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Regra de Sarrus de determinantes

Um "atalho" alternativo para cálculo de determinantes 3x3 (Regra de Sarrus). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA22JL - E aí, pessoal? Então, agora, para completar nossa saga, nós estamos há bastante tempo vendo determinantes de matriz. Já vimos determinantes de 2 por 2, de 3 por 3, de n por n. Agora, chegou a hora de mostrar para vocês a regra de Sarrus. Regra de Sarrus. Vou escrever aqui. A regra de Sarrus para descobrir o determinante de uma matriz 3 por 3. É um jeito diferente, é um jeito bacana, porque é um pouco mais rápido, então é bom vocês saberem, para caso, um dia, alguma questão ou algum problema que você estiver resolvendo, envolva essa maneira de resolver. Talvez, fique um pouco melhor para vocês. Então, antes de começar a dizer o que é a regra de Sarrus, eu vou prová-la para vocês. Farei nossa matriz genérica 3 por 3, a, b, c, d, e, f, g, h, i, dessa maneira. E a maneira como a gente calculava o determinante desta matriz antes seria pegar o primeiro termo e colocar um positivo. Então, deixe-me pegar o primeiro termo aqui. Seria “a” vezes o determinante da matriz que a gente obtém, se a gente tirar essa linha e essa coluna, que, no caso, seria o determinante desta matriz aqui. Só que eu já vou calcular o determinante direto. Então aqui ficaria (vou tirar esse ponto e botar o parêntese), aqui ficaria “e” vezes “i” menos “h” vezes “f”. E agora, menos esse termo aqui, menos “b”, que multiplica, se tirarmos essa linha e essa coluna, vamos ficar com “d”, “f”, “g” e “i”. E a matriz, já calculando, ficaria “di” menos “gF”. Então, “di” menos “gF”. Dessa maneira, aqui. Agora, pegando o último termo aqui, o “c”, a gente pode escrever que vai ser mais “c”, que multiplica, tirando essa linha e essa coluna, vai ficar “d”, “e”, “g” e “h”. Então, “dh” menos “ge”. E, agora, multiplicando isso, para tirar dos parênteses, a gente ficaria com “aei” menos “ahf”. Isso menos... Deixe-me fazer da cor certa. Menos "bdi". Menos com menos fica mais. Mais "bgf". Isso mais “cdh” menos “h”, não confunda com um “n”, menos “cge”, dessa maneira. Colocando tudo o que é positivo para um lado e o que é negativo para o outro, vou escrever o positivo em amarelo. Então, vai ficar “aei”. Nós temos esse positivo, esse positivo e esse positivo, então, mais “bgf” mais “cdh”. Agora, os negativos. Nós temos este, este e este. Então, menos “ahf” menos “bdi“, menos “cge”. Então, o motivo pelo qual fiz isso até aqui, fiz essa por extenso aqui, é para mostrar para vocês... (eu vou desenhar outra matriz aqui para analisarmos) a, b, c, d, e, f, g, h, i. Fiz isso para a gente analisar nesta matriz aqui: O que é o determinante dessa matriz? Seria pegar o “aei”. É nossa primeira multiplicação, (Eu acho que assim ficou difícil para ler, mas é “aei”), adicionar o produto de “bfg” ou "bgf", mas “bfg” aqui embaixo, mais “cdh”. Então, o produto desses 3, e, agora, menos “ahf”. Isso menos “bdi”, menos “cge”, que seria essa diagonal principal aqui. Então, talvez, vocês não tenham notado ainda, mas eu vou reescrever essa matriz. E a regra de Sarrus diz que a gente pode pegar essa matriz, então podemos pegar essa matriz "a", “d”, “g”, “b”, “c”, “h”, “c”, “f”, “i”. Podemos pegar essa matriz e estender ela... na verdade, essa não é a termologia correta, mas a gente pode estendê-la com essas duas primeiras colunas, aqui, fica “a”, “b”, “d”, “c”, “g” e “h”. E, então, a gente pode fazer a multiplicação desses números aqui. Ficou um “e” meio feio, não quero que você se confunda. Vai ficar a multiplicação desses termos “aei”, nosso primeiro termo, “bfg”, nosso segundo termo, “cdh”, nesse sentido aqui, e, agora, voltando, ou negativo, mudando o sinal, menos “ahf” ou “afh”, desta maneira aqui, menos o “b”, “d” e o “i”. Ficou meio fora de ordem, mas está dando para ver. Menos o “b”, “d” e o “i” e menos o “c”, “g” e o “e”. Então, eu sei que ficou um pouco confuso, talvez, porque tem vários números, letras e flechas juntas aqui, mas vamos fazer um exemplo real para mostrar que não vai ser difícil. Então, vamos pegar uma matriz 1, 2, 4, 2, -1, 3, zero, ou melhor, 4, zero e -1. Agora, vamos calcular alternando essa matriz, utilizando a regra de Sarrus. Então, a gente pode estender essa matriz para 1, 2, 2, -1, 4 e zero, e agora a gente pode calcular fazendo a multiplicação das diagonais aqui. Então, eu vou fazer, de azul, as que vão ser positivas e, em roxo, as que trocam o sinal. Então aqui vai ficar 1 vezes -1, vezes -1, vai ficar +1. Agora, 2 vezes 3, vezes 4, vai ficar 6 vezes 4, e isso aqui vai dar 24. Então +24. Agora, 4 vezes 2, vezes zero é o mais zero, que não precisamos colocar, mas eu vou colocar aqui para vocês verem que foram multiplicados todos os termos. Então, agora, em roxo, fazendo a volta, seria: 2 vezes 2, vezes -1. Então, fica -4, mas precisamos inverter o sinal, então, fica +4. Agora, 1 vezes 3, vezes zero, que é zero, mas trocamos o sinal, então fica menos zero, mas tanto faz. E, agora, 4 vezes -1, vezes 4, que vai dar -16, trocamos o sinal, fica +16. Então, agora, calculando aqui, o nosso determinante seria igual a 16 mais 4, que dá 20. E 1 mais 24 dá 25. Então, o nosso determinante seria 20 mais 25, que é igual a 45. Então, nossa matriz, só lembrando, também admitiria uma matriz inversa. Espero ter ajudado e que vocês consigam utilizar a regra de Sarrus, que vai facilitar bastante para vocês resolverem questões de determinantes de matriz 3 por 3. Então, muito obrigado e até a próxima!