Funções sobrejetora (para) e injetora (um-para-um)

RKA4JL - Neste vídeo vamos tratar de algumas terminologias importantes em relação à função e que vão também ajudar no momento de tratar da invertibilidade da função, de uma função. São nomes que provavelmente você já viu ou verá nos seus estudos em matemática e que vamos tratar agora. Vamos supor que temos uma certa função f(x), que é o domínio em y. Vamos representar aqui aquele diagrama que nós já usamos tanto. x é o domínio, y é o conjunto contradomínio, e todos os elementos do domínio têm que encontrar correspondentes no contradomínio. Entretanto, para a função existir, não é necessário que todos os elementos do contradomínio estejam se relacionando. Então se eu tenho um certo elemento no domínio, ao aplicar à função f eu vou encontrar um correspondente no contradomínio. O primeiro termo que eu quero introduzir aqui é o termo sobrejetora ou também sobrejetiva, a função sobrejetora. Uma função é chamada sobrejetora se, para todo elemento, todo y do contradomínio existir um certo x, ou existir x no domínio tal que f(x) seja igual a y. Traduzindo, isso significa que todos os elementos do contradomínio encontram correspondentes no domínio, ou seja, existem elementos do domínio que se relacionam com todos os elementos do contradomínio e isso define uma função sobrejetora ou também conhecida como função sobrejetiva. Para exemplificar vamos supor que eu tenha dois conjuntos, x e y. No conjunto x eu tenho os elementos 1, 2, 3, 4 e 5 e no conjunto y eu tenho os elementos A, B, C e D. Vamos supor que existe uma função que leva os elementos de x para y de modo que aplicando f ao x no valor 1, ou seja, f(1), me leva para A, f(2) me leva para B, 3 é associado com C, f(4) é D e f(5) também é D. Esta função que temos aqui é sobrejetora. Por quê? Porque o contradomínio, para todos os elementos do contradomínio tem algum elemento no domínio que se relaciona com eles, que está associado a eles. Todos os elementos do contradomínio se relacionam. Vamos supor agora uma situação bem parecida, mas que eu tenha em y um certo elemento E que não é mapeado, ou seja, que não tem correspondente nenhum no domínio, ele não é o correspondente de nenhum elemento do domínio. Então esta função que você vê aqui é dita não sobrejetora ou não sobrejetiva. Por quê? Porque tem elemento, existe pelo menos um elemento no contradomínio que não é o correspondente, não está associado a nenhum elemento do domínio. Tem que ficar claro para você que a função sobrejetiva ou sobrejetora é aquela em que todos os elementos do contradomínio são correspondentes de algum elemento, de pelo menos um elemento do domínio, ou seja, ao usar a função em todos os elementos do domínio eu encontro aqui correspondentes do contradomínio de maneira que não fique nenhum sem se relacionar pelo menos uma vez. Pode acontecer de dois elementos do domínio estarem relacionados ao mesmo elemento aqui do contradomínio, mas se todos os elementos do contradomínio são correspondentes de elementos do domínio, então essa função é chamada sobrejetora ou sobrejetiva. Nós podemos também reescrever o que é uma função sobrejetora da seguinte forma: uma função f ser sobrejetora significa que a imagem de f é igual ao contradomínio, neste caso representado por Y maiúsculo. Lembre-se de que a imagem da função é o conjunto de todos os elementos do contradomínio que são correspondentes de elementos do domínio. A imagem de f não precisa coincidir com o contradomínio para que a função esteja bem definida, mas se coincidir, então a função é chamada sobrejetora. Um outro nome utilizado também para a imagem da função é o "range" da função. É a mesma definição, apenas outro nome. Então o range da função tem que ser igual ao contradomínio para que a função seja sobrejetora. Um outro termo que eu quero apresentar a você neste vídeo é o termo injetora. Função injetora. Vamos assumir novamente uma função de x em y em um diagrama em que estaria o domínio x, contradomínio y e queremos estudar quando é que uma função pode ser chamada injetora, também ligada à ideia de 1 a 1. Uma função é injetora quando, para cada elemento do contradomínio, existir no máximo um valor de x, ou um elemento x, no domínio tal que f(x) seja igual a y, ou seja, para os elementos do contradomínio que se relacionam, isto é, aqueles que compõem o conjunto imagem, existe só um x que se relaciona com ele. Por exemplo, eu tenho certo x aqui que se relaciona com esse certo y aqui. Eu tenho um outro x aqui que se relaciona com o outro y aqui. Eu tenho um certo y aqui que não se relaciona. Tenho um outro x aqui que se relaciona com esse y. Cada elemento da imagem (a imagem é o subconjunto do contradomínio que tem os elementos que são correspondentes de alguém no domínio), cada um deles se relaciona com um único elemento do domínio e é isso que define a função injetora, não importando que exista elemento do contradomínio que não se relacione com alguém no domínio porque cada elemento do contradomínio que se relaciona, ou seja, cada elemento da imagem, tem um único correspondente no domínio. Quando uma função não é injetiva, ou injetora, na situação anterior bastaria que existisse um outro elemento de x aqui, por exemplo, que se relacionasse com algum elemento ou que tivesse correspondência em um mesmo elemento de outro, no mesmo correspondente no contradomínio de outro, ou seja, este aqui é a imagem de dois elementos do domínio. Isso faz com que esta função seja não injetora, ou não seja injetora. Veja no outro exemplo que já estava aqui em cima. Este exemplo de função não sobrejetora é uma função injetora? Não é porque temos dois elementos aqui, 4 e 5, que se relacionam com o mesmo elemento da imagem. f(4) é D e f(5) também é D. Então esta função não é injetora. Já não era sobrejetora nem sobrejetiva, também não é injetora nem injetiva. E como poderíamos ter uma função que fosse injetora e sobrejetora ao mesmo tempo? Eu vou retomar a mesma situação. Aqui está. O que precisaria acontecer para que esta função fosse injetora e sobrejetora? O 5, por exemplo, não estaria relacionado com D, mas com E. Com isso temos a situação do 1 a 1 que define a função injetora, porque cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio, ou é correspondente de um único elemento no domínio, e todos os elementos do contradomínio se relacionam, ou seja, todos os elementos da imagem coincidem com o contradomínio. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio, então ela é sobrejetora também. Este exemplo é uma função, é o exemplo de uma função sobrejetora ou sobrejetiva e ao mesmo tempo injetora, ou injetiva. Quando isso acontece, nós dizemos que é uma função bijetora ou bijetiva. Até o próximo vídeo!