Relacionando a capacidade de inversão com a característica “para” e “um-para-um”

RKA3JV - Estudamos, a alguns vídeos, o fato de que uma função f(x) em "y" é invertível, se e somente se, para qualquer "y" do contradomínio "Y", existe um único elemento "x" do domínio "X" tal que o f(x) seja igual ao "y". Vamos estudar isso começando a olhar para o diagrama em que aqui eu tenho o meu domínio "x" e aqui o meu contradomínio "y". E a função "f" relaciona elementos ou leva de "x" para "y". Vimos que a ideia da função inversa está no fato de que se eu tomo um elemento em "x" aplicando "f", eu chego no correspondente "y". Aplicando a inversa eu volto para o elemento "x" original, o que equivale aplicar a função identidade no "x", ou seja, sair dele e voltar nele mesmo. A mesma coisa a partir do "y". Se eu tivesse um certo x₀ aplicando a ele a função "f", eu encontraria aqui um certo valor que eu vou chamar de "y" que é o f(x₀). Se houvesse um outro elemento "x" aqui, ao que aplicando "f" eu chegasse ao mesmo "y", eu iria impedir a invertibilidade de "f", porque eu não tenho mais a situação de unicidade para f(x) = y. Não é possível ter uma função inversa se dois valores diferentes de "x" mapeiam o mesmo valor "y" no contradomínio. Em outras palavras, o fato de existir o único "x" no domínio que satisfaça f(x) = y, nos diz que a função "f" tem que ser uma função injetora ou um a um. A outra parte que temos que estudar é esta aqui. Que para todo "y" do contradomínio, existe um "x" que o mapeia. Se houver um certo "y" aqui, que não é o correspondente de nenhum elemento no domínio, nós quebramos as condições para a invertibilidade. A função não tem inversa. Não tem inversa por quê? Ora, de "y" para "x", para ser uma função, todos os elementos do domínio, veja, de "y" para "x", "y" é o domínio, todos os elementos do domínio têm que ter um correspondente lá no contradomínio. Se este valor aqui não tem um correspondente lá no contradomínio, então, não é possível definir uma função de "y" para "x". Ou seja, "f" não teria inversa. Em outras palavras, para que a função inversa de "f" exista, tendo aqui o domínio e o contradomínio, todos os elementos do domínio têm que encontrar apenas um correspondente no contradomínio. Aqui, por exemplo, assim. Assim, este com este, este com este. Para cada elemento do contradomínio, existe um único "x" que se relaciona com ele. Além disso, nenhum elemento daqui pode ficar sem ter um correspondente, um valor associado, um elemento associado no domínio. Ficando todos os elementos relacionados um a um, e sem ficar elemento que não se relaciona, nós temos condições para obter a função inversa de "f". Então, aqui o fato de que todo "y" tem que se relacionar, nos dá a necessidade, nos coloca a necessidade de que a função "f" é uma função sobrejetora. Função sobrejetora é aquela em que todos os elementos do contradomínio fazem parte do conjunto de imagem. Como neste exemplo aqui. Desta maneira, podemos reunir aquelas informações que fizemos a alguns vídeos atrás, sobre a função inversa, dizendo que uma certa função f(x) em "y" é invertível. É invertível, se e somente se, "f" é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Ou ingetiva e sobrejetiva. Esta é uma maneira bem simples de dizer que, para ser invertível, cada "y" do contradomínio tem que ser correspondente de algum "x", e este "x" tem que ser único para cada "y" do contradomínio. É isso aí, até o próximo vídeo!