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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 2
Lição 5: Determinando matrizes inversas e determinantesObtendo um método para a determinação de inversas
Determinação de um método para a construção de matrizes de transformação inversa. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Então nós temos aqui uma matriz
e nós vamos querer colocá-la na sua forma reduzida,
na sua forma canônica. Mas, na verdade,
o real intuito deste vídeo é mostrar que as transformações que
a gente vai fazer nas linhas da matriz são iguais a transformações lineares
realizadas nas colunas dessa matriz, dessa matriz aqui. E também
a gente já vai tentar achar um método para determinar
as inversas de matrizes, então é bom vocês
já assistirem o último vídeo, mas caso não tenham assistido, também
dá para acompanhar a partir deste. Então o que nós vamos
começar a fazer é começar a passar essa matriz
para a sua forma reduzida. Então nós vamos ter que fazer
uma transformação nela aqui, vou desenhar
uma nova matriz aqui. Qual é a primeira coisa
que a gente pode... Aliás, simultaneamente eu vou
fazer aqui embaixo a notação, eu já vou escrever por extenso como
que a gente vai fazer essa transformação, então nós vamos ter uma transformação
que vai pegar a nossa matriz, no caso as nossas colunas,
A1, A2 e A3, e nós vamos realizar
alguma transformação linear para tentar colocar essa matriz um pouquinho mais perto da sua forma escalonada, no caso, da sua forma reduzida. Então o que a gente pode fazer,
o que a gente pode começar a fazer? Eu vou manter a minha
primeira linha igual, então 1, -1, -1 de novo
(deixe-me fazer mais forte aqui) e a gente acabou, então, de manter
a primeira linha igual, então A1, e agora eu posso pegar a minha segunda
linha e somar com a primeira linha, então aqui ficaria, na segunda linha,
-1 mais 1 dá zero, 2 mais -1, no caso
2 menos 1, vai dar 1 e 3 menos 1
vai 2. Agora eu posso pegar
a minha terceira linha e simplesmente subtrair
a minha primeira linha. Assim a gente acabou de denotar
a nossa transformação linear aqui. Então só pegar a terceira linha
e tirar a primeira linha, então vai ficar
1 menos 1 dá zero, 1 mais 1, porque aqui tem menos,
então 1 mais 1 dá 2, e 4 menos -1 vai dar 5.
Então vai dar 5. Então já podemos fechar aqui a
primeira parte da nossa transformação e a gente pode escrever isso aqui como sendo
uma transformação linear, como já tinha dito antes, a gente pode reescrever
dessa maneira aqui. Eu tenho uma transformação T
que pega meu vetor x, aplica nele
uma matriz S, que é justamente a matriz que
a gente vai tentar achar agora. Essa matriz S, no caso,
a gente pode descobrir realizando essas mesmas
transformações que a gente fez aqui em uma matriz identidade,
por exemplo. Então vou pegar uma matriz, vou
desenhar bem pequena a matriz identidade, vai ser aqui
1, zero, zero, zero, 1, zero,
zero, zero, 1, e vou aplicar essas transformações
lineares aqui nessa matriz. Então se eu aplicar, se
eu deixar a primeira linha, vai ficar igual,
então 1, zero, zero. Agora, na minha
segunda linha, eu faço a minha segunda mais a primeira,
então vai ficar 1, 1, zero, e a terceira menos a primeira,
então -1, zero, e 1 menos zero
vai dar 1. Então essa aqui é a matriz
que a gente acabou de achar. Essa aqui é minha matriz de transformação
linear, minha matriz de transformação S. Só para vocês entenderem aquele negócio
que eu falei do começo do vídeo que as transformações que a gente realizar
numa coluna são iguais às transformações... é o equivalente às transformações
que a gente realizar em uma linha, vamos ver isso
um pouco mais de perto. Deixe-me colocar um pouco
mais pra baixo aqui... Ou melhor, vou deixar assim porque
quero que vocês vejam essa matriz. Então a gente pode pegar
uma matriz, por exemplo, a gente pode
reescrever como sendo a multiplicação dessa nossa
matriz de transformação linear vezes a nossa primeira
coluna, então 1, -1, 1, e isso aqui, de novo, a nossa matriz
transformação multiplicada por -1, é a nossa segunda
coluna, -1, 2, 1, e agora, de novo, a nossa
matriz de transformação, e isso aqui multiplicado
pela nossa terceira coluna, -1, 3, 4, isso aqui tem que nos dar essa mesma
matriz que a gente achou lá em cima (deixe-me fazer uma flecha aqui, vai poluir
o meu desenho, poluir nossas contas, mas...) tem que achar essa mesma matriz aqui.
Então vou escrevê-la aqui ainda. Então tem que achar essa
mesma matriz, 1, zero, zero, -1, 1, 2,
-1, 2, 5. Tem que achar
essa mesma matriz. A gente pode ainda dizer
que essa matriz aqui... Então, no caso, a gente pode dizer,
a gente pode reescrever essa mesma matriz
aqui como sendo a multiplicação de duas matrizes
porque isso aqui tudo é a definição de
multiplicação de matrizes. Então a gente pode dizer que essa nossa
matriz que a gente achou aqui em cima (deixe-me ver onde
posso reescrever isso) a gente pode dizer que
essa matriz aqui em cima é igual à nossa
matriz de transformação multiplicada pela nossa primeira matriz A,
pela matriz que a gente tinha antes. Então, agora, vamos continuar fazendo
as nossas transformações lineares para colocar essa matriz cada vez
em uma forma mais reduzida. Como a gente já sabia, no caso, aqui,
a gente está procurando uma matriz inversa, a gente está tentando achar um método
para achar a matriz inversa, a gente já sabe que a forma
reduzida dessa matriz aqui vai ter que ser a matriz identidade.
Mas caso a gente não soubesse, isso é uma boa forma,
uma boa lembrança para vocês, que caso a gente não soubesse,
a gente teria que achar que a matriz vezes a inversa
tem que dar a identidade, ou seja, a gente teria que fazer
todas as operações lineares aqui para, no final, achar uma matriz
identidade. Mas, enfim, continuando. O que a gente pode fazer,
agora, nessa nossa matriz? (acho que desenhei
muito torto aqui...) O que a gente pode fazer, agora, nessa
nossa matriz para continuar a escalonando? Então eu vou manter
a segunda linha, então zero, 1, 2 e agora a gente vai pegar,
na primeira linha, vou pegar a primeira linha
e somar com a segunda, então vai ficar
1 mais zero vai ficar 1, -1 mais 1 vai ficar zero,
-1 mais 2 vai ficar 1, e na terceira linha eu posso tirar
duas vezes essa segunda linha. Então posso pegar essa terceira linha,
menos 2 vezes aqui vai dar zero, terceira linha menos
2 vezes vai dar zero, terceira linha menos
2 vezes vai dar 1. Então a gente já chegou mais perto aqui
e pode escrever dessa mesma maneira que a gente escreveu aqui por extenso
a nossa transformação linear. A gente também pode escrever
nossa transformação linear por extenso aqui para essa matriz.
É o que eu vou fazer agora, só que vou escrever
em outra notação. Então a gente tem uma matriz,
a gente tem uma transformação linear T e dessa vez eu vou escrever T2, porque
é a nossa segunda transformação linear aqui. Aqui eu vou ter, então,
os meus vetores x1, x2, x3. A gente aplica alguma
coisa nesses vetores, nesse meu vetor coluna aqui,
e a gente fica com x1 mais x2,
aqui a gente fica x2 e aqui x3
menos 2x2, que foram as operações que a gente
aplicou para chegar nesta forma aqui. Ok, então isso aqui
a gente pode dizer, a gente pode reescrever
essa transformação dois, essa T2, como sendo aplicada
em um vetor x. Então, da mesma maneira, a gente teria
uma matriz de transformação S2 que seria multiplicada
pelo nosso vetor x e essa matriz de transformação
S2 é justamente... A gente poderia achá-la, poderia procurá-la
da mesma maneira que a gente achou essa nossa
primeira S aqui e seria justamente a multiplicação
dessa matriz S2 com tudo isso que estava aqui antes,
com toda essa matriz, com toda essa transformação S1,
eu vou chamar aqui de S1, com toda essa multiplicação aqui que vai
nos dar essa matriz em que a gente chegou aqui. Então acho que vocês já estão percebendo
aonde que gente está chegando. Então eu vou
pegar, agora, vamos continuar a fazer aqui
as nossas transformações lineares. Vamos pegar, agora, acho que
vai ser o último passo em direção a achar a forma reduzida,
ou a identidade, dessa matriz aqui. Então o que a gente
pode fazer agora? Dessa vez eu vou reescrever
(deixe-me pegar mais espaço aqui) já vou reescrever a nossa transformação T3
aqui, ao mesmo tempo. Então T3 sendo
aplicada em x1, x2, x3, tem que
ser igual... O que a gente pode fazer, então?
Eu vou manter, como já está pronta a terceira linha,
vou manter a terceira linha igual, zero, zero, 1, então
mantive a terceira linha igual, e agora a gente pode pegar
a primeira linha menos a terceira. Então a primeira linha
menos a terceira. Então isso vai dar
1 menos zero, 1, zero menos zero, zero,
1 menos 1 dá zero, e agora eu posso pegar
a minha segunda linha menos 2 vezes
a terceira linha, então posso pegar minha segunda
linha menos 2 vezes a terceira linha, dessa maneira. Então a segunda linha
menos 2 vezes, aqui vai dar zero, aqui vai dar 1 menos
2 vezes zero vai dar 1 e 2 menos 2
vai dar zero. Então a gente chegou, como
esperado, na matriz identidade. Se fosse para reescrever essa nossa transformação
que a gente acabou de realizar, T3, se a gente fosse reescrever
T3 realizada em um vetor x como sendo uma outra
matriz de transformação S3 multiplicada por esse mesmo vetor x,
a gente poderia verificar que essa matriz que
a gente acabou de encontrar aqui, essa matriz aqui, é resultado
da multiplicação de S3 com tudo que a gente fez antes,
no caso com a nossa matriz anterior, só que a nossa matriz
anterior já era S2 multiplicada por S1
multiplicada por A. Então a gente acabou de chegar
em uma coisa interessante. Antes, nós vamos lembrar,
então, nós vamos lembrar aqui que se nós tivermos uma transformação
(deixe-me escrever com outra cor aqui) se nós tivermos uma transformação,
por exemplo T0, realizada sobre o vetor x
e a gente souber... (aqui nós temos uma matriz A
e aqui nosso vetor x) se a gente souber
que isso aqui é inversível, então a gente pode dizer que existe
uma transformação linear T0 menos 1 que vai ser igual
à minha matriz inversa (deixe-me até fazer de outra cor,
vou colocar outra cor aqui em cima) a minha matriz inversa
multiplicada pelo vetor x. E agora a gente acabou de descobrir toda
a nossa transformação que a gente fez aqui, tudo isso aqui
(deixe-me pegar uma outra cor) tudo isso aqui é igual
à minha matriz inversa. Então tudo isso aqui
é igual à minha matriz inversa. Se vocês lembram, porque
isso aqui multiplicado por A é igual à identidade, isso
aqui vai ser igual à identidade, como a gente acabou de
descobrir aqui embaixo. A gente fez todas essas transformações aqui
multiplicadas pela nossa matriz inicial A e a gente acabou encontrando
a matriz identidade, e a gente lembra ainda
que dos últimos vídeos a gente chegou no resultado
em que uma matriz A multiplicada pela sua inversa
tem que ser igual à identidade. Então se a gente tem aqui
a nossa matriz A e a gente fez uma série de
multiplicações por outras matrizes e isso aqui resultou
em uma identidade, esses outros termos só podem
ser a matriz inversa de A. Então isso aqui tudo
é a matriz inversa de A. A gente ainda pode chegar numa
outra coisa mais interessante. E se a gente aplicasse essas mesmas
transformações na ordem que a gente aplicou ao mesmo tempo na matriz A
e na nossa identidade? Deixe-me colocar
bem para o lado. Vou colocar mais ou menos assim.
Acho que está bom. Então eu vou pegar aqui a nossa
matriz A, a nossa identidade (eu acho que estou escrevendo
bem fora de ordem, espalhado, mas espero
que vocês não se percam). Então vamos supor que
a gente pegue primeiro... Qual foi a primeira transformação
que a gente fez? A gente pegou aqui nossa
primeira transformação, aqui, a gente pegou o nosso S1,
a nossa primeira transformação, e multiplicamos
pela matriz inicial A. Então S1A. E da mesma maneira, aqui vamos
aplicar S1 na nossa identidade. A nossa segunda transformação
foi realizada aqui, aqui está a nossa
segunda transformação, foi nossa segunda transformação aplicada
na nossa matriz anterior, que já era S1A. Então nós vamos aplicar a nossa
segunda transformação nisso aqui. Vai ficar S2S1A. E da mesma maneira aqui,
S2S1 identidade. A gente está aplicando as mesmas
transformações nos dois lados. E agora a gente pode pegar
nossa terceira transformação, aqui foi feita nossa
terceira transformação, e a gente pode
aplicá-la aqui, S3S2S1A e aqui, da mesma maneira,
S3S2S1I. A gente acabou de chegar
no resultado aqui, aqui em cima a gente já
chegou nesse resultado que isso aqui
é igual à identidade. E se isso aqui
é igual à identidade, e a gente sabe também que a nossa matriz
vezes a inversa tem que ser igual à identidade, isso aqui tudo só pode ser
igual à nossa matriz inversa. E qualquer coisa vezes a identidade
vai dar essa mesma coisa. A identidade é como se fosse o termo
neutro da multiplicação de matrizes. Na verdade, ela é o termo neutro
da multiplicação de matrizes. Então, sabendo disso, qualquer coisa que
a gente multiplicar aqui pela identidade a gente vai ter o nosso...
qualquer coisa. E essa "qualquer coisa",
no caso, não é qualquer coisa, é justamente a matriz
inversa de A. Então se a gente pegar
ao mesmo uma matriz A, fazer uma versão aumentada
dela com a identidade e a gente aplicar uma série de transformações
lineares nas nossas linhas ou colunas, a gente já mostrou neste vídeo
que são a mesma coisa, a gente vai chegar
(opa, acho que riscou mais aqui) a gente vai chegar, depois de realizar várias
transformações lineares sucessivamente, a gente vai chegar no resultado da identidade,
e no outro lado a matriz inversa de A. Então isso aqui a gente vai
usar nos próximos vídeos. A gente, neste vídeo, ainda não achou
essa matriz inversa, propriamente dita, mas nos próximos vídeos vai
fazer um exemplo disso aqui. Então, muito obrigado
e até a próxima!