Fórmula para inversa 2x2

RKA4JL - Neste vídeo nós vamos descobrir uma fórmula para determinar a matriz inversa de qualquer matriz de ordem 2 por 2. Então aqui eu tenho uma matriz genérica, no caso [a, b, c, d]. Poderiam ser quaisquer quatro números reais, por isso falei para qualquer matriz. Então a gente vai tentar achar um caso geral para elas. O método que a gente vai usar neste vídeo vai ser aquele método de colocar a matriz dessa maneira aqui e fazer a versão aumentada dela contendo a identidade, a matriz identidade no lado direito. Então depois de fazer várias manipulações, várias transformações lineares nestas colunas, se vocês assistiram aos últimos vídeos vão ter acompanhado que a gente vai ter como resultado, se a gente começa a manipular suas colunas, nesse lado a gente vai ter a matriz identidade de n, que neste caso vai ser 2 por 2, e nesse lado nós vamos ficar com a matriz inversa de "a". Deixe-me apagar isso aqui e vamos começar. Então para a gente começar, para a gente sair desse ponto inicial aqui, a gente precisa transformar essa matriz aqui, do lado esquerdo, em algo cada vez mais próximo da matriz identidade, que no caso é essa matriz aqui. Tudo que a gente fizer, todas as transformações sem exceção que a gente fizer nesse lado, na matriz normal, nós vamos fazer também na matriz reduzida. Então, começando. A coisa mais simples que a gente pode fazer agora no começo é tentar zerar esse termo e esse termo. Então a gente pode escolher deixar a segunda linha ou a primeira estáticas, sem mexer nelas, ou a gente pode mexer nas duas junto, mas acho que não seria muito recomendado. Então eu vou começar fazendo uma transformação que eu vou chamar de T₁, em que eu vou pegar uma coluna formada por c₁ e c₂, dois componentes dessa coluna, e vou transformar essa coluna, vou aplicar uma transformação nela que transforme em... O que nós podemos fazer, então? Vou deixar a primeira linha estática, sem mexer, e o que nós podemos fazer para zerar esse termo c, aqui? A gente pode fazer a vezes c, multiplicar um escalar a por c e subtrair por um escalar c vezes a. Calma que eu vou explicar como eu cheguei nisso. Então multiplicar um escalar ac menos... Ou melhor, a vezes o que estiver em c₂, e isso aqui diminuir c vezes o que estiver em c₁. Então isso aqui, se a gente for fazer, vai descobrir que cancela esse termo aqui. Então já vamos trocar... Já vou escrever aqui ao lado como a nossa matriz está ficando. Multiplicando aqui, a primeira linha vai permanecer igual. Então, por enquanto, vou deixá-la assim, não vou mexer nela. Vou fazer primeiro a linha de baixo, que vai ser a mais difícil. Então c vezes a, ou ac, menos c vezes o que está no c₁, que é a. Isso aqui vai da ac menos ca, que é a mesma coisa que ac menos ac. Então esse resultado aqui é zero. Posso marcar meu zero aqui. Agora a gente vai fazer isso com o d. a vezes d, que no caso é c₂, e isso aqui menos c vezes c₁, que é b. Então menos cb. Neste caso vou colocar menos "bc". Eu sou inverti a ordem das letras para ficar na ordem alfabética, pois eu acho mais fácil de visualizar dessa maneira. Então, agora a gente faz a nossa versão aumentada dessa matriz e no outro lado a gente vai fazer a mesma coisa com a identidade. Então aqui fica a vezes o que está em c₂, que é a vezes zero, e isso menos c vezes o que está em c₁, que é 1. Então vai ficar -c aqui embaixo. E agora, a vezes c₂ vai ser a vezes 1 menos c vezes zero, que vai ser zero. Então a vezes 1 é o próprio a. Agora a gente pode fechar a nossa matriz e aqui em cima os nossos valores ficam iguais. Então [a, b, 1, zero] Agora a gente pode fazer uma transformação T₂. Da mesma forma a gente pega uma coluna (c₁, c₂) e aplica uma transformação nela que a faça virar e a gente tem que fazer... Não sei se vocês já perceberam isso, eu já falei no começo, mas a gente tem que fazer essas transformações simultaneamente nestas quatro colunas. Isso aqui é uma coluna, isso aqui é outra, isso aqui é outra, isso aqui é outra. Por isso que eu estou pegando e fazendo sempre com uma linha estática e a outra não porque vai ficar mais fácil de fazer passo a passo do que tentar e errar aqui no meio pois a matemática daqui para frente vai ficar bem complicada, pois terá muitas letras. Então, continuando. Eu vou pegar uma coluna c₁ formada pelos termos c₁ e c₂. Vou aplicar uma transformação para, agora, zerar esse termo aqui. E como a gente vai zerar isso? Para zerar isso vamos fazer o mesmo esquema que a gente fez ali em cima. Vamos multiplicar esse escalar aqui, no caso (ad menos bc) vezes b e isso aqui -b vezes (ad menos bc). Para fazer isso dessa maneira, a gente vai ter que fazer com todos os termos. Escrevendo isso de uma maneira um pouco mais genérica, nós vamos ficar com (ad menos bc), isso multiplicado pelo que estiver em c₁ (deixe-me fazer até em uma cor diferente que não usei ainda). (Na verdade estou ficando sem cores que eu ainda não usei, mas acho que usarei esse verde mesmo). Aqui embaixo, neste caso, a gente pode manter a mesma linha... Ah não, eu esqueci do menos, com a cor certa (tenho que fazer com a cor certa), menos b vezes o que estiver em c₂ e aqui embaixo a gente pode manter a mesma linha porque a gente já mexeu nela uma vez. Então vamos fazer primeiro a de cima. A de baixo vou deixar igual, vou deixar c₂. Agora a gente pode escrever essa matriz aqui (deixe-me pegar mais espaço para cá), pode pegar essa matriz e como a segunda linha vai ficar igual, vou escrevê-la depois. Vou começar pela primeira. Então (ad menos bc) vezes c₁, que nesse caso é a, vai ficar (ad menos bc) vezes c₁, que no caso é a (deixe-me trocar aqui por a) e isso menos b vezes o que está em c₂, que é zero. Então esse termo aqui cancela, a gente não precisa dele. Agora neste b aqui vai ficar (ad menos bc) vezes b menos b vezes (ad menos bc). Então esses dois termos se cancelam e a gente pode colocar zero aqui. Agora a gente faz a aumentada e vamos para esse termo aqui. (ad menos bc) vezes 1 menos (b vezes (c₂, que é -c). Então vai ficar ad (deixe-me pegar mais uma cor) vai ficar ad menos bc e como aqui tem "menos b vezes menos c" vai ficar "mais bc". Esses dois a gente pode cancelar. Então já vou cancelar para não esquecer. Agora, neste zero aqui, vai ficar ad menos bc vezes zero, que vai ser o próprio zero, menos b vezes c₂, que é a. Então aqui vai ficar menos b vezes a. A gente pode fechar a nossa matriz e aqui embaixo, como vai ficar a mesma coisa, podemos copiar a linha. zero ad menos bc, aqui vai ficar -c, aqui vai ficar a. Agora que a gente cancelou esses dois termos aqui, eu só vou reescrever a matriz para a gente não se confundir depois na hora de continuar nossos cálculos. Então aqui eu posso escrever ad menos bc, isso multiplicando a, nosso fator a, aqui vai ficar zero, aqui a matriz aumentada, aqui vai ficar só ad e aqui vai ficar -ba. E posso fechar a matriz. Aqui vai ficar zero, aqui vai ficar ad menos bc e aqui vai ficar -c e a. Então, agora a única coisa que falta para a gente transformar essa matriz aqui na nossa matriz identidade é zerar esses dois termos aqui. Zerar não, desculpe, transformar em 1. Nós temos que deixar a matriz com a mesma cara da identidade aqui em cima, então a coluna principal tem que ser 1. Para transformar essa coluna principal em 1, a gente pode, por exemplo, multiplicar esse termo aqui por 1 sobre (ad menos bc) vezes a, ou seja, pelo inverso dele e esse termo aqui também multiplicar por 1 sobre (ad menos bc), que é o inverso dele. Então a gente pode fazer a nossa terceira transformação linear, em que a gente pega uma coluna e aplica nela uma transformação linear em que na primeira, nesse termo aqui da primeira linha, eu vou pegar a linha inteira e multiplicar por 1 sobre (ad menos bc) vezes a (deixe-me escrever direito esse c), menos bc vezes a, então (ad menos bc) vezes a e isso daqui, não podemos esquecer de multiplicar por todos os termos da primeira linha. Então fica c₁ aqui. Aqui embaixo a gente pode fazer o inverso deste termo, que é ad menos bc e isso aqui multiplicado por todos os termos da segunda linha. Então aqui pode multiplicar por c₂ (acho que estou tendo problemas com a minha caneta), então aqui multiplicado por c₂ desta maneira. Perfeito. Então a gente pode reescrever a matriz. Não se preocupem que a parte de matemática já está acabando. Então agora, reescrevendo a matriz, a gente vai ficar com (ad menos bc) vezes a dividido por (ad menos bc) vezes a. Então aqui vai ter 1, como a gente esperava. Aqui a gente vai ficar com zero, que multiplicado por isso tudo vai continuar sendo zero, e agora na nossa matriz aumentada, na nossa parte aumentada da matriz, a gente vai ter ad vezes tudo isso aqui. Então a gente vai ter dividido por (ad menos bc) e multiplicado por a (estou tendo problemas com a caneta) nós vamos ter aqui em cima ad, dessa maneira aqui, e esses "a" podem ser cancelados. No último termo nós vamos ter também, dividido por (ad menos bc) vezes a, nós vamos ter aqui -b vezes a. Então aqui nós podemos cancelar esses "a" também. Agora na parte de baixo da nossa matriz, na segunda linha, nós vamos, por exemplo, pegar e multiplicar zero por isto, então vai dar o próprio zero. A gente vai pegar esse (ad menos bc) e dividir (neste caso, multiplicar) por 1 sobre (ad menos bc), então aqui vai ser 1 e fazer a mesma coisa que a gente fez aqui em cima, que é multiplicar por 1 sobre (ad menos bc) esses termos aqui. Então vai ficar -c sobre (ad menos bc) e aqui vai ficar a dividido por (ad menos bc), pois a gente não pode simplificar. A gente acabou de chegar na nossa matriz identidade. Então essa matriz aqui é a nossa inversa. Eu vou escrevê-la separadamente aqui: a matriz inversa de a vai ser igual a d sobre (ad menos bc), aqui vai ser -b sobre (ad menos bc), aqui vou ter -c sobre (ad menos bc) e aqui eu vou ter a sobre (ad menos bc). Se já estão observando isso aqui, vocês já podem perceber que isso aqui está sendo... Todos os termos nossa matriz estão sendo divididos por esse mesmo cara aqui. A gente pode reescrever mais uma vez, a gente pode escrever de novo nossa matriz inversa de a como sendo 1 sobre isso daqui (porque todos os nossos termos estão sendo divididos por isso), então é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso. Então 1 sobre (ad menos bc) multiplicado por toda a nossa matriz, que no caso vai ser [d, -b, -c, a]. A gente acabou de chegar na fórmula da nossa inversa e essa forma fica bem mais fácil para decorar (entendam, não "decorem"). Seria legal, a gente pode falar aqui que... No caso, eu posso falar que logo no começo, quando eu disse que ia apresentar a vocês um caso geral, eu posso dizer que isso serve para todas as matrizes 2 por 2. Então vocês podem me perguntar: "OK, mas e quando esse (ad menos bc) for zero?" Quando esse (ad menos bc) for zero, a gente não vai ter uma divisão por zero definida e então a gente não tem matriz inversa. Então aqui se (ad menos bc) for igual a zero, a matriz não é (deixe-me fazer assim)... A matriz não é inversível. Se ela não é inversível, esse (ad menos bc) também tem que ser igual a zero. Então vocês podem pensar: "Poxa se esse (ad menos bc) é tão importante assim, ele podia ter um nome diferente, podia ter um nome separado". E ele tem. Esse (ad menos bc) é chamado de determinante. Vocês podem ver em livros como sendo determinante, por exemplo, de (A), ou até mesmo |D|, dessa maneira aqui, ou ainda tem gente que usa essa maneira aqui |[A]|, que é a matriz A no meio com essa chave e lado de fora essa barra do sinal de módulo, só que algumas pessoas acham isso muito redundante, então preferem usar esta notação aqui. Então a gente pode escrever nossa matriz inversa como sendo igual a 1 sobre o determinante vezes tudo o que está aqui em nossa matriz, que vai ser [d, -b, -c, a], dessa maneira aqui. É interessante perceber o que a gente fez com essa matriz para chegar na inversa: a gente trocou a nossa matriz original (deixe-me desenhar essa matriz original aqui)... Nossa matriz original era [a, b, c, d] e agora a gente está com [d, -b, -c, a]. Então o que a gente fez foi trocar os termos da ordem diagonal de posição e inverter o sinal dos termos da diagonal secundária. Foi isso que a gente fez. Para achar o determinante que vai ser igual a (ad menos bc), que está aqui, a gente multiplicou essa diagonal principal e subtraiu pelo produto da diagonal secundária. Então são duas coisas legais de se notar, é uma boa maneira de lembrar dessa fórmula aqui. Então, agora, vamos fazer um exemplo. Eu vou pegar uma matriz B, que vai ser [1, 2, 3, 4], e agora vamos tentar calcular a inversa dessa matriz aqui. Então primeiro nós vamos precisar do determinante da matriz (B). Para isso a gente pode pegar e multiplicar a diagonal principal, que vai ser 1 vez 4, e subtrair pelo produto da diagonal secundária, desculpem, que vai ser 3 vezes 2. Isso aqui vai dar 4 menos 6, que vai dar -2. E agora, aplicando isso na fórmula, a gente vai ter que a matriz inversa de B vai ser igual a 1 sobre determinante, então 1 sobre -2 vai ser -½ e isso multiplicado por... Agora a gente inverte os termos da diagonal principal, então aqui vai ficar 4 e aqui vai ficar 1 e a gente troca o sinal da diagonal secundária, então vai ficar -3 e -2. E essa é a nossa matriz inversa. Se a gente quiser continuá-la aqui, dá para continuar ainda e chegar até o final. É só dividir todos os termos pelo determinante ou multiplicar por -½. Então aqui vai dar -2, aqui vai dar 1, aqui vai dar 3/2 e aqui vai dar -½. Então essa aqui é a nossa matriz inversa de B. A gente também poderia pegar um outro exemplo. Vou pegar aqui uma matriz C, que é igual a [1, 2, 3, 6], para a gente calcular o determinante de c (mais um exemplo só), e agora 3 vezes 2, diagonal principal, o produto dela, menos o produto na diagonal secundária, ou no caso... Eu confundi as ordens aqui, na verdade vai dar a mesma coisa, mas é melhor fazer na ordem em que eu falei antes. Então 1 vez 6 menos 3 vezes 2, que vai dar 6 também. Então o determinante de c vai ser igual a zero. Neste caso a matriz inversa de c não existe. Então a matriz inversa de c, c⁻¹, não existe porque o determinante é igual a zero. E também, se vocês já perceberam isso antes, é meio óbvio depois que vocês já conhecem as propriedades de matrizes, porque uma coluna aqui é um múltiplo escalar da outra coluna. Então pelas nossas propriedades de matrizes isso aqui, o determinante, vai dar zero. Espero que este vídeo tenha ajudado vocês e até o próximo vídeo!