Introdução à inversa de uma função

RKA - Vamos criar aqui uma função "f" que nada mais vai ser do que um mapeamento, um caminho, de "x" até, digamos, "y". Então, aqui eu vou desenhar o conjunto "x" (então, vou chamar aqui de "x"), e, de outra cor aqui, eu vou fazer o conjunto "y". Então, como eu disse, essa função nada mais é do que um mapeamento de "x" até "y". Então, vamos supor que eu pegue aqui um valor, um ponto qualquer, que eu vou chamar de "a"; essa função vai pegar esse valor "a" e vai fazer um caminho até um outro valor pertencente ao conjunto "y", que vai ser, digamos, "b". Então, ela vai fazer esse caminho de "a" até "b". Então, aqui, eu só vou marcar que o "a" pertence ao conjunto "x" (como vocês podem ver aqui), e o "b" pertence ao conjunto "y". Então, uma outra forma de falar isso (que a gente acabou de ver) é que a função "f" pega um valor de "a" e resulta em "b" (que é o nosso valor aqui no outro conjunto). Então, esse aqui (que eu vou fazer de roxo) é o caminho realizado pela função "f". E, até aqui, realmente, não tem nada de novo; a gente já viu isso daqui. Se vocês acompanharam os últimos vídeos, vocês já devem ter visto isso daqui; só que, agora, para a gente começar a falar sobre inversas de funções (funções inversas), a gente tem que começar a explorar alguns outros conceitos, como, por exemplo, esse conceito que eu vou escrever agora que é chamado de... (deixe-me escrever aqui)... função identidade. E a função identidade, no caso, é representada por uma letra "I" (maiúscula) e a função identidade em "x" vai ser um mapeamento de "x" em "x". Percebam que aqui é "x" em "y" e aqui vai ser "x" em "x". Mas como assim? Isso daqui, simplesmente, não faz sentido, né? Um mapa que leva de um lugar até o mesmo lugar? Mas, quando vocês forem olhar isso nesse gráfico aqui (graficamente olhando isso), vocês vão ver que essa função, vamos supor, pegaria esse valor de "a" e me levaria até outro mesmo valor de "a". Então, simplesmente, a função faz isso daqui, esse caminho aqui. Se eu pegasse um ponto aqui, por exemplo, qualquer ponto, e fizesse assim, a função... e usasse essa função "I" de "x", no caso, a função voltaria para o mesmo lugar onde ela estava. E, se existe uma função identidade em "x", também vai existir uma função identidade em "y", cujo mapeamento (semelhante ao "x" que, no caso, leva de "x" até "x") vai levar de "y" até "y". Então, basicamente, a mesma coisa que aconteceu aqui, aconteceria aqui no ponto "b"; a função sairia do ponto "b" e nos levaria para o mesmo resultado, o mesmo valor "b". Então, essa é a função identidade em "y". E, aqui, só para não perder o formalismo matemático, aqui o "x" pertence... no caso, desculpa, o "a"... o valor de "a" pertence ao conjunto "x"; e, aqui, o "a" que, no caso, é o valor que a gente pega na função... aqui vai estar o "a" e aqui vai estar nosso valor, por exemplo, o "b". No caso, ele vai dar "a", o mesmo "a". Como a gente viu aqui, ele saiu de "a" e foi para "a". E, aqui, ele saiu de "b" e foi para "b". Então... (espera aí... aqui "a"...vou mudar aqui onde eu escrevi)... aqui é "b". Então, aqui, "b" pertencente ao conjunto "y"; aqui, eu vou de "b" até "b", como a gente pôde ver aqui nesse gráfico. Então, se a gente fosse escrever dessa mesma forma que a gente escreveu aqui essa função identidade, a gente poderia escrever que a identidade de "a", a identidade em "x" (não posso esquecer desse "x"), a identidade "x" de "a" é igual ao próprio "a". Faz bastante sentido ([é] o que a gente acabou de ver aqui). E a identidade de "y", que, no caso, é esse conjunto daqui de "b", assim como exemplo do "a", vai resultar no próprio "b". Então, essa função, uma função que dá um valor que parece ser o mesmo resultado que ela, parece não fazer muito sentido, parece não ter muita utilidade, mas vocês, provavelmente, conhecem essa função que é a função identidade e, provavelmente, já ouviram falar dela ou até já fizeram uma questão que a envolvia, que é a função que vocês todos conhecem, que é a função "f(x) = x". Talvez, seja a função mais básica de todo o ensino fundamental, médio e... todo mundo lembra dessa função daqui. Então, agora, nós vamos entrar em um novo conceito, [por]que, agora, a gente vai começar a falar sobre, realmente, funções inversas. Só que, para falar de funções inversas, primeiro, eu preciso falar sobre como... quais as condições para essas funções inversas existirem. Então, aqui, eu vou começar a escrever: a função "f" é inversível, se, e somente se, existe... (vou fazer em outra cor aqui)... se existe uma função "f ⁻¹", que é um mapeamento de "y" em "a", que satisfaça as seguintes condições. Então, são duas condições, não muito difíceis de lembrar, mas vocês vão precisar lembrar delas. Então, são duas condições, e a primeira delas é "f ⁻¹" (que, no caso, é assim que se denota uma função inversa; está aqui, "f ⁻¹")... (essa, como eu disse, essa é a denotação da função inversa, não tem mais o que falar sobre isso)... então, se existe uma "f"... se "f ⁻¹" composta com a função "f", ou seja, pegar o valor de "x" dessa função inversa e trocar pelo valor da função... isso, no caso, sem ser a inversa... e isso daqui, a composição da função "f"... da função "f ⁻¹" (a função inversa) com a função "f" vai ter que resultar na função identidade em "x". E, ao mesmo tempo, "f" composta com a sua inversa vai ter que resultar na identidade em "y". E, olhando no gráfico (naquele gráfico que a gente fez aqui em cima), a função "f" faria esse caminho daqui: ela pegaria um ponto (vamos supor esse mesmo "b" que a gente pegou antes) e faria o caminho inverso até o ponto "a", assim, desse jeito. Então, simplesmente, pega o caminho que a função "f" normal fez e faz o caminho inverso. Se a gente for analisar separadamente, a função "f", vocês lembram que eu a definia aqui em cima como um mapeamento de "x" até "y" (caminho de "x" até "y")... então, aqui embaixo, o que essa função daqui faz é, simplesmente, pegar um valor "x" e ir até um valor "y". Só que o que essa função daqui, a função inversa, fez foi ir de "y" até "x" (tanto é, que ela é definida aqui em cima; eu a defini como o mapeamento de "y" até... opa! Aqui é "x", não é "a", não! Espere aí!.. aqui é "x", não é "a"... então, ela é definida como o mapeamento de "x"... de "y", desculpa!... até "x". Então, o que vai acontecer aqui é que a função vai voltar do valor "y" que estava e vai até o valor "x". Então, a função pegou e fez o caminho, só que fez o caminho de volta; então, ela voltou a ser o que ela era. Se a gente fosse fazer um gráfico, como lá em cima, disso, a gente veria alguma coisa parecida com isso daqui: a função pegaria um valor, vamos supor, "a", iria até um valor "b". Só que desse valor "b"... (esse aqui seria o caminho "f")... só que desse valor "b", ela pegaria e iria até a função "a" novamente e essa seria a função inversa. E, aqui, nessa condição daqui, aconteceu o oposto do que aconteceu aqui: a função saiu de "y" (porque eu a defini de "y" até "x"; a função "f ⁻¹")... saiu de "y", foi até "x" (que, no caso, é essa daqui; definida de "x" em "y") e, depois, voltou para "y". Então, ela saiu de "y"... vou desenhar aqui de novo os gráficos de "x" e de "y"... então, aqui, vamos supor, pegou "b" foi até o ponto "a"; e, do ponto "a", ela voltou para a função "b". Ela, simplesmente, fez o caminho de volta, como eu havia explicado antes. Então, o que isso daqui quer dizer é que, se eu pegar esse valor dessa função aí que vai resultar da função "f ⁻¹" composta com "f"... (eu fico falando "f ⁻¹", só que a leitura certa aqui é a "função inversa de f")... então, a composição da função inversa de "f" com "f", vamos supor de um valor "a", para não perder o costume, vai ser igual à identidade de "x" em "a", ou seja, vai ser igual ao próprio valor de "a". Assim como a função "f" composta com a sua inversa (vamos supor do valor "b", como a gente viu nesse gráfico aqui), vai ser igual à identidade "y" em "b", ou seja, o próprio valor "b" vai estar sendo descrito por essa função daqui. E, agora, uma pergunta que vocês podem ter se feito (que, no caso, eu fiz para mim mesmo na época em que eu estava estudando isso daqui) é: existe uma só inversa? Vamos supor que uma função tenha uma só... tenha uma inversa (a gente já sabe que a função tem uma inversa, a gente já analisou essas duas condições aqui), e a gente quer saber se existe só aquela inversa, se existe uma inversa só. Então, eu vou anotar aqui: existe apenas uma inversa para "f"? Então, o que eu quero saber é o seguinte: eu sei que existe uma função, que é um mapeamento (um caminho) de "x" até "y", e eu também sei que existe uma, vamos supor, uma única função, uma outra função que é "g" (vamos chamar de outra letra), que é o mapeamento de "y" até "x", e eu quero saber (a questão é saber) se "f ⁻¹", se a inversa de "f", é única. Ou seja, só existe uma função possível para responder isso daqui? Então, analisando aqui, a gente poderia fazer a mesma coisa que a gente fez lá em cima, fazer a função "g" composta com a função "f" (que a gente tem aqui); então, ele faria o caminho de "x" até "y" e de "y" até "x", como a gente viu lá em cima (aqui, nessa função daqui). E isso daqui resultaria na identidade em "x", o que, no caso, faz bastante sentido porque é o que a gente acabou de ver aqui em cima nessa função. A função "g" composta com a função "f", como a gente viu, vai de "x" até "y" e de "y" até "x". Então, se a gente fosse desenhar um gráfico, ficaria bem parecido com o que a gente viu lá em cima. Na verdade, é o mesmo caso que a gente viu lá em cima; de novo, para frisar bem o que acontece. E vai de um valor "a" (vou chamar de "a") até um valor "b" (aqui) e, depois, desse valor "b" até o valor "a" novamente. E vamos supor que a gente também descubra outra função que... (então, só me deixe anotar aqui que "g" é uma inversa)... "g" é uma inversa, e "h" (vamos chamar outra função "h"; uma função nova, "h") é outra inversa. Então... (inversa)... então, "h" também está definida (é o mapeamento de "y" até "x")... então, se a gente fizer...(o mesmo caso que a gente viu aqui; o mesmo caso que a gente viu aqui)... se a gente fizer "h" composta com "f"... a gente sabe que é uma função inversa... a gente está dizendo que essa função é uma outra função diferente de "g" (no caso, que a gente está procurando a função "h"), nomeamos diferente e também é outra inversa. Então, ela é definida de "y" em "x"; e, se a gente fizer a composição dela com a função "f", o resultado vai ser a identidade em "x" (assim, como a gente observou aqui). Então, tudo o que a função "h" faria seria levar do ponto "a" até o ponto "b" (como a primeira função fez), só que, depois... no caso, a "f" faria isso, desculpa!... a "f" faria isso e a "h" faria todo o caminho inverso. No caso, seria a função inversa (no caso, "f ⁻¹"), todo o caminho inverso de "b" até "a". Por definição, a função "g"... (vamos fazer outro - brincadeira! - aqui embaixo)... a função "g" é igual à identidade em "x" composta com "g". O motivo pelo qual os dois são equivalentes é porque eu pego, por exemplo, um grupo "x", um grupo "y" e eu levo de "a" até "b" (no caso, o que a mesma função faria), e, aqui, de novo, eu uso a função identidade. Então, uma função identidade aqui que tem como se fosse um valor neutro, um valor quase nulo porque ela, simplesmente, leva ao mesmo lugar de onde a função saiu. Então, essas anotações aqui são equivalentes. Só que, se a gente for olhar, esse número aqui (que pode ser declarado como número), essa função identidade "x" e for procurar aqui, ela vai ser equivalente a "h" composta com "f". Então, se eu fizer um "igual" aqui, a gente vai descobrir que "g" vai ser igual a "h" composta com "f" composta com "g". Simplesmente, substituí a identidade de "x" por "h" composta com "f". Então, vocês já devem estar pensando em botar um parêntese aqui, só que tanto faz botar o parêntese aqui ou, por exemplo, aqui porque a composição de funções tem valor associativo, então tanto faz botar parênteses aqui ou aqui. Isso daqui daria o mesmo valor. E, se a gente for de novo buscar mais uma definição lá para trás, a função "f" composta com "g" vai ser o inverso da "g" composta com "f". Então, ao invés de ser "I" (a função identidade) de "x", vai ser a função identidade de "y". Então, "f" composta com "g" vai ser igual à identidade em "y". Então, se a gente substituir de novo isso daqui aqui, a gente vai obter que "h" composta com a identidade em "y" é igual ao valor "g" que a gente estava procurando aqui, a função "g" que a gente estava vendo aqui desde o começo. E o que que é... (quero que vocês tentem responder)... o que que é "h" composta com a identidade? Dica: a gente acabou de ver isso daqui faz bem pouco tempo. Então, se vocês por acaso pensaram em responder que é igual a "h", parabéns! Vocês acertaram! Porque, se vocês forem olhar aqui, a gente acabou de dizer que a identidade de "x" composta com "g" é igual à função "g". E, como isso daqui tem valor associativo, então, "h" composta com identidade de "y" também vai ser igual a "h". Então, isso tudo, essa linha toda, essa confusão toda foi só para provar que "g" e "h" são duas funções iguais. A gente acabou de dizer. Se a gente for tirar toda essa parte do meio aqui que a gente estava calculando, que foi meio complicado, a gente vai conseguir perceber, claramente, que a gente chegou em "g = h". Então, isso responde essa nossa pergunta aqui: sim, existe apenas uma inversa para a função "f". Espero ter ajudado, muito obrigado e até o próximo vídeo!