Condição da matriz para uma transformação um a um

RKA2G - Vamos dizer que eu tenha aqui uma matriz A e queira calcular que há um espaço nulo relativo a essa matriz A. Então, o que eu posso dizer em relação ao espaço nulo da matriz A? Posso dizer o seguinte: que eu vou ter uma equação do tipo A vezes "x" igual a zero, igual ao vetor nulo. Neste caso, quem vai ser o espaço nulo de A? O espaço nulo de A vai ser todos os "x" que satisfazem esta equação. Ou seja, que satisfazem equação onde Ax tem que ser igual ao vetor nulo. E nós vimos, muitos vídeos atrás, que você faria o seguinte: pegaria a matriz A, colocaria aqui, depois colocaria aqui o vetor nulo e, dado esta nova matriz, você faria o quê? Você pegaria esta matriz e faria a forma escalonada reduzida por linhas da matriz A. E, aqui do lado, o que iria acontecer? Continuaria dando vetor nulo, porque você teria vários zeros aqui e todas as operações que fossem realizadas com eles continuariam dando zero. Então, aqui, continuaria dando o vetor nulo. E o resultado para isto sairia de onde? Sairia deste sistema, que é equivalente é este. Mas aqui você teria, talvez, algumas linhas que fossem zero também. Neste caso, você vai ter algumas linhas que sejam arbitrárias e outras que sejam dependentes dessas outras linhas. Na verdade, o que você teria seria um vetor "x", que seria do tipo que vamos fazer aqui. Vamos dizer que a gente tivesse, por exemplo, um "a". "a" vezes n₁, mais "b" (n₁, no caso, é um vetor), vezes um vetor n₂. "a" e "b", neste caso, são constantes, também, arbitrárias. E vou seguindo, assim por diante. Não sei quantos tem aqui, não necessariamente é o mesmo valor da base. Vamos dizer que a gente tem aqui um "c" e um "n", vamos deixar assim mesmo. Então, na verdade, o que vai acontecer? O espaço nulo de A vai ser dado por uma combinação linear de todos estes vetores. No caso, deste vetor, deste vetor e deste vetor. Todos estes vetores vão expandir o espaço nulo de A. Portanto, podemos dizer que o espaço nulo de A pode ser escrito como? Pode ser escrito como o espaço gerado por estes vetores. Por n₁, n₂ e assim por diante, até o vetor nₙ. Por todos estes vetores. Isto é o que a gente já fez em vários vídeos, inclusive no vídeo anterior. Mas o fato é o seguinte: talvez eu nunca tenha escrito isso neste formato. Mas e no caso de eu querer resolver uma equação que não seja homogênea? Uma equação deste tipo: Ax = b. Neste caso, o que eu vou fazer? Vou pegar a matriz A e, aqui, vou colocar quem? Vou colocar meu vetor "b". E basicamente, eu vou utilizar a mesma ideia. Então, o que vai acontecer? De novo, vou fazer isto por forma escalonada reduzida. Vou utilizar a forma escalonada reduzida por linhas. No caso, a matriz A. E aqui, o que eu vou ter? Deste lado, não vou ter mais um vetor "b". Vou ter um outro vetor, que talvez eu chame de b'. Vamos chamar este vetor de b'. Este vai ser o novo vetor, que talvez até seja igual a este, mas provavelmente não vai ser igual àquele. Então, quando você pegar a matriz aumentada e quiser resolver esta equação, quiser voltar aqui para cima, o que vai acontecer? Você vai ter uma solução deste tipo. Uma solução onde "x" vai ser quem? "x" vai ser igual a b', mais este vetor aqui. Ou, na verdade, algo deste tipo. Vou só copiar isto e já colar direto lá. Vou só fazer a cópia aqui e já colo direto lá. Este resultado vai parar diretamente aqui em cima. Nós dissemos no último vídeo que, se eu quero uma solução para uma equação deste tipo, que a gente chama de não homogênea, o que vamos ter? Vamos ter uma solução aqui deste tipo, que chamamos de "x" particular. E, neste caso, o que vamos ter? Neste caso, vamos ter um vetor xₙ, que é um vetor que pertence a quem? É um vetor que pertence ao espaço nulo da matriz A. Portanto, o que eu disse no último vídeo, que vou escrever aqui embaixo, é o seguinte. Qualquer solução para o sistema não homogêneo... De que tipo é esse sistema? Esse sistema é deste tipo: Ax = b. Esse tipo de sistema terá a forma... De que forma ele será? Ele será de uma forma "x" particular. Mas, neste caso, "x" particular é este vetor aqui. Então, vamos ter um formato "x" particular, mais um vetor deste tipo aqui. Um vetor xₙ onde este vetor xₙ é o vetor do espaço nulo da matriz A. No último vídeo, o que eu fiz foi mostrar isto para vocês de uma maneira bem informal. Mas, neste vídeo, eu vou mostrar de uma maneira um pouco mais formal, mas ainda de forma bem simples. Primeiro de tudo, o que nós vamos fazer é verificar se isto realmente é uma solução para essa equação. Vamos fazer isso, vou só baixar um pouco. Vamos verificar se isto realmente é uma solução para a equação. Eu vou fazer isso de forma que seja uma pergunta. Vou colocar aqui: xₚ + xₙ, estes dois vetores aqui, será que eles são uma solução para a equação? Será que isto é uma solução para Ax = b? Será que isto é verdadeiro? Vamos escrever isto aqui. Temos que a equação vai ser do tipo A vezes este vetor. Vezes o vetor xₚ mais o vetor xₙ. Estes dois vetores. E o que eu teria aqui? Fazendo a distribuição, isto vai ser: A vezes xₚ (A vezes a solução particular), mais A vezes xₙ, onde xₙ é um vetor do espaço nulo de A. Mas aqui nós teremos o seguinte: A vezes xₚ vai dar quem? Vai dar um vetor do tipo "b", já que xₚ foi encontrado fazendo esta equação. Então, A vezes xₚ tem que ser igual a "b". E aqui, A vezes xₙ vai ser igual a quem? Vai ser igual ao vetor nulo. Por quê? Porque xₙ pertence ao espaço nulo de A, então, A vezes xₙ tem que dar zero. Então, isso vai ser: "b" mais o vetor nulo. Portanto, com certeza isto será igual a "b". Como o resultado deu realmente "b", quer dizer o quê? Quer dizer que isto é uma solução para a equação Ax = b, uma equação não homogênea. Portanto, eu pergunto se xₚ + xₙ é uma solução para Ax = b, eu posso dizer o quê? Eu posso dizer que sim. E agora eu vou fazer uma outra pergunta, que é a seguinte. Vou só descer mais um pouquinho. Vou fazer mais uma pergunta. Será que toda solução... Toda solução "x" para a equação Ax = b assume... Assume a forma do tipo x = xₚ + xₙ? Será que toda solução "x" para Ax = b assume a forma x = xₚ + xₙ? Onde xₚ é um vetor que é a solução particular da equação e xₙ é um vetor do espaço nulo de A. Para respondermos isso, vamos pegar a matriz A e multiplicar essa matriz A por "x". Na verdade, vou escrever o seguinte, primeiro. Vamos dizer aqui que "x" é uma solução para a equação. "x" é uma solução para Ax = b. Então, "x" é uma solução para isto, resolve esta equação. O que vamos escrever é o seguinte. Se eu pegar a matriz A e multiplicar pelo vetor "x", menos... Aqui uma solução particular, uma xₚ, o que vai dar isso aqui? Por conta da distribuição, aqui eu vou ter: Ax - A vezes a solução "x" particular. E, neste caso, Ax vai ser o quê? Vai ser "b", uma vez que Ax = b. E aqui, também: A vezes uma solução particular tem que dar "b", já que é uma solução também. Logo, por fim, "b" menos "b" vai dar o vetor nulo. E outra maneira de pensar nisto é dizer o seguinte: que "x" menos a solução particular vai ser o quê? Isto é uma solução para Ax = 0. Pense um pouco sobre isso: se você pegar todo este vetor, colocá-lo dentro de parênteses e substituir isto, o que você vai ter? Você vai ter este vetor aqui, que é o vetor nulo. E aí, nós temos que Ax - xₚ dá, realmente, um vetor nulo. E aí a gente pode dizer o seguinte... Vou só descer isto um pouquinho... Vamos poder dizer que x - xₚ vai ser o quê? Vai ser um elemento do espaço nulo de A. Um elemento de N(A), do espaço nulo de A. E para lembrar, por definição, o que acontece? Um elemento é do espaço nulo de A quando ele satisfaz esta equação. E aí a gente vai poder dizer o seguinte: que este vetor "x", menos esta solução particular, vai ser o "x" que pertence ao espaço nulo de A. Vai ser um xₙ. E a gente até poderia escrever aqui: isso é uma solução homogênea. No caso, xₙ é uma solução homogênea. Agora, se apenas adicionarmos a solução particular de cada lado, o que nós teremos? Nós teremos aqui: "x", que vai ser igual a xₙ, mais xₚ. E lembre-se: nós temos que "x" é uma solução para Ax = b. Então, temos que "x" será o quê? "x" será igual a xₙ, que é uma solução, no caso, homogênea, uma solução de Ax = 0 (este vetor pertence ao espaço nulo de A), mais xₚ, que é uma solução particular, que no caso resolve Ax = b. Por fim, temos a resposta para esta pergunta. Nós podemos garantir que aqui, realmente, vai ser o formato da equação não homogênea. Mas bem, a gente vinha falando da relação das funções e a questão de elas serem 1 para 1. Então, vamos dar uma olhada nisto. A nossa intenção aqui é falar do caso onde uma função é do tipo 1 para 1. Nós tratamos, aqui, do caso da invertibilidade. Um para um. Vamos fazer um desenho para que você entenda isto um pouquinho melhor. Vamos dizer que, aqui, a gente tenha o domínio "x". E, aqui, a gente tenha outro conjunto que seja o contradomínio, que eu vou chamar de "y". E eu vou pegar uma transformação e vou levar os membros "x" em "y". Vou levar estes membros através de uma transformação. Então, neste caso, vou fazer uma transformação linear que vai levar "x" em "y". E essa transformação é de 1 para 1. Então, vamos dizer que aqui eu tenha um vetor "b" E vou dizer o seguinte: todo "b" pertencente a "y" tem, pelo menos, uma solução para a equação. Para Ax = b. Como eu disse que este elemento é "b", e b = Ax, então, este é Ax. Ax pertence a quem? Pertence ao contradomínio. No domínio, eu vou ter um "x" e esse "x" vai ser levado em Ax. Ou seja, eu vou transformar "x" em Ax. Como? Através de uma transformação linear que vai pegar o "x" e vai transformar esse "x" com a seguinte função: A vezes "x". Pego a matriz A, multiplico por "x" e transformo este "x" neste elemento, que é o "b". E para uma função ser invertida, o que a gente precisa? Que, no domínio "x", a gente tenha alguém que vai em Ax. Pode ter um ou mais de um, o que não pode acontecer é não ter ninguém aqui que vai em Ax. Nesse caso, se não tiver ninguém, o que vai acontecer? Esta função não vai ter uma inversa, ou seja, a gente não pode fazer a transformação inversa. Mas o que nós dissemos para o caso da solução de uma equação não homogênea? Vamos ver aqui. Nós dissemos que toda solução tem o seguinte formato. Ela vai ser um "x" particular, mais um xₙ, ou seja, um "x" que pertence ao espaço nulo de A. Este "x" pertence ao espaço nulo de A. Na verdade, xₙ pertence ao espaço nulo de A. Isto vai ocorrer no caso da gente ter uma solução para este problema. Mas, se tivermos uma solução deste tipo, isso só pode acontecer uma vez. Só existe uma solução neste formato. Então, eu posso dizer aqui que nós só podemos ter uma solução. Então, neste tipo aqui, neste formato, a gente só pode ter uma solução. O que estou dizendo é que esta solução é única. E, no caso de eu ter uma solução 1 para 1, o que vai acontecer? Este vetor aqui não vai poder ser diferente do vetor nulo. Por que isso? Porque, senão, estaria admitindo várias soluções. Esta solução já é uma solução particular. Então, esta solução só pode ser o vetor nulo. Senão, eu teria várias soluções. E, para que isto seja possível, o espaço nulo de A tem que ser quem? Tem que ser apenas o vetor nulo. Tem que ser apenas o zero. Logo, aqui, os únicos valores permitidos serão quem? Serão, no caso, o vetor nulo. Isso para que eu tenha 1 para 1. Senão, eu vou ter vários caras saindo daqui, do domínio, e indo no mesmo valor no contradomínio. É importante lembrar que você pode começar de várias maneiras diferentes e encontrar soluções particulares diferentes. Mas, a partir do momento em que você fixou esta condição aqui, ou seja, este vetor, que é o caso particular, o que vai acontecer? Aqui só pode ser o vetor nulo. E, por fim, se eu pegar a solução particular e somar com o vetor nulo, eu terei apenas, no caso, a solução particular. Vou escrever isso aqui embaixo, vamos lá. Só descer um pouco. Para que a gente tenha, na verdade, uma situação onde a transformação é 1 para 1, o que vai ter que acontecer? O espaço nulo de A só vai poder ser composto por quem? Pelo vetor nulo. Apenas pelo vetor nulo. Neste caso, nós teremos um subespaço trivial. E nós vimos, muitos vídeos atrás, o que acontece quando o espaço nulo é um subespaço trivial. A gente vai ter o seguinte: vamos dizer que eu pegue uma matriz A, composta pelos vetores a₁, a₂ e assim por diante até aₙ. Eu pego essa matriz e multiplico por um vetor "x". E o vetor "x" vai ser composto da seguinte maneira: x₁, x₂, até xₙ. Imagine que eu faça esta conta e obtenha como resultado o vetor nulo. O que vai acontecer se, no caso, a única opção for x₁, x₂, até xₙ tem que ser igual a zero? Ou seja, o vetor "x" tem que ser o vetor nulo? Para que esta seja uma transformação linear, que pega a matriz A e multiplica por um vetor, e para que isto dê o resultado zero, que vai acontecer? Todos estes valores têm que ser zero. É o caso onde o espaço nulo de A é igual a zero. Porque o único vetor que faz zerar isto, esta transformação, é o vetor nulo. Então, eu posso dizer o seguinte: eu posso dizer que x₁ vezes a₁, mais x₂ vezes a₂, mais... Fazendo isso, assim por diante, até xₙ vezes aₙ. Isto tem que ser o vetor nulo. O que eu estou dizendo? Estou dizendo que a única solução para esta equação, isto é a mesma coisa que isto, estou dizendo que a única solução para esta equação é que estes valores aqui, destas constantes... Na verdade acabei colocando como forma de vetor. Vou apagar isto aqui. Porque aquilo, na verdade, é uma constante, não um vetor. Vou só apagar isto. Agora, sim, vou escrever de novo. x₂ vezes a₂, assim por diante, até xₙ vezes aₙ, tem que dar o vetor nulo. E, como o espaço nulo de A é igual ao vetor nulo, eu tenho que, de x₁ a xₙ, todo mundo aqui tem que ser igual a zero. Porque, se não for zero, esta equação nunca vai zerar. Por fim, o que eu vou poder dizer aqui embaixo é o seguinte. Na verdade, vou colocar aqui em cima, mesmo. Vou dizer que a₁, que é um dos vetores coluna... Eu poderia escrever em outras colunas, mas vou colocar assim. a₁, a₂, até aₙ estes vetores aqui são linearmente... linearmente independentes. Estes vetores são linearmente independentes. E o que isto significa, de fato? O que podemos dizer é o seguinte: significa que o espaço coluna da matriz A é o espaço gerado por estes vetores. É um espaço gerado pelos vetores coluna. No caso: a₁, a₂, até aₙ. Estes vetores todos, a gente já viu que são o quê? Eles são linearmente independentes. Portanto, o que nós podemos concluir é que a₁, a₂ e assim por diante são o quê? Eles são uma base para o espaço coluna de A. Eles são uma base para o espaço coluna da matriz A. Somente para recapitular, o que nós vimos neste vídeo é que uma transformação, para ser 1 para 1, precisa que o espaço nulo tenha apenas um elemento. Ou seja, o elemento nulo. Neste caso, o que vai acontecer com a matriz A? Ela vai ser formada por vetores coluna onde todos estes vetores são linearmente independentes. Logo, neste caso, todo o espaço coluna pode ser gerado por estes vetores. Dessa forma, nós diremos que eles são uma base para o espaço coluna de A. Portanto, o que nós poderemos dizer é que a dimensão do espaço coluna de A vai ser igual a "n". Ou, de outra forma, a gente pode dizer que o posto, neste caso, é "n". Isto, obviamente, porque nós temos "n" colunas neste caso. E aí, vamos poder dizer que uma transformação é 1 para 1 se, e somente se, o posto de A é igual a "n". Isso porque, no caso de ser 1 para 1, o espaço nulo de A tem que ser igual a zero, apenas ter aqui o vetor nulo, e se ele tem apenas o vetor nulo, quer dizer o quê? Quer dizer que todos estes vetores são linearmente independentes. E, se todos estes vetores são linearmente independentes, o posto da matriz é igual a "n". Por outro lado, se o posto da matriz é igual a "n", significa o quê? Significa que eu tenho "n" vetores aqui, linearmente independentes. Só que, se "n" vetores formam uma base e aqui eu tenho "n" vetores, quer dizer o quê? Que todos os vetores são linearmente independentes. E, se isso acontece, quer dizer que o espaço nulo, isto aqui, desaparece. E, se isto desaparece, a gente tem apenas a solução particular. Neste caso, de novo, 1 para 1. Eu espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo!