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Demonstração: a capacidade de inversão implica uma solução única para f(x)=y

Demonstração: a capacidade de inversão implica uma solução única para f(x)=y para todos e em codomínio de f. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Eu tenho uma certa função "f", cujo domínio é "x", e a função "f" leva os elementos de "x" em um outro encontro, os correspondentes em um outro conjunto, o contradomínio, "y". Vamos dizer que a função "f' é invertível, ela tem inversa. O que eu quero estudar é a equação "f(x) = y". Quero estudar o fato de que, Para qualquer "y" que é elemento do contradomínio, há uma única solução "x" no domínio "x", tal que "f(x) = y". Vou desenhar para interpretar um pouco a situação. Vamos supor que eu tenha o domínio, conjunto "x", e aqui o contradomínio, conjunto "y". Se eu tiver um certo elemento aqui por exemplo, "a", a função "f" vai levar do "a" até um elemento do "y", que é o f(a). Esta é a imagem do "a". Vamos olhar para esta equação. Eu quero verificar que, tomando algum elemento aqui do contradomínio, existe uma única solução que vem do domínio, de modo que esta equação esteja resolvida. Por exemplo, quero dizer se eu tiver aqui um outro elemento qualquer, digamos que seja "b", e eu quero verificar, quero comprovar, que existe uma solução única para que f(x), ou seja, só existe um "x", de modo que o "f(x) = b". Há algum elemento em "x" aqui, ao qual aplicando a função "f", nós vamos obter "b". A questão que nós estamos envolvendo é saber se isso é único, ou seja, se não existe outro elemento em "x", que, também aplicando "f", leva para "b". Se houver, então, aqui nós dizemos que não é única a solução. O que eu insisto neste vídeo é a relação entre o fato da inversibilidade ou invertibilidade da função "f" em relação à existência de uma única solução para esta equação para qualquer "y" que esteja no contradomínio. Bem, o fato de "f" ser invertível implica que existe, este símbolo aqui significa "existe", uma certa função que vamos chamar de f⁻¹, que leva elementos do conjunto "y", que era o meu contradomínio aqui, ao conjunto "x", tal que a composição desta nova função f⁻¹, que é a inversa, com "f", resulta na função identidade para "x". O que isso quer dizer é que, se eu aplico a função a um certo elemento "a" do domínio, que leva a sua imagem, depois aplico na imagem essa nova função, f⁻¹, eu obtenho novamente o mesmo elemento de onde eu saí, o que significa aplicar a função identidade ao elemento do domínio, ou seja, tomar o "a", neste caso, aplicar à função identidade que vai levar ao próprio "a". Mas ainda não terminou. O fato de "f" ser invertível quer dizer que existe uma função f⁻¹ de "y" em "x", tal que a composição f⁻¹ com "f" resulta na identidade em relação a "x", e a função "f" composta com a inversa resulta na identidade para "y", ou seja, analogamente ao que tínhamos antes, se eu tiver um elemento aqui do conjunto "y", aplicando f⁻¹, que é a inversa, eu vou achar um correspondente em "x". Aplicando "f" a ele, eu volto para mesmo elemento do "y", o que significa aplicar a identidade neste elemento de onde eu parti e vou chegar nele novamente. Isso tudo é o que define a invertibilidade de uma função. Por definição, a função inversa envolve tudo isso. E neste contexto todo, nós queremos trabalhar com a equação "f(x) = y", e queremos comprovar, neste momento, que para qualquer "y" que esteja aqui no contradomínio, existe um único "x" que faz com que esta equação seja satisfeita, sendo que nós sabemos que a função "f" é invertível. Nós sabemos que se aplicarmos a função inversa ao "y", "y" é um elemento daqui, por exemplo, "y" está aqui, se aplicar a função inversa ao "y", eu vou encontrar um correspondente aqui em "x". Lembrando, claro, que o "y = f(x)". f(x) e "y" são a mesma coisa, são o mesmo elemento. Eu vou aplicar a função inversa aos dois lados desta igualdade. Vamos ter então o f⁻¹ aplicado ao f(x) tem que ser igual ao f⁻¹ aplicado ao "y". Vamos usar a definição da função inversa e ver o que vai nos aparecer aqui. Bem, do lado direito da igualdade, não temos dúvidas, temos aqui o f⁻¹ aplicado ao "y". Entretanto, do lado esquerdo da igualdade, eu tenho o f⁻¹ aplicado ao f(x). Pela definição, eu posso escrever f⁻¹ composta com "f", isto aplicado ao "x". f⁻¹ composta com "f" aplicada a "x" nos resulta na identidade em "x". Mas o que é a identidade em "x"? A identidade "f(x) = x". Ou seja, temos aqui "x = f⁻¹(y)". Nós iniciamos com a ideia de que a função "f" é invertível, tomamos um "y" qualquer do contradomínio, de maneira que existe um f(x) que resulta em "y", aplicamos a definição da função inversa, desenvolvemos, e obtivemos esta informação, "x = f⁻¹(y)". Ora, f⁻¹ é uma função, então, o f⁻¹ aplicada a "y" só pode ter um resultado. Conclusão, "x" é o único resultado que satisfaz esta equação, esta igualdade. Assim como também já estudamos o fato de que, ao obter uma certa função inversa, essa função inversa é única, de maneira que garante, mais uma vez, que o "x" é a solução única para esta equação. Resumindo, se nós tomarmos um certo elemento "y" aqui no conjunto, no contradomínio "Y", nós vamos encontrar um correspondente "x" aqui no domínio, que é único, já que a inversa aplicada ao "y" só pode nos dar um resultado, e a inversa de uma função é única, como nós já estudamos antes. Então aqui, nós conseguimos verificar que, se a função "f" é invertível, se ela tem inversa, então, a equação "f(x) = y" para qualquer "y" no contradomínio, o "y" maiúsculo, tem uma única solução. Ou seja, só há um "x" q ue satisfaz esta equação. O que nós vamos fazer agora é verificar se o contrário é válido. Vamos lá. Vamos verificar se, sabendo que para qualquer "y", qualquer ''y" no contradomínio, a equação "f(x) = y" tem solução única, então, vamos comprovar a invertibilidade de "f". Vamos localizar aqui mais uma vez um diagrama representando aqui o domínio, "X", aqui o contradomínio, "Y". E nós temos o fato de que a equação "f(x) = y" tem uma solução única para qualquer "y" aqui no contradomínio, quer dizer, tendo um certo elemento aqui no condomínio, vai existir algum elemento do domínio ao qual, aplicada à função "f'', nós vamos chegar ao elemento do condomínio e nós vamos verificar que essa é a única solução para esta situação. Para isso, vamos definir uma nova função, vou chamar de uma nova função "S". "S" que relaciona a elementos de "y", leva os elementos de "y" para "x". Esta função "S" aplicada ao "y'', veja, ela toma elementos de "y" para "x", a definição dessa função é que ela é a única solução em "x", ou seja, o "resultado" dessa conta é alguém em "x" no domínio de "f". Agora, para o "S" é o contradomínio, então, S(y) é a única solução em "x" para a equação "f(x) = y". Isto para valores de "y" no contradomínio do "f", que é o domínio do "S". Pode parecer um pouco estranho a definição desta função, mas é uma função perfeitamente válida definindo desta maneira. Para cada "y" eu vou encontrar um correspondente em "x" e ele é único, então, isso garante a definição da função. Nós já começamos com a ideia que para qualquer "y" em "Y", "f(x) = y" tem solução única, seja para qualquer elemento daqui, eu encontro um elemento em "x", que é único para "f(x) = y". E esta função "S" que nós definimos agora, está associando qualquer elemento do conjunto "y", há um elemento em "x" que é a solução única para esta equação. Vamos tomar um certo elemento "b" aqui no conjunto "y", vamos aplicar a ele a função "S", ou seja, vai levar o elemento de "y" em "x", ou seja, aplicando "S" a "b" eu vou encontrar um correspondente em "x" que é o "S" aplicado a "b", S(b). Pela definição da função "S", nós sabemos que o S(b), isto que temos aqui, é a solução única para a equação "f(x) = b", pela definição que temos aqui desta função "S". Bem, e uma coisa fácil de perceber é que se eu aplicar a função "f" ao S(b), o que é que eu vou ter? Veja o que eu estou dizendo. S(b) é este elemento. Se eu aplicar a função "f" nele, eu vou vir para cá, encontrando o correspondente, que é o "b". Então f(S(b)) é igual ao próprio ''b". Isso nos permite escrever que a função "f" composta com a função "S" aplicada ao "b" resulta, veja aqui, "f" composta com "S" em "b" resulta em "b". Quer dizer que, eu apliquei o "S" em "b", eu vim para cá, apliquei o "f" aqui, voltei para o "b". Ora, se isto aplicado a um "b", a um certo "b", volta para o próprio ''b", então, nós temos aqui a função identidade em "y", porque estamos o domínio "y", aplicada ao "b", que é igual, naturalmente, ao próprio "b" pela definição da identidade, da função identidade. Bem, então em suma, esta função que está bem definida nos permite concluir que a função "f" composta com a função "S" resulta na identidade em ''y". Vamos fazer uma outra análise. Tendo aqui um conjunto "x" novamente, aqui o "y''. Para a função "f", o "x" é o domínio e o "y" é contradomínio. Se eu tiver um certo elemento "a", aplicando a ele a função "f", eu vou obter um correspondente aqui, que é o f(a). Se eu aplicar aqui a função "S" que foi definida acima, que garante que existe uma única solução para "f(x) = y", se eu aplicar ao f(a) nós vamos encontrar uma solução única em "x". Aplicando "S" ao f(a), eu vou encontrar um certo correspondente aqui no conjunto "x", que é o S(f(a)), o "S" aplicado ao f(a). Este elemento S(f(a)), pela definição da função "f", é a única ou é igual a solução única, ou única solução, para a equação f(x). "x" é um elemento do domínio "x". f(x) igual ao correspondente que nós encontramos lá, que, neste caso, é o f(a). Eu tenho então aqui, uma equação f(x) = f(a). Qual é a única solução em "x" para esta equação? Ora, somente vai estar satisfeita se o "x" for igual ao "a". E é solução única pela própria definição da função que nós estamos usando aqui. Então aqui, nós podemos concluir que o "S" aplicado ao f(a) resulta no próprio "a", porque o S(f(a)) deveria encontrar um certo "x" aqui de modo que fosse a única solução para a equação que temos aqui envolvida. Ora, desta forma, o S(f(a)) só pode ser o próprio "a", já que deduzimos que o "x" tem que ser o "a". A partir daqui, nós escrevemos que "S" composta com "f" aplicada a um certo "a" resulta no próprio "a". Assim como fizemos logo acima, podemos finalizar dizendo que isto tudo aqui é a identidade em "x". Estávamos mapeando partir de "x", ou seja, "S" composta com "f" é igual à identidade em "x". Veja que acima nós tínhamos também escrito que a composição de "f" com "S" resulta a identidade, vou escrever aqui abaixo, "f" composta com "S" resulta também a identidade, só que em "y", porque estamos partindo do domínio "y". O fato é que, se eu construir uma certa função "S" de maneira que estas duas coisas, dada, claro, antes a função "f", estas duas coisas sendo verdadeiras, isto nos garante a invertibilidade da função. Ou seja, garantimos a existência de que uma função, um função "f", que leva, que mapeia de "x" para "y'', permite a existência da sua inversa f⁻¹, que leva de "y" para "x". Ou melhor dizendo, dado uma função "f" de "x" para "y", existe uma certa função f⁻¹ que leva de "y" para "x", tal que, lembre-se que esta barrinha significa "tal que", f⁻¹ composta com "f" é igual à identidade em "x", e composta com "f" composta com f⁻¹ resulta na identidade em "y". E existe uma função que satisfaça isso. A função, essa, que nós definimos, neste caso aqui, temos que, a função "S" é justamente a inversa da "f". Esta é uma ideia bastante abstrata, nós ficamos bastante envolvidos com os diagramas e os "vai e volta" da nossa função. Mas, recapitulando, na primeira parte do vídeo, nós assumimos que, se o "f" é uma função invertível, então "f(x) = y" para qualquer "y" no contradomínio tem uma única solução, e, na segunda parte do vídeo, pudemos comprovar que, se para qualquer "y" do contradomínio há solução única para "f(x) = y", então, "f' é invertível. Ou seja, cada uma dessas afirmações implica na outra, e isso nós podemos escrever aqui abaixo, de uma maneira bastante resumida, da seguinte forma: se uma certa função f(x) em "y" é invertível, tem inversa, "f" é invertível se, e somente se, para qualquer "y" do contradomínio existe uma solução única para a equação "f(x) = y". Ou seja, os dois sentidos da implicação existem aqui. Se "f" é invertível, então, a solução é única. Se a solução da equação "f(x) = y" for única, então "f" é invertível. No momento, é isso. Até o próximo vídeo!