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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 2
Lição 4: Funções e transformações inversas- Introdução à inversa de uma função
- Demonstração: a capacidade de inversão implica uma solução única para f(x)=y
- Funções sobrejetora (para) e injetora (um-para-um)
- Relacionando a capacidade de inversão com a característica “para” e “um-para-um”
- Determinando se uma transformação é sobrejetora
- Explorando o conjunto de soluções de Ax = b
- Condição da matriz para uma transformação um a um
- Simplificação das condições para capacidade de inversão
- Mostrando que as inversas são lineares
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Relacionando a capacidade de inversão com a característica “para” e “um-para-um”
Relacionando a capacidade de inversão com a característica “para” (sobrejetora) e “um-para-um” (injetora). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Estudamos, a alguns vídeos, o fato de que uma função
f(x) em "y" é invertível, se e somente se, para qualquer "y" do contradomínio "Y", existe um único elemento "x"
do domínio "X" tal que o f(x) seja igual ao "y". Vamos estudar isso começando
a olhar para o diagrama em que aqui eu tenho o meu domínio "x"
e aqui o meu contradomínio "y". E a função "f" relaciona elementos ou
leva de "x" para "y". Vimos que a ideia da função inversa está no fato de que se eu
tomo um elemento em "x" aplicando "f", eu chego no correspondente "y". Aplicando a inversa eu volto
para o elemento "x" original, o que equivale aplicar a
função identidade no "x", ou seja, sair dele e voltar nele mesmo. A mesma coisa a partir do "y". Se eu tivesse um certo x₀ aplicando a ele a função "f", eu encontraria aqui um certo valor que eu vou chamar de "y" que é o f(x₀). Se houvesse um outro elemento "x" aqui, ao que aplicando "f"
eu chegasse ao mesmo "y", eu iria impedir a invertibilidade de "f", porque eu não tenho mais
a situação de unicidade para f(x) = y. Não é possível ter uma função inversa se dois valores diferentes de "x" mapeiam
o mesmo valor "y" no contradomínio. Em outras palavras, o fato de existir o único "x"
no domínio que satisfaça f(x) = y, nos diz que a função "f" tem que ser
uma função injetora ou um a um. A outra parte que temos que estudar
é esta aqui. Que para todo "y" do contradomínio, existe um "x" que o mapeia. Se houver um certo "y" aqui, que não é o correspondente
de nenhum elemento no domínio, nós quebramos as condições para a invertibilidade. A função não tem inversa. Não tem inversa por quê? Ora, de "y" para "x", para ser uma função, todos os elementos do domínio, veja, de "y" para "x", "y" é o domínio, todos os elementos do domínio têm que ter
um correspondente lá no contradomínio. Se este valor aqui não tem um
correspondente lá no contradomínio, então, não é possível definir uma função de "y" para "x". Ou seja, "f" não teria inversa. Em outras palavras, para que
a função inversa de "f" exista, tendo aqui o domínio e o contradomínio, todos os elementos do domínio têm que encontrar apenas um
correspondente no contradomínio. Aqui, por exemplo, assim. Assim, este com este,
este com este. Para cada elemento do contradomínio, existe um único "x"
que se relaciona com ele. Além disso, nenhum elemento daqui pode ficar sem ter um correspondente, um valor associado,
um elemento associado no domínio. Ficando todos os elementos
relacionados um a um, e sem ficar elemento que não se relaciona, nós temos condições para
obter a função inversa de "f". Então, aqui o fato de que todo "y"
tem que se relacionar, nos dá a necessidade, nos coloca a necessidade
de que a função "f" é uma função sobrejetora. Função sobrejetora é aquela em que todos os elementos do contradomínio fazem parte do conjunto de imagem. Como neste exemplo aqui. Desta maneira, podemos reunir
aquelas informações que fizemos a alguns vídeos atrás,
sobre a função inversa, dizendo que uma certa função
f(x) em "y" é invertível. É invertível, se e somente se, "f" é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Ou ingetiva e sobrejetiva. Esta é uma maneira bem simples
de dizer que, para ser invertível, cada "y" do contradomínio tem que ser correspondente de algum "x", e este "x" tem que ser único
para cada "y" do contradomínio. É isso aí, até o próximo vídeo!