Simplificação das condições para capacidade de inversão

RKA3JV - Então, supondo que a gente tenha uma transformação "T", definida de Rⁿ em Rᵐ. A nossa questão agora é: "T" é inversível? E a gente já viu em alguns vídeos atrás que "T" vai ser inversível se, ela for uma função sobrejetora e também for injetora. Então, o que isso quer dizer? Se ela for injetora, para cada valor de "x", ela vai ter um respectivo valor de "y". E se ela for sobrejetora, todos os valores no caso do contradomínio, da função de Rᵐ vão ser utilizados, então o contradomínio vai ser igual à imagem. E nós também vimos, nos últimos vídeos, que se eu tiver uma transformação linear, se eu tiver uma transformação linear definida por uma matriz "m" por "n", isto aqui vai ser satisfeito, essa condição vai ser satisfeita se o posto de "A" for igual "m", isso aqui a gente viu nos últimos vídeos, e isso aqui só vai ser satisfeito se o posto de "A" for igual a "n", Então, a gente acabou de chegar em uma questão interessante aqui, porque o posto de "A" vai ter que ser igual a "m" e também vai ter que ser igual a "n". Então, "m" vai ter que ser igual a "n". Isso aqui é uma condição interessante, porque isso significa que a nossa matriz vai ter que ser uma matriz quadrada, e sendo uma matriz quadrada, a gente pode escrever aqui a nossa matriz "m" por "n", é quadrada. E aqui vão estar todos os nossos vetores, por exemplo, a₁, a₂ e assim vai até o aₙ, sendo ela uma matriz quadrada, ou melhor, o fato de o posto, o fato do número, o posto ser igual ao número de colunas dela, significa que todos estes vetores aqui serão, no caso, vetores de base da coluna. Então, se a gente fosse pegar esta matriz, e colocá-la na versão reduzida ou na versão canônica, a gente teria, por exemplo, aqui um pivô, aqui a gente teria outro pivô, aqui a gente teria mais um pivô e, assim, a gente faria para a nossa matriz inteira. Então, todos os nossos vetores de "a" são associados, todos associados com pivôs. Isso aqui nos leva a uma outra definição interessante, que a nossa matriz "A", no caso a matriz "A" reduzida, então, eu vou escrever desta maneira aqui. A matriz a reduzida, na sua forma reduzida, tem que ser uma matriz "m" por "n", em que toda coluna seja linearmente independente e associada a um pivô. Então, o que é uma matriz quadrada, no caso "m" por "n", em que toda a coluna é L.I. (linearmente independente) associada a um pivô? Isto é uma matriz, desta maneira aqui, em que todos os números da diagonal principal são 1 e todos os outros números são zeros, por exemplo. E, isso aqui, a gente conhece como sendo a identidade de "m" por "n", ou, então, a matriz identidade de "n". Então, se a gente tiver uma transformação linear definida de Rⁿ em Rᵐ, aqui eu poderia colocar Rᵐ, na verdade, mas vou colocar Rⁿ. Esta transformação linear sendo, por exemplo, sendo definida por uma matriz "n" por "n", ela só vai ser inversível se a matriz na forma reduzida for igual à matriz identidade. Nossa, eu escrevi muito horrível aqui, identidade. Então, aqui eu poderia, por exemplo, ter escrito "n" definido de "n" em "m", e aqui a gente teria, por exemplo, uma matriz "n" por "m". Só que como a gente descobriu aqui em cima que os postos têm que ser igual, Então, a gente descobriu que "m" vai ser igual a "n", e a nossa matriz vai ser quadrada. Então, na verdade, esta é a grande sacada da inversão de matrizes, ela tem que ser uma matriz quadrada para que dê certo. Eu espero ter ajudado, e até o próximo vídeo!