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Exemplo de como encontrar a matriz inversa

Exemplo de cálculo da inversa de uma matriz. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2JV - E aí, pessoal! Neste vídeo, nós vamos tentar achar a inversa desta matriz aqui, que é a mesma matriz que a gente começou no último vídeo. E a gente vai tentar fazer isso utilizando a técnica que a gente aprendeu no último vídeo. E essa técnica é bem simples, é só fazer. Então, vamos começar. Primeiro, a gente vai ter que fazer a forma aumentada desta matriz aqui. Do lado esquerdo vai ficar a matriz e, do lado direito, a identidade. Então, eu vou começar reescrevendo aqui. Vamos reescrever a matriz 1, -1, 1; aqui, -1, 2, 1; e aqui, -1, 3, 4. Isso, ou melhor, aqui tem que ser uma barra, porque é uma matriz aumentada. E, no outro lado, a matriz identidade. Então: 1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1, e podemos fechar a matriz. Então, agora a gente tem que fazer as transformações lineares aqui para tentar chegar na nossa matriz. Neste lado, tem que tentar fazer transformações lineares para chegar na matriz reduzida neste lado. Então, vamos começar mantendo a primeira linha como está. Então: 1, -1, -1; e aqui, 1, 0, 0. E agora, o que a gente pode fazer com as outras linhas? Vamos começar pegando a segunda linha e somando ela com a primeira linha. Então: -1 + 1 vai dar zero. Vou botar em outra cor aqui. Vai dar zero. 2 - 1 vai dar 1. 3 - 1 vai dar 2. 0 + 1 dá 1. 1 + 0 dá 1. 0 + 0 dá zero. E agora a terceira linha, a gente pode pegar a terceira linha e subtrair a primeira linha. Então: 1 - 1 vai dar zero. 1 - (-1) vai dar 1 + 1, que é 2. E 4 - (-1), que é 4 + 1, vai dar 5. Então, a mesma coisa aqui: 0 - 1 vai dar -1. 0 - 0 dá zero. E 1 - 0 vai dar 1. Ok, então, vamos para a próxima transformação. Agora a gente pode manter. Deixe-me transformar tudo isso aqui, fazer ficar bem colorido isto. A gente pode pegar e deixar a segunda linha fixa, porque a gente já achou o zero dela aqui. Então, deixar a segunda linha fixa. E fazer a versão aumentada, só copiando o que estava lá em cima. E agora a gente pode pegar a primeira linha e fazer a primeira linha. A gente tem que achar um zero aqui e um aqui. Então, na primeira linha, o que a gente pode fazer é somar ela com a segunda linha. Então, aqui vai ficar 1 + 0, que vai dar 1. -1 + 1 vai dar zero. E -1 + 2 vai dar 1. E aqui, somar também. Aqui vai dar 2, aqui vai ficar 1, aqui vai ficar zero. E agora, na terceira linha, a gente pode pegar a terceira menos 2 vezes a segunda. Então: 0 - 2 vezes 0 dá zero. 2 - 2 vezes 1 vai dar zero. 5 - 2 vezes 2 vai dar 5 - 4, que é igual a 1. E aqui vai dar -1 - 2 vezes 1, vai dar -3. 0 - 2 vezes 1, vai dar -2. E 1 - 2 vezes 0, que vai dar 1. Então, agora a gente pode passar para a nossa terceira transformação. Já vou fazer a matriz aqui. A gente pode deixar fixa a nossa terceira linha, que já está pronta. Então, só vou mudar de cor aqui: 0, 0, 1. E aqui: -3, -2, 1. E agora a gente pode começar a fazer a nossa transformação. A gente tem que zerar isto aqui e isto aqui. Então, vamos fazer a primeira linha. Vamos fazer a primeira linha menos a terceira. Então: 1 - 0 vai dar 1. 0 - 0 vai dar zero. E 1 - 1 vai dar zero. Da mesma maneira neste lado: 2 - (-3) é 2 + 3, que vai dar 5. 1 - (-2) é 1 + 2, que vai dar 3. E 0 + 1, 0 -1, desculpa, vai dar... Ou melhor, zero mais, 0 - 1, é verdade. Estou me confundindo demais aqui. 0 - 1 vai dar -1. Esse é um detalhe, tem que cuidar para não se confundir, porque aqui são muitos cálculos, muitos números separados, e é muito fácil de se confundir, então, tome cuidado. E agora, na segunda linha. A gente pode pegar a segunda linha menos 2 vezes a nossa terceira linha. Então: 0 - 2 vezes 0 dá zero. 1 - 2 vezes 0 dá 1. 2 - 2 vezes 1 dá zero. 1 - 2 vezes -3 dá 1, + 6, que dá 7. 1 - 2 vezes -2 dá 1, + 4, que é 5. 0 - 2 vezes 1 dá 0, - 2, que vai dar -2. Então, a gente acabou de achar aqui. Nós chegamos aqui, então, na matriz identidade. Aqui está a nossa matriz identidade. E, se vocês assistiram ao último vídeo, vocês vão lembrar que a gente começa com uma matriz aumentada com a identidade, a gente vai fazendo uma série de transformações lineares até chegar no resultado da identidade no lado esquerdo e a nossa matriz inversa no lado direito. Então, aqui está a nossa identidade, e esta aqui é a nossa matriz inversa de A. Então, esta aqui é A⁻¹. Espero ter ajudado vocês, pessoal. Até o próximo vídeo!