Determinantes junto a outras linhas/colunas

RKA2G - No último vídeo nós calculamos o determinante desta matriz 4 por 4 usando aquela fórmula do determinante de uma matriz "n" por "n". E o resultado disto foi 7. A maneira como a gente fez foi pegar esta primeira linha e multiplicar o termo pela matriz. Se a gente tirar esta linha e esta coluna, vai ficar: 0, 2, 0; 1, 2, 3; 3, 0, 0. E agora, menos (porque inverte o sinal) duas vezes a matriz quando a gente tira esta linha e esta coluna, que então fica: 1, 2, 0; 0, 2, 3; 2, 0, 0. Aí colocamos: mais 3 vezes a matriz que a gente teria e agora, menos 4 vezes a matriz que a gente teria se tirasse, e assim vai. E o resultado disto tem que ser 7. Mas o intuito deste vídeo é mostrar que vocês podem fazer este mesmo cálculo com qualquer linha ou qualquer coluna. Então, neste vídeo, nós vamos pegar e fazer esse mesmo cálculo com esta linha. Só que, antes de começar a fazer o cálculo, vocês têm que lembrar daquele padrão de sinais. Nesta primeira linha, o padrão de sinais seria, por exemplo, mais, menos, mais, menos. Mas, se isto vale para toda linha e toda coluna, então, a primeira coluna tem que ser mais, menos, mais e menos. Se isso for assim, a segunda linha já não vai ser esse mesmo padrão (mais, menos, mais, menos). Vai ser menos, mais, menos, mais. A terceira linha vai ser igual à primeira: mais, menos, mais, menos. E a última linha: menos, mais, menos, mais. Este vai ser o padrão de sinais para esta matriz 4 por 4. E a gente ainda pode descrever matematicamente como achar o sinal de qualquer um desses termos da matriz 4 por 4. Vou escrever aqui o sinal. Se você me der um um "i" e um "j", vai me dar um termo, vai ser igual a -1, elevado a (i + j). Se eu pegar, por exemplo, este termo, ele é o termo a, 2, 3. Ou seja: segunda linha, terceira coluna. Então, se pegarmos este -1, elevado a (i + j), o "i" vai ser 2 e o "j" vai ser 3. Então, aqui vai ser 2 + 3, que é igual a 5. -1 elevado a 5 é o próprio -1, então, o sinal é negativo. Acabamos de descobrir o sinal. Agora, sem mais demoras, por que a gente escolheria esta linha para fazer, em vez da primeira? Justamente para facilitar o cálculo. poderíamos pegar, por exemplo, esta linha, que tem o maior número de zeros, ou esta última linha, que tem dois zeros, o número igual de zeros. Mas, para mudar, eu vou pegar esta última linha aqui. Geralmente vocês podem escolher a linha ou coluna que tem o maior número de zeros. Então, vamos começar. Vamos pegar, primeiro, este 2 e multiplicar aqui. 2 vezes... Só que tem que lembrar que o sinal, na quarta linha e primeira coluna, vai ser negativo. Este sinal aqui. Então, aqui vai ser -2 vezes a matriz 3 por 3 que a gente obtém tirando esta linha e esta coluna. Então, é 2, 3, 4; 0, 2, 0; 1, 2, 3. 2, 3, 4; 0, 2, 0; 1, 2, 3. Agora, mais 3 vezes a matriz se a gente tirar esta linha e esta coluna. Então, fica: 1, 3, 4; 1, 2, 0; 0, 2, 3. E isto, o resultado tem que ser igual a 7 para a gente descobrir que os dois são equivalentes. Agora podemos continuar. Podemos pegar esta matriz 3 por 3 e escrever como se fosse uma 2 por 2. Aqui eu vou colocar -2 vezes... No caso aqui, eu não precisei colocar estes outros termos porque eles são zero. Eu esqueci de falar aqui, mas ficaria, por exemplo, -0 vezes uma matriz, que cancelaria e ficaria o próprio zero. Continuando: -2 vezes... Agora acho melhor eu colocar aqui... Cliquei errado. Vou apagar isto. Acho melhor agora escrever com parênteses, desta forma. E agora podemos escrever este primeiro termo: 2 vezes a matriz que a gente obtém tirando esta linha e esta coluna. 2 vezes o determinante da matriz 2, 0; 2, 3... Na verdade, podemos fazer a mesma coisa que fizemos aqui, de escolher a linha com o maior número de zeros, nesta matriz reduzida. Eu vou escolher esta linha aqui. Então, -2 vezes... Como isto é zero, eu posso simplesmente ignorar. Vou pegar só para este termo aqui. Então, aqui vai ser 2 vezes... Ou melhor, -2 vezes... Desculpa, é +2 vezes, porque aqui é mais. Estou me confundindo demais aqui. É mais, menos, mais. Aqui vai ser menos, mais, menos. Então, aqui vai ser mais. 2 vezes o determinante da matriz quando eu tirar esta linha e esta coluna, que é 2, 4; 1, 3. Assim, determinamos a matriz reduzida. Isto, ainda, somado com 3 vezes... E eu vou pegar esta linha aqui. E agora, 1 vez... Tira esta linha e esta coluna, vai ficar 3, 4; 2, 3. E agora, no caso, aqui vai ser -1. Estou sempre esquecendo a ordem dos sinais. É -1. E aqui, +2 vezes 1, 4; 0, 3. Desta maneira. Isto tem que dar 7 como resultado. Vamos só continuar calculando. Isto vai ser -2 vezes... Aqui fizemos os parênteses direito. Aqui vai dar: 2 vezes 3 = 6, menos 4 dá 2, vezes 2 vai dar 4. Então, -2 vezes 4, mais 3 vezes... E agora vai dar aqui: 3 vezes 3 = 9, menos 8 vai dar 1, vezes -1 vai dar -1. Então, aqui vai ficar -1. E aqui, 2 vezes... 1 vezes 3 = 3, menos zero dá 3, vezes 2 dá 6. -1 + 6. Então, isto vai ser igual a -8, mais Aqui vai dar 5. Mais 15. -8 + 15. E 15 - 8 é justamente igual a 7. Acabamos de provar que pegar qualquer outra linha ou qualquer outra coluna, desde que a gente respeite este quadro de sinais, vai acabar nos dando um resultado equivalente ao que se a gente tivesse pegado a primeira linha. Podemos usar isto para qualquer matriz 3 por 3 ou 4 por 4 que a gente quiser. Vocês podem escolher qualquer linha ou qualquer coluna que tenha o maior número de zeros, ou que fique mais fácil para vocês calcularem. Se tiver um grande número de 1, ou de 2, para deixar o cálculo um pouco mais fácil, porque é muito difícil se confundir aqui. Só nunca esqueçam deste quadro de sinais aqui. Não esqueçam disto, porque senão vocês correm risco de errar o cálculo do determinante. Muito obrigado pessoal, e até a próxima!