é a nossa segunda transformação linear aqui. Aqui eu vou ter, então, os meus vetores x1, x2, x3. A gente aplica alguma coisa nesses vetores, nesse meu vetor coluna aqui, e a gente fica com x1 mais x2, aqui a gente fica x2 e aqui x3 menos 2x2, que foram as operações que a gente aplicou para chegar nesta forma aqui. Ok, então isso aqui a gente pode dizer, a gente pode reescrever essa transformação dois, essa T2, como sendo aplicada em um vetor x. Então, da mesma maneira, a gente teria uma matriz de transformação S2 que seria multiplicada pelo nosso vetor x e essa matriz de transformação S2 é justamente... A gente poderia achá-la, poderia procurá-la da mesma maneira que a gente achou essa nossa primeira S aqui e seria justamente a multiplicação dessa matriz S2 com tudo isso que estava aqui antes, com toda essa matriz, com toda essa transformação S1, eu vou chamar aqui de S1, com toda essa multiplicação aqui que vai nos dar essa matriz em que a gente chegou aqui. Então acho que vocês já estão percebendo aonde que gente está chegando. Então eu vou pegar, agora, vamos continuar a fazer aqui as nossas transformações lineares. Vamos pegar, agora, acho que vai ser o último passo em direção a achar a forma reduzida, ou a identidade, dessa matriz aqui. Então o que a gente pode fazer agora? Dessa vez eu vou reescrever (deixe-me pegar mais espaço aqui) já vou reescrever a nossa transformação T3 aqui, ao mesmo tempo. Então T3 sendo aplicada em x1, x2, x3, tem que ser igual... O que a gente pode fazer, então? Eu vou manter, como já está pronta a terceira linha, vou manter a terceira linha igual, zero, zero, 1, então mantive a terceira linha igual, e agora a gente pode pegar a primeira linha menos a terceira. Então a primeira linha menos a terceira. Então isso vai dar 1 menos zero, 1, zero menos zero, zero, 1 menos 1 dá zero, e agora eu posso pegar a minha segunda linha menos 2 vezes a terceira linha, então posso pegar minha segunda linha menos 2 vezes a terceira linha, dessa maneira. Então a segunda linha menos 2 vezes, aqui vai dar zero, aqui vai dar 1 menos 2 vezes zero vai dar 1 e 2 menos 2 vai dar zero. Então a gente chegou, como esperado, na matriz identidade. Se fosse para reescrever essa nossa transformação que a gente acabou de realizar, T3, se a gente fosse reescrever T3 realizada em um vetor x como sendo uma outra matriz de transformação S3 multiplicada por esse mesmo vetor x, a gente poderia verificar que essa matriz que a gente acabou de encontrar aqui, essa matriz aqui, é resultado da multiplicação de S3 com tudo que a gente fez antes, no caso com a nossa matriz anterior, só que a nossa matriz anterior já era S2 multiplicada por S1 multiplicada por A. Então a gente acabou de chegar em uma coisa interessante. Antes, nós vamos lembrar, então, nós vamos lembrar aqui que se nós tivermos uma transformação (deixe-me escrever com outra cor aqui) se nós tivermos uma transformação, por exemplo T0, realizada sobre o vetor x e a gente souber... (aqui nós temos uma matriz A e aqui nosso vetor x) se a gente souber que isso aqui é inversível, então a gente pode dizer que existe uma transformação linear T0 menos 1 que vai ser igual à minha matriz inversa (deixe-me até fazer de outra cor, vou colocar outra cor aqui em cima) a minha matriz inversa multiplicada pelo vetor x. E agora a gente acabou de descobrir toda a nossa transformação que a gente fez aqui, tudo isso aqui (deixe-me pegar uma outra cor) tudo isso aqui é igual à minha matriz inversa. Então tudo isso aqui é igual à minha matriz inversa. Se vocês lembram, porque isso aqui multiplicado por A é igual à identidade, isso aqui vai ser igual à identidade, como a gente acabou de descobrir aqui embaixo. A gente fez todas essas transformações aqui multiplicadas pela nossa matriz inicial A e a gente acabou encontrando a matriz identidade, e a gente lembra ainda que dos últimos vídeos a gente chegou no resultado em que uma matriz A multiplicada pela sua inversa tem que ser igual à identidade. Então se a gente tem aqui a nossa matriz A e a gente fez uma série de multiplicações por outras matrizes e isso aqui resultou em uma identidade, esses outros termos só podem ser a matriz inversa de A. Então isso aqui tudo é a matriz inversa de A. A gente ainda pode chegar numa outra coisa mais interessante. E se a gente aplicasse essas mesmas transformações na ordem que a gente aplicou ao mesmo tempo na matriz A e na nossa identidade? Deixe-me colocar bem para o lado. Vou colocar mais ou menos assim. Acho que está bom. Então eu vou pegar aqui a nossa matriz A, a nossa identidade (eu acho que estou escrevendo bem fora de ordem, espalhado, mas espero que vocês não se percam). Então vamos supor que a gente pegue primeiro... Qual foi a primeira transformação que a gente fez? A gente pegou aqui nossa primeira transformação, aqui, a gente pegou o nosso S1, a nossa primeira transformação, e multiplicamos pela matriz inicial A. Então S1A. E da mesma maneira, aqui vamos aplicar S1 na nossa identidade. A nossa segunda transformação foi realizada aqui, aqui está a nossa segunda transformação, foi nossa segunda transformação aplicada na nossa matriz anterior, que já era S1A. Então nós vamos aplicar a nossa segunda transformação nisso aqui. Vai ficar S2S1A. E da mesma maneira aqui, S2S1 identidade. A gente está aplicando as mesmas transformações nos dois lados. E agora a gente pode pegar nossa terceira transformação, aqui foi feita nossa terceira transformação, e a gente pode aplicá-la aqui, S3S2S1A e aqui, da mesma maneira, S3S2S1I. A gente acabou de chegar no resultado aqui, aqui em cima a gente já chegou nesse resultado que isso aqui é igual à identidade. E se isso aqui é igual à identidade, e a gente sabe também que a nossa matriz vezes a inversa tem que ser igual à identidade, isso aqui tudo só pode ser igual à nossa matriz inversa. E qualquer coisa vezes a identidade vai dar essa mesma coisa. A identidade é como se fosse o termo neutro da multiplicação de matrizes. Na verdade, ela é o termo neutro da multiplicação de matrizes. Então, sabendo disso, qualquer coisa que a gente multiplicar aqui pela identidade a gente vai ter o nosso... qualquer coisa. E essa "qualquer coisa", no caso, não é qualquer coisa, é justamente a matriz inversa de A. Então se a gente pegar ao mesmo uma matriz A, fazer uma versão aumentada dela com a identidade e a gente aplicar uma série de transformações lineares nas nossas linhas ou colunas, a gente já mostrou neste vídeo que são a mesma coisa, a gente vai chegar (opa, acho que riscou mais aqui) a gente vai chegar, depois de realizar várias transformações lineares sucessivamente, a gente vai chegar no resultado da identidade, e no outro lado a matriz inversa de A. Então isso aqui a gente vai usar nos próximos vídeos. A gente, neste vídeo, ainda não achou essa matriz inversa, propriamente dita, mas nos próximos vídeos vai fazer um exemplo disso aqui. Então, muito obrigado e até a próxima!