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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 2
Lição 4: Funções e transformações inversas- Introdução à inversa de uma função
- Demonstração: a capacidade de inversão implica uma solução única para f(x)=y
- Funções sobrejetora (para) e injetora (um-para-um)
- Relacionando a capacidade de inversão com a característica “para” e “um-para-um”
- Determinando se uma transformação é sobrejetora
- Explorando o conjunto de soluções de Ax = b
- Condição da matriz para uma transformação um a um
- Simplificação das condições para capacidade de inversão
- Mostrando que as inversas são lineares
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Simplificação das condições para capacidade de inversão
Mostrando que uma transformação é inversível se e somente se rref(A) for igual à matriz de identidade. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Então, supondo que a gente
tenha uma transformação "T", definida
de Rⁿ em Rᵐ. A nossa questão agora é:
"T" é inversível? E a gente já viu em alguns vídeos atrás
que "T" vai ser inversível se, ela for uma função sobrejetora
e também for injetora. Então, o que
isso quer dizer? Se ela for injetora,
para cada valor de "x", ela vai ter um
respectivo valor de "y". E se ela for sobrejetora, todos os
valores no caso do contradomínio, da função de Rᵐ vão ser utilizados, então
o contradomínio vai ser igual à imagem. E nós também vimos, nos últimos vídeos,
que se eu tiver uma transformação linear, se eu tiver uma transformação linear
definida por uma matriz "m" por "n", isto aqui vai
ser satisfeito, essa condição vai ser satisfeita
se o posto de "A" for igual "m", isso aqui a gente viu
nos últimos vídeos, e isso aqui só
vai ser satisfeito se o posto de "A"
for igual a "n", Então, a gente acabou de chegar
em uma questão interessante aqui, porque o
posto de "A" vai ter que
ser igual a "m" e também vai ter
que ser igual a "n". Então, "m" vai ter
que ser igual a "n". Isso aqui é uma condição interessante,
porque isso significa que a nossa matriz vai ter que ser uma
matriz quadrada, e sendo uma matriz quadrada, a gente pode
escrever aqui a nossa matriz "m" por "n",
é quadrada. E aqui vão estar todos os nossos vetores,
por exemplo, a₁, a₂ e assim vai até o aₙ, sendo ela uma
matriz quadrada, ou melhor,
o fato de o posto, o fato do número, o posto ser igual
ao número de colunas dela, significa que todos
estes vetores aqui serão, no caso, vetores
de base da coluna. Então, se a gente fosse
pegar esta matriz, e colocá-la na versão reduzida
ou na versão canônica, a gente teria, por exemplo, aqui um pivô,
aqui a gente teria outro pivô, aqui a gente teria mais um pivô e, assim,
a gente faria para a nossa matriz inteira. Então, todos os nossos
vetores de "a" são associados, todos associados com pivôs. Isso aqui nos leva a uma
outra definição interessante, que a nossa matriz "A",
no caso a matriz "A" reduzida, então, eu vou escrever
desta maneira aqui. A matriz a reduzida,
na sua forma reduzida, tem que ser uma
matriz "m" por "n", em que toda coluna seja linearmente
independente e associada a um pivô. Então, o que é uma matriz quadrada,
no caso "m" por "n", em que toda a coluna é L.I.
(linearmente independente) associada
a um pivô? Isto é uma matriz,
desta maneira aqui, em que todos os números
da diagonal principal são 1 e todos os outros números
são zeros, por exemplo. E, isso aqui, a gente conhece como
sendo a identidade de "m" por "n", ou, então, a matriz
identidade de "n". Então, se a gente tiver uma transformação
linear definida de Rⁿ em Rᵐ, aqui eu poderia colocar Rᵐ,
na verdade, mas vou colocar Rⁿ. Esta transformação linear
sendo, por exemplo, sendo definida por
uma matriz "n" por "n", ela só vai ser inversível
se a matriz na forma reduzida for igual à
matriz identidade. Nossa, eu escrevi muito
horrível aqui, identidade. Então, aqui eu poderia,
por exemplo, ter escrito "n" definido
de "n" em "m", e aqui a gente teria, por exemplo,
uma matriz "n" por "m". Só que como a gente descobriu aqui
em cima que os postos têm que ser igual, Então, a gente descobriu que
"m" vai ser igual a "n", e a nossa matriz
vai ser quadrada. Então, na verdade, esta é a grande
sacada da inversão de matrizes, ela tem que ser uma matriz
quadrada para que dê certo. Eu espero ter ajudado,
e até o próximo vídeo!