Determinando se uma transformação é sobrejetora

vamos dizer que eu tenho uma transformação linear t e que essa transformação seja um traçado um mapeamento que vai de rn até r m ea gente sabe que pode representar uma transformação linear como um produto entre matrizes podemos dizer que isso aqui a transformação ter aplicado um vetor x e isso é que vai ser igual o produto entre uma matriz a esse vetor x uma vez que essa matriz a é o mapeamento de rrm essa matriz vai ser uma matriz com dimensões m por ele cada uma dessas entradas aqui voltei ele componente essas entradas você membros de rl de modo que este cara aqui o tpn colunas para que o produto entre essa matriz e esse percurso definido assim podemos voltar o cruze estávamos falando agora nos últimos dois vídeos nos falamos sobre inverti bilidade de funções e podemos aplicar facilmente isso para essa transformação aqui porque transformações são apenas funções mas só usamos a palavra transformações quando nós começamos a falar de mapas entre os espaços territoriais ou entre os conjuntos de vetores mas são essencialmente a mesma coisa tudo que temos feito nos últimos dois meses têm sido muito geral nunca disse por exemplo do que o nosso conjunto domínio do que o nosso conjunto contra o domínio são formados mas agora que nós estamos lidando com vetores então nós podemos aplicar as mesmas idéias tão teve seu mapeamento que ele vai drn até rn o mapeamento de tv gnt rn não significa que você pegar um xis aqui se tiver algum vetor xis aqui e você quiser projetá-lo algum outro vetor aqui br e quiser projetá lo esse outro vetor rmr vai se chamar batizar vezes o vetor x nós vamos tomar esse produto aqui essa transformação aqui vai ser a transformação tem então vamos fazer as mesmas perguntas sobre ip que nós geral fazemos sobre as funções a primeira pergunta é ter é invertir viveu essa transformação pt é uma transformação inverti viveu nós aprendemos no último vídeo que existem duas condições de visibilidade uma tem que ser sobre a gestora então a primeira condição é que tem que ser sobre gestora ela tem que ser sobre o egito dura e também que cedeu 1 para uma transformação tem que ser a transformação de 1 para 1 que também é usada em jetom era então te também tem que ser injetado hora portanto nesse vídeo aqui vou focar só na primeira condição vamos pelo menos tentar descobrir se ter sua trajetória agora relembrando o que significa eptc sobre getúlio isso significa que se você tomar qualquer elemento e rm você toma qualquer elemento no seu condomínio então vamos dizer que eu tenha o elemento aqui no meu contra o domínio e eu vou chamar esse elemento que db ele vai ser um vetor é receber então se te sobre diretora isso vai significar que qualquer b que você escolha no seu condomínio você vai ter sempre algum vetor aqui pelo menos um vetor no seu domínio que quando você aplicar essa transformação t ele vai ficar bem ele vai virar de uma outra maneira de você pensar sobre isso é que a imagem da nossa transformação essa imagem aqui vai ser o nosso rm tudo ou seja todos esses caras aqui eles vão poder ser alcançados vamos pensar então que isso significa bom nós sabemos que a transformação é a vezes teens então o que a gente sabe que a nossa transformação a transformação do vetor x é alguma matriz a emi por ele alguma matrizonline por ele vezes o vetor x no caso então de ter sobre o diretora nós queremos então saber se ps o projetor a gente sabe que qualquer membro qualquer membro aqui do nosso condomínio qualquer que seja o membro aqui ele vai ter que ser alcançado por um membro do nosso domínio então qualquer membro que vai poder ser alcançado aqui como seria então uma outra maneira de dizer isso outra maneira de pensar sobre isso é se eu quero que esse sobre o diretor então vamos lá eu digo que é sobre a gestora isso implica que para qualquer b para qual quer ver que pertença o conjunto rm claro que pertence a um conjunto rn existe pelo menos um x existe pelo menos uma solução não existe pelo menos uma solução para o produto de ar vezes a matriz teens ser igual ao vetor b e c é claro onde x esse é claro onde o vetor x pertença ao rn o vetor chita que nem ele isso é exatamente uma outra forma de dizer exatamente o que eu disse na primeira parte do vídeo então você não me der qualquer benesse conjunto aqui então vai ter que existir se nós estamos admitindo que ds objetor a vai ter que existir pelo menos uma solução para que a vestir seja igual a b tanto dizendo que vai ter que haver pelo menos um xis aqui que quando eu multiplicar por a eu vou conseguir chegar no meu bebê e isso tem que ser verdadeiro pra cada um talvez eu tivesse que escrever aqui vai inscrever qualquer escreva para cada b pertencente ao rm mas é a mesma idéia é para cada bebê que pertencia que eu e ele temos que ser capazes de encontrar pelo menos 1 x que torna isso é que é verdade então o que isso significa isso significa que à vezes x que há matrizes a vezes o vetor x tem que ser igual a você pode construir você pode construir qualquer membro drm tomando o produto de aves x onde x é um membro de r é um membro desse conjunto aqui agora o que isso se x é o mesmo arbitrário drm eu escrever assim vamos escrever a matriz a como sendo um conjunto de vetores colunas aqui então eu vou ter a 1 a 2 até nós chegarmos em ms aqui como eu posso escrever matrizaria então essa aqui vai ser a minha matriz aí o que eu estou dizendo é que se eu pegar esse produto aqui eu vou ser capaz de construir qualquer cara que só pegar esse produto eu consigo construir qualquer cara que nesse conjunto vamos ver como é que pode ficar esse produto só que eu não escrevesse jesus que não vamos escrever x como sendo o elemento x 1 x 2 e todo o caminho que a gente percorre até chegar o x então esses produtos aqui a gente pode dizer que vai ser x 1 vezes o vetor é um é mais x 2 vezes o ventura 2 e e sim todas multiplicações até nós chegarmos em x ele vezes o vetor raehk nisso é que é o nosso produto aqui então precisa transformação near tse sobre a gestora essa combinação nem tem que ser igual a qualquer vetor em rm o que isso significa então essas aqui são combinações lineares só desses vetores coluna aqui assim outra maneira de dizer isso uma outra maneira de eu dizer que te deve ser sobre getúlio era então para te ser sobre retorno pra tcu sobre getores os vetores colunas de ar tem que gerar o espaço rm vai ter que gerar todo esse condomínio vai ter que gerar todo esse espaço que você tem que ser capaz de obter qualquer vetor aqui como a combinação linear esses caras aqui certo e essa combinação linear ela está definida esses caras aqui eles são os vetores colunas aqui esses caras aqui são números arbitrários números reais arbitrários eu posso escolher definir qualquer um para si esse número aqui então esse vetor aqui é apenas um monte de números arbitrários assim para ter sobre o diretor o espaço gerado então o espaço gerado vamos escrever o espaço gerado por esses vetores colunas aqui esses vetores colunas que são os vetores a1 a2 e todos esses vetores até chegarmos no vetor a ele ele vai ter que ser igual a r mrm ou então a gente pode dizer que vai ser igual ao nosso contra o domínio vai ter que ser igual ao nosso contra o domínio isso significa que você pode alcançar qualquer vetor do seu controle do domínio com as combinações milhares desses vetores colunas aqui desses vetores aqui o que significa o espaço gerado por vetores colunas de uma matriz por definição esse é o próprio espaço com uma de uma matriz então nós podemos dizer nós podemos dizer deixa eu fazer aqui na com outra cor podemos dizer que isso significa o espaço gerado por esses caras aqui tem que estar no rm ou então que o espaço coluna da matrizaria deve ser igual a rm como nós vamos saber se o vetor coluna de ar é igual a rm então aqui talvez por um pensamento meio que intuitivo quando a gente não pode encontrar quando nós não somos capazes de encontrar uma solução para a equação a vezes shishin é igual ao vetor b então toda vez que a gente se deparar com esse tipo de equação que nós vamos fazer a gente pode definir uma matriz aumentar daqui mais ou menos parecida como essa dá onde desse lado aqui a gente fica com a matriz a ea parte aumentada fica por conta do vetor br exatamente o que a gente faz são várias operações com as linhas que fazemos essas operações com ambos os lados já fez esse tipo de exercício várias vezes a onde nosso objetivo é chegar desse lado esquerdo aqui com essa matriz na forma escalonada reduzida por linha então o que nós queremos é que deste lado aqui a gente tem a forma escalonada reduzida de matrizaria eu vou chamar de r a forma escalonada reduzida por linha da minha má criza a gente já fez vários vídeo onde mostra o que é fome escalonada por exemplo a gente vai ter que chegar aqui uma matriz onde digamos quer que seja uma coluna principal então eu vou ter um como sendo uma coluna principal e todas as outras minhas entradas vão 60 digamos que essa que não seja uma coluna principal então aqui eu vou ter 12 por exemplo todas as outras aqui vão 60 terceira coluna ela foi uma coluna principal aqui é um então aqui vai ser zero aqui na linha de baixo ea direita vai ser um todos os outros 10 só podemos dizer que essa aqui por exemplo seja também uma coluna principal então eu vou ter um à direita e é baixa que vai ser um é que todos os outros 160 acho que deu mais ou menos para você entender o que seria a forma de caminhada reduzida de uma matriz então essa aqui é o que a gente chama da forma escalonada reduzida por linha de uma matriz e caso não seja uma conta principal e se algo desse tipo onde eu não tenho mais como um dos principais a 18 é apenas uma única entrada 1 e vai ser em outra linha que não foi na coluna anterior então essa matriz a ficou na forma escalonada reduzida por mim esse outro lado aqui a gente também vai ter um vetor a gente sabe que o vetor b mas digamos que tenham componentes 123 quando a gente vai fazer as operações com as linhas pode ser que ver 231 então chamar esse novo vetor que vai ter novas coordenadas de ver torcer agora quando é que isso aqui não tem solução quando isso aqui quando isso que não possui solução quando não vai possuir né quando não possui solução nós vimos isso no início quando é que não possui solução a gente já falou sobre isso lembra existem três casos pode acontecer de ter muitas soluções a gente já falou sobre isso antes que acontece muitas soluções no caso onde a gente tem três variáveis pode rever o caso de ter uma solução que é único então tenho casa onde a solução é única e tem o caso que é o caso que a gente quer saber que é quando não 1 a solução ou seja não possui solução não há solução porque é que tem que acontecer para não haver solução alguma quando isso pode acontecer quando não há soluções e suas operações com as linhas vão te levar algo parecido com essa matriz aqui aonde aqui você vai ter pode ter um vários números aqui e quiser um mas o que vai ter que acontecer você tem uma linha inteira se ano zero ea gente vai ter uma linha toda aqui só 00 e é que essa entrada que ela vai ter que ser uma entrada que não vai ser zero aqui não é zero quando isso acontecer já se ter pelo menos uma linha inteira sendo toda série é que não é zero não vai haver solução você não vai ter solução esse é a única situação onde não vai haver solução então vamos lembrar porque estamos falando sobre essa matéria que nós estamos dizendo que a nossa transformação teve vai ser sobre a editora se o seu espaço gerado pelos vetores colunas já seu espaço por rn se o espaço coluna gerar r e o que eu estou tentando descobrir é como eu posso saber se ele gera rm basicamente para gerar rm você vai me dar qualquer beber aqui pra qualquer b que claro pertence a rm e deve ser capaz de obter uma solução então a gente se perguntou quando não somos capazes de obter uma solução bem nós não vamos conseguir obter uma solução se tivermos algo desse modelo aqui um monte de zeros aqui e é que algo diferente de zero isso aqui definitivamente não vai ser uma solução pode haver outros casos que eu tenha vários zeros aqui então vamos dizer se inscrever é dessa forma que vamos dizer que eu tenho uma matriz aqui então eu tenho uma matriz aqui a aneac a forma aumentada dela com o vetor b agora vamos escrever esse vetor b como sendo b1 b2 e todos esses caminhos até bm a gente sabe que todos eles têm que pertenceria rn então a gente vai fazer a forma escalonada da matrizaria que a gente vai ter a forma escalonada vamos descrever a forma escalonada que a gente sabe que vai ter aqui um vários zeros então a nossa última linha que toda ela vai ser composta de zero e aí o que eu posso ter 10 aqui eu posso te 0 que vão dizer que eu tenho zero aqui a forma escalonada reduzida por linha da matriz a e do outro lado a gente vai as operações que a gente fez aqui com os vetores também que quando a gente faz operações com as linhas da matriz a agente também faz as operações alguns componentes do vetor b quando você as recusas operações de linhas aqui com membros de rm essa última linha tem alguma função talvez por exemplo nessa última linha é toda ela quiser desse lado eu fique por exemplo com duas vezes b1 mais três vezes b2 - b3 estou esperando aqui um caso particular que vai ser essencialmente alguma função de todos esses b e saques todos os bens que pertencem rn então eu vou dizer que que esse último caso aqui em particular é uma função uma função de b1 b2 e todos esses beija que até chegarmos em bm porque a gente sabe que todos eles pertencem a rm agora claramente isso aqui foi diferente de zero nós não vamos ter uma solução então se nós não tivermos uma solução para alguns casos de penas não vamos conseguir gerar rn então vamos escrever isso aqui se não há soluções né então se não há soluções para alguns casos de bem vamos escrever aqui se não há soluções para alguns casos de bebê então a gente não vai conseguir gerar e ele então se não há soluções para alguns casos de bebê então nós não vamos gerar né nós não geramos o espaço rm nós não vamos conseguir gerar o espaço que a gente está querendo não geramos o espaço r eu não sei se eu estou exagerando em algo pra você mas eu realmente quero ter certeza de que você está entendendo isso aqui a qualquer momento que você quiser resolver a equação da matriz a vezes vetou x igual ao vetor b e lembre se nós queremos ter certeza que isso pode ser válido para qualquer b que nós quisermos escolher só o que podemos fazer e conseguimos a matriz aumentada como essa que nós executamos várias operações linhas até nós conseguimos chegar dessa matrizaria na forma de comandar reduzida por linha e eu fazemos isso nós teremos do lado direito várias funções de b a gente pode na primeira linha por exemplo tb 1 - b2 mais de quatro ou algo parecido curso aqui mas temos vários exemplos disso aqui no passado você pode acabar então fazenda forma isolada napoleão onde essa linha que já toda composta por 10 c essa aqui essa linha que a única maneira de você ter uma solução é centrada saque desse vetor b seja igual a zero satisfação a função de forma que isso que seja igual a zero então já que só vai ser verdade para alguns beijos e se isso é que tem alguma solução para determinados bens que fazem com que isso é que seja igual a zero definitivamente nós não estamos gerando todo rm vamos tentar visualizar isso aqui digamos que isso é que seja o rm se eu tiver 10 aqui que foi determinado por alguns beijos aqui esses aqui são os únicos caras que nós vamos poder alcançar com a multiplicação da matriz ar por algum vetor no rn e nós definitivamente assim não estamos gerando todo o rn para produzirmos todo rl quando colocamos isso aqui na forma escalonada reduzido de política temos sempre que encontrar uma solução ea única maneira de sempre encontrar uma solução é quando a gente não tem essa condição aqui que se nós tivermos essa condição aqui a gente só vai ter uma solução se a combinação desses valores de beber também foi igual a zero então qual é única forma que uma da reduzida por linha onde você não tem zero no final bem qualquer linha na forma escalonada dos da polia ou em todas as suas entradas como zero ou tem que ter uma entrada principal em cada linha portanto a única forma da gente e é sobre o retorno então a gente vai dizer que psg turno e vai ser uma transformação sobretudo para si somente se se e somente se somente se o espaço comum do seu vetor transformação por igual a rmc os vetores colunas vão gerar todo rm ea única maneira de se acontecer essa é a forma escalonada reduzida por linha da matizaram se a forma escalonada reduzida por linha da matrizaria vai ter uma entrada principal em cada linha então tem uma entrada principal aquela entrada que a gente chama de entrada fixa é a que eu vou dizer que uma entrada principal em cada linha em cada uma das suas linhas e quantas linhas a matriz atém a gente sabe que a matriz a ela matrizeiro a morena então uma matriz que tem m linhas e n colunas isso significa então que há formas camadas de por linha da batizado em m entradas principais já que tem m linhas vão te m entradas principais aqui e qual seria então uma outra maneira da gente veio bom espero que você se lembre que vários vídeos atrás a gente viu como a gente acha base pro espaço como de matrizaria então a gente viu que para achar base para o espaço como de uma matriz a roupa pegar essa minha matriz a vou colocar essa matriz na forma escalonada reduzida por linha da matriz a e vou achar uma forma reduzida dela que eu vou chamar que dr o que a gente sabe é que as entradas principais aqui dr vão ter suas correspondências na matriz principal aes os vetores colunas esses vetores como vocês vão formar a base para o espaço como da minha matriz como fazer um exemplo particular aqui eu vou dizer que eu tenho minha matriz onde os vetores colunas delas são a 1 a 2 e todos os outros até nós chegamos em ainda a gente vai pegar e colocar essa matriz na forma escalonada reduzida pulinho então vamos dizer aqui que é a minha primeira entrada seja uma entrada principal então eu vou ter um e todos os outros aqui vão ser zero essa segunda que não vai ser principal então eu vou ter dois aqui 0 aliás nenhum desses outros vão ser então aqui vou ter três qualquer outra coisa diferente dizer que não vai ser o único que também venceu uma coluna pelos paulo entrada principal e se esse último vetor aena que então vc zero em todos eles e aqui vai ser um também vai ser um vetor coluna principal e tocou na ficção como é que você determina quais são os vetores da base por nosso espaço coluna obviamente que o espaço é que esse espaço que ele gera todo o nosso espaço como esses caras aqui mas eu quero saber qual é o conjunto mínimo que eu preciso para gerar esse mesmo espaço aqui basta você fazer a correspondência dessa matriz aqui com as colunas que vão ter entradas principais então eu fiz a forma de uma reduzida que eu tenho essa coluna que como sendo uma coluna principal e essa coluna como sendo uma coluna principal então essa coluna vai ser uma base e essa coluna também vez é base da minha meta original essas duas comunas e que esses dois vetores comuns eles formam uma base para o meu espaço coluna vai gerar todos os vetores aqui no número de vetores que você precisa para formar a nossa base que vai gerar todo o espaço coluna é chamado de posto a ou dimensão não a gente vai dizer que o posto da nossa matriz a que é igual a dimensão do espaço coluna dessa matriz a então é igual a dimensão do espaço coluna da nossa matriz a é igual ao número de devedores de base o número de devedores de base que forma um espaço como da matriz a então o número de vetores de base para o espaço coluna de ar e é isso que você vai terminar você descobre contas colunas principais você tem o número de como os principais que você tenha o número de vetores de base que você tem e é assim que você determina o posto de a ea razão pela qual estou revendo isso é que terça o projetor assim somente se esse somente se o espaço com uma tia for igual rn que é o caso da reforma estão na verdade da polia vai ter uma entrada principal em cada linha ou seja ela vai ter que te m entradas principais ppp ele entradas principais então se eu tenho m entradas principais e cada coluna só tem uma entrada principal que eu tenho que te m colunas não dizer que eu tenho e me entradas principais eu tenho a dizer que eu tenho e me colunas principais porque em cada coluna vai ter apenas uma entrada principal eu também tenho o m colunas principais se eu fosse fazer esse exercício aqui eu ia ver que eu tenho e me entradas principais então o meu posto desse exercício aqui teria um posto ele a gente percorreu todo esse pelo longo caminho nesse vídeo para dizer que é sobre o gestor a qt é sobre getúlio se nós tivermos digamos que nós tenhamos aqui o domínio um domínio que vai crn e o nosso contra o domínio nossa contra o domínio aqui q vc rn eudes o projetor se nós tivermos aqui todos os membros drn eles conseguirem ser alcançados por um membro que drl pelo menos um membro pode ser por exemplo que eu tenho dois membros aqui duas pessoas alcançando mesmo membro aqui mas tem que haver pelo menos um então te gente pode dizer que é sobre a gestora se e somente se nem o gosto de ao posto de transformação é o posto de árvores há também igual a emi essa foi a grande formação desse vídeo vamos fazer aqui um exemplo porque às vezes pode parecer um pouco confuso abstrato vamos aqui fazer um exemplo particular eu vou definir aqui uma transformação é se a gente vai dizer que esse é um mapeamento que vai de r 2 até r 3 e é se aplicado algo vetor x vai ser igual a minha matriz que eu vou definir como será a matriz um dois três quatro cinco seis vezes esse meu ver torches aqui portanto isso claramente é uma matriz com dimensões três linhas por 2 colunas 3 por 2 e agora eu quero saber será que é se essa transformação é se é uma transformação sobre gestores então a gente vai saber isso gente tem que fazer como exemplo achar a base dessa transformação é que eu vamos fazer isso vamos pegar mas frisa que vamos colocar a forma escalada da polícia eu vou pegar minha matriz 123456 que vou colocá lo na forma escalonada reduzida por linha a primeira linha vai continuar mesmo que vai ficar 12 ea segunda linha vou fazer a três vezes a primeira linha - a segunda linha é que eu vou ficar três vezes 13 - 303 vezes 26 6 -4 vai ficar 2 agora pra gente ter 10 aqui a gente vai fazer cinco vezes a primeira linha - a terceira linha a gente vai substituir a terceira linha por isso vai ficar cinco vezes 15 menos 505 vezes 2 10 10 - 64 a gente já fez aqui a primeira parte agora eu vou tentar fazer com que esse elemento aqui vire um eu acho que a maneira mais fácil eu falei gente divide a segunda linha aqui por dois então eu vou fazer a primeira linha continua mesmo 12 eu dividiria do meio por dois eu vou ficar aqui continua com 102 vezes depois é que vai ter uma hora para colocar isso aqui na forma de calor dentro da polícia foto no ceará esses elementos aqui então a linha do meio eu vou repetir do meio vai continuar mesmo a 0 eu vou substituir a primeira linha aqui pela primeira linha - duas vezes à linha que então aqui vai ficar 1 - 2 0 vai dar um geek 2 - duas vezes um guida 22 -2 6 0 e é terceira linha substituir pela própria terceira linha menos quatro vezes é a segunda linha do meio vai ficar 0 - 4 0 vai dar zero e 4 - quatro vezes húngara 44 anos 4 para zero ea gente chegou até aqui olha só observa a gente tem uma linha que é onde a gente tem só a 0 nós temos duas entradas principais então aqui nós temos duas entradas principais duas entradas principais nós temos também duas colunas principais então essa aqui ó são as nossas duas colunas principais aqui o que significa que o posto oposto dessa nossa matriz é que um dois três quatro cinco seis é igual a dois que não é a mesma coisa que o nosso contra o domínio então a gente diz que é se não é sobretudo para s não é sobretudo que é uma das nossas condições para esta se invertido então se ele não é sobre diretora s também não é uma transformação invertido s não é invertir viveu essa é uma das duas condições que a gente tem que ter uma transformação por uma função se divertiu no nosso próximo vídeo a gente vai ver a segunda condição para uma função ser invertido que elas e injetora até lá