Explorando o conjunto de soluções de Ax = b

RKA3JV - Então, vamos dizer que eu tenho uma transformação de R² em R². Então, eu tenho, por exemplo, aqui, o meu conjunto R². Este aqui é um conjunto do tipo R². E aqui eu tenho outro conjunto do tipo R². Então, tem um outro conjunto aqui do tipo R² também. E o que eu vou fazer? Eu vou fazer uma transformação de R² em R². Eu vou pegar um elemento de R² e vou transformar em um outro elemento de R², através da minha transformação "t". Então, para eu aplicar essa transformação, eu pego um vetor qualquer aqui no R², e aplico essa matriz. Multiplico pela matriz [1, -1, -3, 3] e vou transformar em um outro elemento aqui de R². Para entendermos melhor um pouco isto aqui, vamos pensar no que pode aparecer aqui no nosso contradomínio. Agora, o que eu vou fazer? Eu vou pegar essa matriz [1, -1, -3, 3] e vou multiplicar por um vetor "x" qualquer. Vou multiplicar por um vetor, por exemplo, x₁ e x₂. Vamos multiplicar pelo vetor x₁ e x₂. Este vetor "x" pertence ao R², é o meu domínio. E isso vai dar qual resultado? Vai dar um resultado que é um vetor "b". Este vetor "b" pertence a quem? Pertence ao R², mas é o meu contradomínio. Ele pertence ao R², que é meu contradomínio. Então, isto aqui vai dar, por exemplo, vetor do tipo b₁ e b₂. Então, vamos dizer dizer que isto aqui deu vetor b₁ e b₂, que é o meu vetor "b". Portanto, quando pego essa matriz aqui, e chamo essa matriz de "A", o que eu estou fazendo? Eu estou querendo que a minha matriz "A", vezes o meu vetor "x", isto aqui tem que dar quem? Isto aqui tem que dar o vetor "b". Então, estes aqui serão os possíveis vetores do tipo "b". Vamos escrever assim, possíveis "b". E se eu quisesse resolver isso aqui para um "b" particular, eu faria da seguinte maneira: vamos pegar aqui [1, -1, -3, 3] e vou colocar quem aqui? b₁ e b₂. E aí, o que eu vou fazer? Eu vou escalonar esta matriz. E aí, quando eu fizer isso, eu terei a seguinte matriz. Então, eu vou ter aqui 1, -3. Na primeira linha eu não vou mexer, e aqui, b₁. Agora, o que vai acontecer? Eu vou somar a primeira linha com a segunda linha. Então, 1 com -1, isto aqui vai dar zero. Aqui, 3 com -3, isto aqui vai dar zero. E aqui vai dar b₁ + b₂ . Aí, aqui a gente tem uma situação curiosa, se eu pegar este pedaço aqui, zero zero, isso tem que ser igual a b₁ + b₂. Isso quer dizer o quê? Quer dizer que b₁ + b₂ tem que ser igual a zero. Então, eu posso escrever aqui o seguinte, que os únicos membros "b", pertencente ao Rᵐ que têm solução são aqueles de que tipo? Bom, são aqueles que quando eu somo os meus dois valores, b₁ + b₂, eu vou ter zero. Então, de onde vem este b₁ + b₂? Então, nós temos aqui o vetor "b". E o nosso vetor "b" é de que tipo? Ele é b₁ e b₂, as coordenadas do nosso vetor "b" são b₁ e b₂. Então, aqui a gente pode dizer, ainda, o seguinte, se b₁ + b₂ tem que ser igual a zero, então b₁ + b₂ tem que ser igual a zero. Ou, ainda, eu posso escrever que b₂ tem que ser igual a -b₁. Se a gente fosse desenhar essa solução, como é que ficaria isso? Então, às vezes é bom a gente desenhar, porque a gente fica muito no teórico, e fazer o desenho é importante para a gente também. Então, se eu tenho aqui este cara, o b₂, e este aqui é o b₁. Então, quem vai ser aqui, no caso, a minha solução? Então, a solução vai ser esta linha aqui. Esta linha que passa exatamente nesta diagonal aqui, onde b₂ = -b₁ Então, todos estes aqui, todos os "b" que são uma solução. Todos os "b" que são uma solução. Então, essa linha representa todos os "b" que são uma solução para este nosso problema. Então, este aqui é o nosso contradomínio R², embora o nosso domínio também seja R². Mas este aqui é o nosso contradomínio. Então, deixe-me escrever isto aqui é o nosso contradomínio. Embora o nosso domínio também seja R². E aí, fica bem claro que você tem que pegar um ponto dentro desta linha, porque se você pega um ponto fora da linha, o que vai acontecer? Você já não vai ter que b₁ + b₂ é igual a zero. b₁ + b₂ só é igual a zero dentro desta linha aqui. E aí, neste caso, a gente vai poder dizer que toda essa linha é a imagem da nossa transformação "t". Então, esta linha é a imagem de "t". Uma outra maneira que a gente tem de fazer isso aqui é fazer o desenho do nosso domínio R². Vamos fazer o desenho aqui embaixo do nosso domínio R². Então, aqui a gente tem o domínio, vamos dizer, aqui R². Agora, aqui é o domínio. E o que eu vou fazer? Eu vou pegar aqui vários vetores que estão dentro do meu domínio, e vou transformar aqui em vetores, no caso, do meu R², mas do meu contradomínio, depois de aplicar a minha transformação linear. Em alguns casos, o que vai acontecer? Mais de um destes vetores que estão dentro do R², vão cair no mesmo lugar. E isso aqui é o que a gente chama de transformação linear. Eu estou transformando todo este espaço aqui R², neste espaço aqui, que é essa linha. E aqui nós temos algumas soluções possíveis. Por exemplo, o vetor [5, -5]. Então, [5, -5] seria um vetor possível, já que ele é b₁ - b₂. Aqui, também, a gente poderia ter, logicamente, o vetor zero zero, também faz parte. Por exemplo, [1, -1] também faz parte, e assim por diante. Dessa forma, nós temos toda a construção para o nosso domínio e para o nosso contradomínio. Então, assumindo aqui no caso que b₁ + b₂ seja igual a zero, porque caso isso não aconteça, então, nós não temos uma solução para o nosso problema. Assumindo que b₁ + b₂ é igual a zero, qual é a outra restrição que nós temos aqui? Quando a gente faz essa conta com a nossa matriz x₁ e x₂, isso tem que dar o quê? 1x₁ - 3x₂ têm que dar b₁. Isso, assumindo já que b₁ + b₂ é igual a zero, isto aqui é uma restrição. Então, vamos escrever aqui. Assuma que b₁ + b₂ = 0. Logo, poderei escrever da seguinte maneira, x₁, deixe-me só trocar a cor aqui. Então, vamos lá! Eu posso dizer que x₁ - 3x₂ eu multiplico aqui, isso tem que ser igual a b₁. E agora o que a gente está fazendo é pegando, justamente, um vetor "b" qualquer, pegando um vetor "b" qualquer, e vendo em quem vai dar este vetor "b". Então, aqui a gente pode dizer o seguinte, que x₁ vai ser igual a b₁ + 3x₂. Então, se a gente quisesse escrever todo o conjunto de solução disso aqui, a gente poderia fazer da seguinte maneira, a gente poderia fazer assim, a gente pega aqui todos os nossos vetores x₁ e x₂. Então, todos os vetores x₁ e x₂ cuja solução vai ser da seguinte maneira, aqui eu terei o meu vetor [b₁, 0] mais x₂, que é a nossa variável independente. E aí, isso vai ser multiplicado por quem? No caso, aqui vai ser 3, já que x₁ = b₁ + 3x₂. E aqui vai ser só x₂, mesmo. Zero mais x₂, que dá x₂. Então, aqui [3, 1]. Portanto, o que nós estamos fazendo aqui é transformando todo este nosso domínio, este nosso R², nesta linha aqui, que é a imagem da nossa transformação. E isso por quê? Porque nós temos essa restrição aqui, b₁ + b₂ tem que ser igual a zero. E para um vetor "b" particular, a gente pode escrever o seguinte, para um vetor "b" particular que tem solução. Que tem solução onde? Na nossa equação. Ax = b. Nós poderíamos escrever que, deixe-me só abaixar aqui um pouco, o conjunto solução será igual a isto aqui. Será igual a [x₁, x₂], onde [x₁, x₂], que é o meu vetor do contradomínio será igual a [b₁, 0]. Este [b₁, 0] vem de onde? Vem do meu vetor "b" que é [b₁, b₂]. Mais x₂, vezes o meu vetor [3, 1]. E aí, se a gente for pensar um pouco mais sobre isso aqui, deixe-me só desenhar para ficar mais fácil aqui essa solução. Então, desenhando aqui, na verdade, deixa-me desenhar isso aqui com eixos, deixa-me acabar de desenhar isso com diagramas. Vamos desenhar isto aqui com eixos. Então, fazendo um eixo aqui, tendo dois eixos. A gente vai ter que a nossa transformação é dada por quem? É dada por essa linha inclinada, b₁ = -b₂ ou b₂ = -b₁. E aí, vamos dizer que nós temos aqui dentro, uma solução particular. Então, vamos dizer que a gente pegue aqui uma solução particular qualquer. E vamos dizer que esta solução particular "b" vai ser igual a [5, -5], por exemplo. É uma solução particular para o nosso problema. Agora, vamos imaginar que aqui no meu domínio eu tenha vetores que sejam transformados neste vetor do meu contradomínio. Então, vamos desenhar aqui os eixos do nosso domínio. E aí, se eu tenho uma solução para isso, eu tenho que ter que Ax é igual, neste caso aqui, a [5, -5], que é o meu vetor "b". E aí, a nossa solução vai ser apresentada desta forma aqui. A nossa solução vai ser apresentada da seguinte maneira, [x₁, x₂] isso aqui vai ser igual a [b₁, 0] b₁ é quem? É 5, então aqui vai ser [5, 0] mais x₂, vezes o meu vetor [3, 1]. E quando a gente vai desenhar aqui, o que a gente vai ter? Então, primeiro eu vou desenhar aqui o meu vetor [5, 0]. O meu vetor [5, 0] está mais ou menos aqui. Vamos desenhar até aqui o vetor [5, 0]. A gente pode marcar assim. E a partir disso aqui, a gente vai desenhar o vetor [3, 1]. Então, aqui, a partir disso, todas as combinações lineares deste vetor [3, 1], todos os múltiplos dele. Então, aqui é 1, 2, 3 e aqui vai ser 1. Então, este vetor vai estar mais ou menos aqui. Então, a nossa solução estará passando por aqui. Nossa solução estará passando aqui assim. Então, esta será nossa solução. E, na verdade, não só essa, mas como todos os múltiplos dessa solução aqui. Então, todos os múltiplos para um lado ou para o outro, desta solução aqui. Portanto, eu estou dizendo que, se eu pegar este "b", que é um "b" particular, o que vai acontecer? Todo mundo que está nessa linha aqui vai resultar neste "b" aqui. Todo mundo desta linha vai resultar neste "b" aqui. Então, vamos dizer que você tenha pegado um outro ponto qualquer. Por exemplo, este ponto aqui. Agora, vamos fazer o contrário. Ao invés de [5, -5] vamos pegar o ponto [-5, 5]. E a única coisa que mudaria seria que ao invés de ser 5, seria -5, porque é o b₁. Então, aqui a gente teria -5, o vetor ao invés de estar para cá, seria -5, que estaria para o lado de cá. Seria mais ou menos assim. E aqui estaria a nossa linha. Então, aqui, mais ou menos, estaria a nossa linha. Isso quer dizer o quê? Bom, quer dizer que todos os pontos daqui resultariam neste ponto aqui. Então, todos os vetores aqui seriam transformados neste único vetor aqui [-5, 5]. E até agora, eu tenho feito várias coisas abstratas. Então, eu resolvi colocar este exemplo aqui. Por que eu fiz isso? Pelo simples motivo de que eu quero entender que conjunto solução é o conjunto solução deste tipo de equação aqui, que é uma equação do tipo não homogênea. E para entender um pouco melhor isso aqui, vamos imaginar que a gente tivesse pegado este vetor aqui, o vetor [0, 0]. Então, neste caso aqui, o meu vetor b = 0, eu teria que Ax = b, Então, Ax é igual ao meu vetor nulo. E, neste caso, a solução particular seria [0, 0], já que b₁ é zero, mais x₂, vezes o meu vetor [3, 1]. Portanto, aqui eu teria um vetor [0, 0] e aqui eu teria a solução particular, neste caso, para o meu vetor [0, 0]. Mas, o que seria essa solução aqui? Bom, quando Ax = 0, isto aqui é o meu espaço nulo. Logo, por definição, isto aqui é o espaço nulo de "A" Por definição, este é o espaço nulo de "A". A gente pode dizer que isso aqui é o espaço nulo de "A". E aí, repare, isto aqui é o ponto alto deste vídeo. Por quê? Porque se eu pego qualquer vetor que está aqui, na imagem da minha transformação, o que vai acontecer? Na verdade, ele vai provir de quem? Os outros vetores vão provir disto aqui, que é o meu espaço nulo, mais um determinado vetor particular. Isto aqui é o meu espaço nulo. Então, os vetores vão provir de um vetor particular mais, no caso aqui, o meu espaço nulo. E, é claro, que estes vetores aqui, no caso desses vetores particulares, eles por si só, estes vetores "x" particulares, por si só, já são uma solução. Porque, sem dúvida alguma, se x₂ = 0, então, este vetor já é uma solução. Mas eu tenho uma família de soluções, onde eu tenho um vetor particular, mais o meu espaço nulo. Então, eu fui capaz de mostrar este tipo de solução para você. Embora, eu não tenha demonstrado isto aqui formalmente. Eu vou fazer isso aqui em um outro vídeo, porque eu estou notando que estou gastando muito tempo com este vídeo. Mas deixe-me escrever mais uma coisa aqui. Assumindo que Ax = b tem uma solução? Então, deixe-me escrever isso aqui. Tem uma solução. E aí, quando eu digo uma solução, é porque, por exemplo, não pode ser um ponto aqui. Porque se for este ponto aqui, não é uma solução. Tem que ser um ponto que esteja aqui dentro da minha imagem. Então, eu estou dizendo que serve qualquer ponto. Por exemplo, um ponto aqui assim. Então, o conjunto solução. Então, isso aqui vai ser igual a quem? Isto aqui vai ser igual ao vetor que vou chamar de "x", "x" particular. E este vetor "x" particular vai ter uma união com quem? No caso, aqui, com o meu espaço nulo. Ou mais o meu espaço nulo. Tanto faz, como você preferir. Lembrando que essa matriz "A" do espaço nulo é essa mesma matriz aqui. Eu não provei isso para você ainda, mas eu espero que você comece a pensar nisso aqui de uma forma mais interessante, porque eu mostrei para você, no caso de uma solução do caso particular. Mas, se você fizer isso aqui, você vai ver que este camarada aqui, é o espaço nulo de "A", Então, este camarada corresponde ao espaço nulo de "A". Portanto, é este mesmo valor daqui. E o motivo de estar falando sobre isso aqui é porque eu já falei sobre invertibilidade. E aí, quando a gente fala sobre uma matriz ser invertível, o que a gente tem que ter? Na verdade, quando uma coisa vai ser invertível, ela tem que ser 1 para 1. Ou seja, tem que sobrejetiva. Então, a gente viu que para uma função ser1 para 1, o que vai acontecer? Nós temos que ter, pelo menos, deixe-me escrever isso aqui. Pelo menos uma solução. Neste caso, aqui a gente vai acabar garantindo isso, porque a gente já tem aqui um valor de "x" particular. Um vetor "x" particular. Mas, mesmo que a gente não tivesse este vetor aqui, a gente ainda tem o espaço nulo. A gente pode ter aqui inúmeras soluções. A gente pode ter uma solução, ou inúmeras soluções. O que não pode acontecer é nós não termos solução alguma. Mas isso a gente garante, porque o espaço nulo sempre tem pelo menos o vetor [0, 0]. Então, aqui pode ter uma solução ou inúmeras soluções também. Portanto, nós teremos essa garantia, justamente, por isso. Porque o espaço nulo de "A" precisa ter o vetor nulo. Então, ele precisa ter o vetor zero ou vetor nulo. No próximo vídeo, eu vou fazer isso aqui com rigor um pouco maior. Mas eu espero que você entenda que isto aqui é invertível, já uma vez que eu mostrei aqui quais são as condições para isso. Bom, eu espero que vocês tenham gostado do vídeo. E até um próximo vídeo!