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Transcrição de vídeo

nesse vídeo nós vamos descobrir uma fórmula para determinar a matriz inversa de qualquer matriz de ordem 2 por 2 então aqui eu tenho uma matriz genérica no caso abc b que poderiam ser quaisquer quatro números reais por isso que eu falei pra qualquer matriz então a gente vai tentar achar um caso e geral para elas e então o que o método que a gente vai usar neste vídeo vai ser aquele método de botar a matriz a matriz dessa maneira aqui e fazer a versão aumentada dela contendo a identidade como não fizeram muito feio amatrice identidade no lado direito então depois de fazer várias manipulações várias transformações lineares nestas colunas seja vocês assistiram os últimos vídeos vocês vão ter acompanhado que a gente vai ter como resultado a gente começa a manipular suas colunas nesse lado a gente vai ter a matriz e identidade é dn no caso que daqui nesse caso vai ser 2 por dois e nesse lado nós vamos ficar com a matriz é inversa diá então tinha pagar isso aqui e vamos começar então a gente começar pra gente sair desse ponto inicial aqui a gente precisa transformar essa matriz aqui o lado esquerdo e uma em cada vez algo mais próximo da matriz identidade que no caso essa matriz daqui e tudo que a gente fizer todas as transformações sem exceção que a gente fizer nesse lado na matriz normal nós vamos fazer também na matriz reduzida então começando na a coisa mais simples a gente pode fazer agora no começo é tentar ser a esse termo e esse tema então a gente pode escolher deixar segunda linha ou a primeira estáticas no caso sem mexer nelas hoje pode a gente pode mexer as duas junto mas acho que não seria muito recomendado então eu vou começar a fazer uma transformação mas a fazer uma transformação que o chamado de t1 em que eu vou pegar uma coluna formada por ser um e dois 22 componentes essa coluna eu vou transformar essa coluna vou aplicar uma transformação nela que transforme em o que nós podemos fazer então por deixar a primeira linha estática sem mexer o que nós podemos fazer então pra dizer a esse termo ser aqui a gente pode fazer a vezes se a esse monte multiplicaram escalar a torcer e subtrair por um erro escalar c vezes a um carro que eu vou explicar como eu cheguei nisso então multiplicaram escalar a ce - ou melhor a vezes o que estiver em 62 e isso aqui diminuir-se vezes o que tiver seu então isso daqui a gente for fazer a gente vai descobrir que cancela esse termo daqui então vamos trocar já se fazia aqui jogou escrevi aqui um lado como a nossa matriz está ficando então multiplicando na aac a primeira linha permanece em iguape vai permanecer igual então por enquanto vou deixar assim não vou mexer nela vou fazer primeira linha de baixo que vai ser a mais difícil então ser vezes a ou a ser menos ser vezes o que tem no seu 1 que é a esta que vai da acer - será que a mesma coisa que a ce - a ser então esse resultado aqui é zero então posso marcar 60 aqui e agora a gente vai fazer com o deep a vezes de que no caso da c2 à vezes de isso daqui - ser vezes e um qb então - cb no caso votar - bc eu sou invertia a ordem das letras pressionou da fabet que eu acho mais fácil de visualizar dessa maneira que estão agora a gente faz aqui a nossa versão aumentada dessa matriz e no outro lado a gente vai fazer a mesma coisa com a identidade então aqui fica a vezes o que está aqui em c2 que é a vez de zero e isso menos cerveja o que está aqui em c1 que é um então marcar - ser aqui em baixo - e e agora a vez e dois parciais 6/1 - seria zero que vai ser zero então a vezes um é o próprio a e agora a gente pode fechar a nossa matriz e aqui em cima os nossos nossos valores ficam iguais então a b1 e 0 aqui então a gente pode fazer uma transformação que pode fazer uma transformação t2 da mesma forma a gente pega uma coluna ser uns e 2 e aplicam a transformação nela que a faça virar ea gente tem que fazer vocês já perceberam isso eu já falei no começo até mas a gente tem que fazer essas transformações simultaneamente com essas quatro colunas isso daqui é uma coluna isso daqui é outra isso daqui é outra isso aqui é outra por isso que eu estou pegando e fazendo sempre com uma linha estática ea outra não porque vai ficar mais fácil de fazer passo a passo do que tentar e errar aqui no meio porque a matemática daqui pra frente é ficar bem bem complicada porque tem muitas letras então continuando eu vou pegar uma coluna ser informada pelos termos em mãos e 21 aplicar uma transformação para agora zerar esse termo aqui e como a gente vai ver a isso então trazer a isso vamos fazer o mesmo esquema que a gente fez em cima vamos multiplicar esses escalado aqui no caso a de - bc vezes b e isso daqui - b vezes a de - bc e para fazer isso dessa maneira vai fazer com todos os termos então escrevendo isso de uma maneira um pouco mais genérica nós vamos ficar com a de adn e - bc isso aqui é multiplicado pelo que estivera 501 então multiplicado pelo que estiver aqui em c1 vou tentar fazer uma coisa diferente econômico zee ainda ou na verdade estou ficando sem cores que eu não sei ainda mas acho que vai aparecer verde mesmo e aqui em baixo no caso a gente pode manter a mesma linha a não esquecer aqui - ou melhor menos uma coisa é certa tem que fazer com a cor certa - aqui vai ficar b vezes o que estiver vencer 2 vezes o que estiver em ser 2 e aqui em baixo a gente pode manter a mesma linha porque a gente já mexer nela uma vez só vamos vamos fazer primeiro a de cima então a de baixo vou deixar igual ao deixar c 2 e agora a gente pode escrever essa matriz aqui eu vou pegar mais espaço pra cá pode pegar essa matriz ea como a segunda linha vai ficar igual eu gosto dela depois vou começar pela primeira então a de - bc vezes ser um que nesse caso é a ficar a de - bc vezes ser um vezes sem um que no caso é a então eu vou tocar aqui pô a isso - bebezinho que está entre dois mesmo - bbc que saem cedo de cupim que é zero então esse tema aqui cancela a chance dele ok agora nesse b aqui vai ficar a de - bc vezes b - b vezes a de - bc então esses dois termos cancelo ea gente pode colocar aqui 10 e agora faz a aumentar e vão pra esse tema aqui a de - bc vezes 1 - b vezes c2 que é - e então vai ficar a de a gente pegar uma cor vai ficar a de - bc e como a que tem menos bem vezes - e vai ficar mais bc esses dois a gente pode cancelar então já vou cancelar aqui pra não esquecer chegou cancelar aqui e agora nesse 0 aqui vai ficar a de menos de 60 que vai ser o próprio 0 - bbc2 que é a então aqui vai ficar menos bem vezes a então - b - b vezes a ok a gente pode fechar a nossa matriz e aqui em baixo como vai ficar a mesma mesma coisa então eles podem só copiar a linha zero a de - vc aqui vai ficar - e aqui vai ficar a ok então agora a gente só cancelou esses dois termos aqui eu só vou reescrever a matriz para a gente não se confunde depois na hora de ir às compras depois na hora de continuar seus cálculos então aqui eu posso escrever a de - bc isso multiplicando a nosso fator a aqui vai ficar a zero aqui a versão aumentar aqui a matriz aumentada e aqui vai ficar só a de que vai ficar só a d e aqui vai ficar menos ver a aí eu posso fechar a matriz aqui vai ficar 10 que ficar 0 que vai ficar a de - descer e aqui vai ficar - e ea então agora a única coisa que falta pra gente transformar essa matriz aqui na nossa matriz identidade é zerar zerar esses dois termos aqui esses dois termos aqui será não desculpa para se transformar em um nós temos que deixar a matriz com essa cara aqui da identidade que em cima então a coluna principal tem que ser com e pra gente transformar essa coluna principal e em um agente pode por exemplo multiplicar esse tema aqui pô a de - bc1 sobre a de - bc avisar ou seja pelo inverso dele e esse tema aqui também multiplicar por um sobre a de - bc que ao inverso dele e então a gente pode fazer a nossa terceira transformação linear que a gente pega uma coluna de pedra uma coluna e aplica nela uma transformação clicar em uma transformação linear em que na primeira nesse tema que na primeira linha eu vou pegar a linha inteira e multiplicar por um sobre a de - bc vezes a onde escrever direito esse aqui - bc vezes a então a d - vencer vezes a e isso daqui sem não pode esquecer de multiplicar o todos os ternos por todos os termos da primeira linha está acontecendo aqui e aqui em baixo a gente pode fazer o inverso desse tema aqui que é a de - bc a de - bc e isaac x todos os termos da segunda linha que então que pode multiplicar por 62 acham que eu tenho problemas com a minha caneta então ac x c2 rock dessa maneira que perfeito então a gente pode inscrever a matriz agora a gente pode reescrever a matriz não se preocupem equipe a parte de matemática já está acabando então agora a escrever na matriz a gente vai ficar aqui com a dea - bc sobre é visar / ale - bc veja então aqui vai ter um como a gente esperava aqui a gente fica com 10 x isso tudo que vai continuar sendo 0 e agora a nossa matriz aumentada nossa parte aumentada da matriz a gente vai ter a de vezes tudo isso daqui então a gente vai ter / / a dezenas de ser / a de - vc nao m x a x a ter problemas aqui com caneta * a nós vamos ter aqui em cima a de a b dessa maneira que esses há aqui podem ser cancelados e aqui no último termo nós vamos ter também / a de menos de se revisar a de - bc vezes a nós vamos ter aqui - - - - b vezes a então aqui nós podemos cancelar esses as também e agora na parte de baixo da nossa matriz na parte de baixo da nossa matriz na linha na segunda linha nós vamos por exemplo pegar aqui e multiplicar 0 por isso então vai dar 10 que vai dar para 10 a gente vai pegar esse a de - bc e dividir no caso x 1 sobre a de - bc então aqui vai ser um e fazer uma coisa a gente fez aqui em cima x 1 sobre o de menos vc e sistemas aqui então aqui vai ficar - e sobre a de - bc a de - bc e aqui vai ficar a a / a de - bc a gente não pode simplificar então a gente acabou de chegar aqui na nossa matriz e identidade então essa matriz aqui é a nossa inversa então eu vou escrever vou escrever elas separadamente aqui a matriz inversa de ar vai ser igual a atriz diversa de ar vai ser igual à de sobre a de - bc a de - bc - bc aqui vai ser menos b sobre a the - bc - e sobre a de - bc a demanda o bc e aqui eu vou ter a sobre a de - vc se você já estão observando aqui vocês já podem perceber que isso daqui está sendo todos os termos nossa matriz estão sendo divididos por esse mesmo cara daqui a gente pode reescrever mais uma vez a gente pode escrever de novo aqui nossa matriz é inversa de ar como sendo um sobre isso daqui porque todos os nossos tempos estão sendo divididos por isso então é a mesma coisa que multiplicar o inverso então um sobre a de - bc a de menos vencer * toda a nossa matriz * nossa matriz que no caso vai ser de menos b - e e à então a gente acabou de chegar aqui da nossa fórmula da nossa inversa e essa forma fica bem mais fácil para decorar no caso entender não adequarem então seria legal a gente pode falar aqui então que no caso eu posso falar que logo no começo quando eu disse que a gente ia apresentar para vocês com o caso geral eu posso dizer que isso serve para todas as matrizes dois por dois então vocês podem perguntar ok mas e quando esse a de - bc for zero quando e se a de - bc for zero a gente não vai ter no caso uma divisão 10 definida então a gente não tem uma triste inversa então aqui se se há-de - bc foi igual a zero a matriz não é o melhor e fazer assim a matriz não é não é invencível em ver cível e se ela não é invencível e se há-de - bc também tem que ser igual a zero então vocês podem pensar poxa você cadê - bc é tão importante assim ele podia ter um nome diferente na época o nome separado e ele tem esse é de menos bc é chamado de determinante dt minante vocês podem ver diz no livro de vocês como sendo determinante por exemplo de ar ou até mesmo é de dessa maneira aqui ou ainda tem gente que usa essa maneira daqui que é a matriz a no meio com essa chave e lado de fora essa barra o sinal de módulos só que algumas pessoas acham que aqui muito redundante então preferem usar essa notação daqui então a gente pode escrever nossa matriz inversa ele pode escrever nossa matriz é inversa como sendo igual a 1 sobre o determinante vezes um sobre determinantes dessa maneira aqui vezes vezes tudo que está aqui em nossa matriz que vai ser de menos b - c&a dessa maneira aqui e até interessante perceber o que a gente fez com essa matriz para chegar na inversa a gente trocou a nossa matriz original foi desenhada tv digital aqui nossa matriz original era a b c d e e agora a gente tá com b - bem menos e ea então o que a gente fez foi trocar os termos da ordem diagonal de posição e inverteu o sinal dos termos da diagonal secundária foi isso que a gente fez e para achar determinante para achar determinante que ele vai ser igual a a d - vc está aqui a gente a gente pegou e multiplicou essa diagonal principal e subtraiu pela pelo produto da diagonal secundária então são duas coisas legais de notória uma boa maneira de lembrar dessa forma aqui então agora vamos fazer um exemplo eu vou pegar uma matriz b pegará mateus b que vai ser 1 2 3 4 e agora vamos tentar calcular inversa dessa matriz aqui então primeiro nós vamos precisar primeiro nós vamos precisar do terminante da matriz de determinante db e pra isso a gente pode pegar e multiplicar a diagonal principal que vai ser um vezes 4 e subtrair pelo produto da google principal desde o golpe secundária desculpem que vai ser três vezes dois isso aqui vai dar quatro - eis que vai dar - menos 2 e agora aplicando isso na fórmula a gente vai ter que a matriz inversa db vai ser igual a 1 sobre determinante então um sobre menos dois vai ser menos um meio e isso daqui multiplicado isaac multiplicado e agora a gente inverte os termos da diagonal principal então aqui vai ficar 4 que vai ficar 1 ea gente troca o sinal da diagonal secunda então é ficar menos três e menos dois e essa nossa matriz é inversa a gente quiser continuar ela que dá pra continuar ela ainda chegar até o final então só dividir todos os tempos pelé terminante 1 x - um meio então aqui vai dar menos dois aqui vai dar um aqui vai dar três meios três meios e aqui vai dar - um meio que vai dar - um meio então essa aqui é a nossa matriz é inversa de b e a gente também poderia pegar por exemplo um outro exemplo pegar aqui uma matriz e que é igual a um dois três e seis agentes calcular determinante de ser vamos concordar terminar de ser mais um exemplo só e agora três vezes dois diagonal principal produto dela - o produto na diagonal secundária ou no caso que confunde as ordens aqui na verdade a mesma coisa mas é melhor fazer na hora em que eu falei antes então um v6 menos três vezes dois que vai dar três vezes 246 também então o determinante de ser vai ser igual a zero então nesse caso a matriz inversa dc não existe então a matriz inversa de c c - um não não existe não existe porque o determinante é igual a zero e também é sei se vocês já perceberam isso antes é meio é meio óbvio depois que você já conhece as propriedades de matrizes porque uma coluna aqui é um múltiplo escalar da outra coluna então pelas nossas propriedades de matrizes isso daqui determinante vai dar zero então espero que esse vídeo tem ajudado vocês e até o próximo vídeo