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Expressão de uma projeção sobre uma linha como um produto vetorial de matriz

Transcrição de vídeo

o último vídeo nós definimos uma linha l fizemos a definição matemática como sendo a definição sendo multiplicação de escalar ser pelo vetor ver ao que seja um número pertencente ao conjunto dos números reais essa simples definição nos permitiu mostrar o importantíssimo conceito de projeção e mandada linha l então definida é naquele vídeo nós fizemos essa projeção do r2 mas já dizendo que ela pode ser estendida para quaisquer dimensões que sejam necessários então dizer projeção no rn também no vídeo anterior nós definimos uma fórmula de projeção digamos que tenhamos a projeção de um dado vetor x a conhecido na linha l é como sendo a multiplicação aqui xv torches escalar ver onde vive lembrando é o vetor que define a linha l é dividido pelo produto escalar de ver o vetor definição por ele mesmo tudo isso toda essa operação vezes o vetor ver muito bem produto escalar lembrando ele resulta em um escalar o número real então multiplicamos pelo vetor ver obtendo então um vetor que será nossa projeção muito bem é essa fórmula veja só é que nós deixamos no vídeo anterior pense bem aqui no denominador quando eu falo ver escalar ver o produto escalar no fundo com o produto por escalar resulta em escalar se é um vetor escalar ele mesmo o resultado será há o cumprimento desse vetor ao quadrado ou seja o módulo do vetor ver elevado ao quadrado muito bem e o que é que isso nos ajuda pense bem podemos descrever essa forma de maneira mais simplificada veja só xv torches escalar ver sobre o módulo do vetor ver elevado ao quadrado tudo isso vezes o vetor vem repito é o vetor que define a nossa linha até aqui você vai dizer não facilitou muita coisa bom mas se você pensar no vetor vê como sendo um vetor unitário que quer mesmo vetor unitário já vimos alguns vídeos o próprio nome já diz é bastante simples é um vetor cuja dimensão é gráfica com dimensão geométrica é igual um cujo módulo i go muito bem então se o módulo de ver se vê é um vetor unitário essa forma então vai ficar reduzida veja só como vai ficar simples temos x escalar ver vezes o vetor v x escalar verdes colocar um parêntese aqui vezes o vetor ver é porque nós dividimos agora o módulo de ver ao quadrado se vê um vetor unitário esse módulo vai resultar em um então nem preciso mais dividir veja como agente simplifica bastante a fórmula é uma vez que o vetor ver seja um vetor unitário tudo bem eu vou representar que graficamente para que você entenda melhor nós fizemos então no vídeo passado mostramos aqui os seus coordenados a nossa linha l veja só que está indefinida é bom lembrar a gente saber dessa linha para a gente poder definir lá usamos um vetor ver muito bem é muito importante lembra o vetor vê é um vetor não nulo é diferente de zero e digamos aqui que nós não temos certeza que é um vetor unitário então podemos aqui tratar o vetor ver como vetor não unitário digamos então que o módulo do vetor ver seja diferente da unidade isso não vai trazer problemas para a gente porque nós aprendemos você deve lembrar em outros vídeos de como determinar um vetor unitário ou desenhar e aqui um vetor unitário na mesma direção e sentido de um vetor vedado basta você fazer vamos representar o vetor retalho cuoco com o seu tradicional circunflexo você deve lembrar que basta fazer um dividido pelo módulo do vetor v x vezes o vetor ver teremos então um vetor unitário na mesma direção e sentido de ver fazendo isso é simplificar nossa vida porque a nossa linha agora passa a ser definida como a multiplicação do escalar c pelo vetor unitário utao qc seja um número pertencente aos números reais muito bem dessa forma a projeção que nós queremos é muito importante essa definição mais uma vez eu lembro projeção na linha l de um dado vetor x conhecido baseado então no nosso vetor unitário passa essa forma que a gente já mostrou ser a x o produto escalar x escalar o doutor unitário vezes o vetor o muito bem é uma maneira bem mais simples de trabalhar assim como do vídeo anterior nós vamos mostrar exemplos numéricos aqui o vetor ver que define nossa linha será é como mesmos valores do vídeo anterior na horizontal dimensão duas unidades na vertical uma unidade o vetor x mais uma vez terá a dimensão horizontal e co2 e vertical igual a 3 muito bem veja que nós queremos definir o nosso vetor para tanto será importante calcular o módulo do vetor ver cumprimento geométrico é igual a raiz quadrada se deve lembrar de voto de pitágoras raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas então temos dois ao quadrado e mais 11 ao quadrado então temos que o módulo do vetor vez será igual a raiz quadrada de 5 e também se eu quiser saber o vitor o vetor urnas ou se zagueira nossa fórmula o vetor o veja só então ele é segundo o que a gente se lembra um dividido pelo módulo do vetor ver a este 5 que multiplica o vetor ver o papa vetor ver a gente já sabe então é 2 na horizontal e um na vertical fica a seu critério você vai multiplicar ou deixar apenas indicado desta maneira é importante você notar então que o vetor definição da nossa linha desde que não seja um retorno é claro ele pode sempre ser representado por um vetor unitário de mesma direção e sentido e isso vai facilitar bastante transformando a forma que deduzimos no vídeo anterior em uma forma de aplicação bastante é bem mais simples é essa fórmula é uma transformação transformação do rn em rn você pode usar quanto às dimensões quiser embora a gente tenha mostrado apenas duas contudo é se transformar essa projeção a transformação que mostramos aqui é ainda não temos certeza não mostrei ela é realmente uma transformação linear então vamos a lembrar disso transformação transformação linear como é que nós podemos saber isso então transformação linear duas condições que precisam ser seguidas eu vou mostrar elas aqui você digamos que nós queremos fazer projeção projeção na linha l já conhecida da soma vetorial dos vetores a e vetor b é um vetor a mais vetor b uma das a uma das condições para que a transformação seja realmente linear é é se essa projeção da soma dos vetores será igual ser a mesma coisa que é a soma das projeções de cada um dos vetores como é que nós podemos saber isso vamos seguir nossa família aqui digamos que a soma dos vetores a + b então seja representada por um x que na nossa forma então x a x será a soma de um dos vetores a e b a mais b imagine isso então no lugar de x da nossa família a mais b escala o escalar vetor unitário resultado será um escalar ou seja o número tudo isso vezes btc na fórmula verde x colocamos a + b escalar o tudo isso vezes multiplicação simples o vetor o que teremos repito um escalar aqui tudo bem que temos aqui o ou se é um produto escalar então veja aí obedece tem propriedade distributiva podemos fazer o seguinte à la a escalar o então b escalar o vetor b escalar o tudo isso vezes o vetor o mais uma vez então que temos aqui um produto uma soma de produtos escalar o resultado será um escalar e será a multiplicação simples pelo vetor unitário 1 se há uma explicação simples também temos propriedade distributiva então nós o resultado vai ficar a escalar o a primeira parcela que temos a escalar o mais é perdão vezes o vetor o mais de escala o vezes agora não posso fazer sinal porque não é um produto escalar uma explicação simples o vetor o observe bem o que nós temos aqui a escalar o vezes o vetor ué como se a fosse o xis aqui da fórmula é um vetor também então é isso aqui nós podemos mostrar a você que é o que nós esperávamos a projeção nesse caso projeção na linha l do vetor a eac na mesma forma b escalar o que multiplica o vetor o agora projeção na mesma linha l na mesma linha l do vetor de ou seja as a projeção da soma de dois vetores é igual à soma das projeções de cada um dos vetores é a primeira é a primeira condição para que realmente nossa transformação seja uma transformação linear agora vamos verificar a outra condição que será a seguinte a projeção já que a projeção de um escalar vezes um determinado vetor a na linha l é igual a multiplicação de escalar pela projeção do vetor a na mesma linha como é que nós podemos expressar isso aqui então projeção de ser a segunda nossa forma então temos lembre se que um escalar vez um vetor sempre resulta em um vetor vamos colocar no lugar o vetor xii será sea escalar o tudo isso respeitando aqui então x ea lugar de x escalar o vezes o vetor o autoritário apenas pelas propriedades aumentar o espaço para as propriedades do produto escalar nós podemos fazer aqui ser vezes a escalar o tudo isso vezes o vetor o então o que temos aqui exatamente o que nós esperávamos a multiplicação do skal-sp pela projeção já só o átomo lugar de x estão essa é a projeção de x temos aqui a projeção de a projeção do vetor a na linha l e luiz x cse essa segunda condição mostra que realmente a nossa transformação transformação mostrada é uma transformação linear de r n em rn dessa forma sendo linear nós podemos definir transformação com uma transformação matricial vamos organizar as coisas aqui então já sabemos muito bem que a projeção de um vetor x dado em uma linha l é igual o produto escalar desse vetor x escalar pelo vetor unitário que define nossa linha vezes o victor o novamente queremos representar tudo isso como sendo multiplicação da matriz de uma atriz a vezes o vetor uma explicação normal matriz vezes o vento perdão o vetor x vamos ver como isso pode ser feito vamos agora definir então a nossa matriz de transformação e antes de mais nada é claro vamos lembrar nós vamos pra questões de mais clareza vamos de se definir nossa projeção como sendo do r2 em r 2 mas como você bem sabe pode ser estendido quaisquer dimensões que você queira então essa matriz a digamos será então a matriz dois por dois muito bem então vamos pensar que na matriz identidade vou mudar por aqui vamos trabalhar com a matriz identidade dois por dois que você conhece muito bem o 10 e 01 a nossa matriz transformação pra obter essa matriz transformação nós vamos fazer o produtor rural de cada uma das colunas pelo vetor unitário é que nós temos aqui esse vetor unitário também vamos trabalhar com matriz então vamos definir o vetor humanitário assim como as suas dimensões sendo o 11 e 12 muito bem dessa forma vamos ter a nossa matriz transformação vai ser a primeira do show nessa primeira coluna então a primeira coluna uma transformação vai ser a primeira coluna que temos aqui como sendo um vetor veja só 10 o xis que multiplica o nosso vetor unitário já definido um horizontal o2 dimensão vertical tudo isso seguindo a nossa fórmula conhecida tudo isso vezes o vetor unitário mais uma vez o 1 e o2 essa então será a primeira coluna na nossa matriz transformação a segunda coluna vamos mudar a cor aqui então será a segunda coluna da matriz transformação será a segunda coluna segunda coluna da matriz identidade que 01 escalar como se fosse x então escalar o vetor unitário de dimensões conhecidas 11 e 12 claro que aqui estamos tão só de uma fórmula tudo isso vezes o vetor unitário 12 trabalho para escrever o que pra falar a verdade então muito bem e aqui terminar nossa matriz começa aqui né teremos então nossa matriz transformação vamos ver o resultado então como é que faz parece complicar mas não é vou te mostrar que então o que fazemos e se mudar a cor vamos aqui bastante simples 11 vezes um mas 0 vezes o 2 service 20 então temos isso tudo aqui resulta apenas sim o 1 então está aqui o 1 o último tipo pública o nosso vetor unitário 12 sejam as dimensões do vetor unitário e depois temos então a segunda coluna será 0 31 e 0 + 1 vezes o 2 tudo isso então nós transformar em o 2 que multiplica o nosso vetor unitário da segunda coluna da matriz transformação será o 2 vezes as dimensões do vetor etário 1o 2o muito bem então como é que vai ficar na nossa matriz transformação aqui parece complicado apenas mas não é seguro você claro que você precisa tentar fazer trabalhar isso e vai ver como é simples então temos aqui um vezes um primeira linha primeira coluna será o 1 ao quadrado a multiplicação simples não se esqueça de um número 1 a 31 ao quadrado e esse é o elemento da segunda linha primeira coluna será o 112 é tão 1 o 2 1 vezes o 2 a segunda a primeira linha segundo a coluna será o 2 vezes o 1o 2 vezes o 1 eo elemento finalmente da segunda linha segunda coluna será o 2 vezes o 2 ou seja o 2 e levado ao quadrado e teremos então aqui a nossa matriz transformação agora vamos ver como ela fica e para tanto vamos usar o vitor unitário já definido então temos que o nosso vetor o nós tínhamos deixado apenas indicado veja só um sono mais de cinco vezes a componente horizontal teremos dois sobre raízes de 5 e funcionais de cinco vezes um bastante simples vamos lá 1 sobre raios de 5 e se então o nosso vetor unitário vou deixar ele assim vamos ver como fica a nossa matriz transformação então nesse caso a matriz a já só então veja só temos aqui um ao quadrado um é a dimensão horizontal como já foi dito então é uma 32 por 2 1 ao quadrado 2 sobre raios de 5 ao quadrado é 4 sobre 5 ac 1 vezes o 22 aí de cinco vezes 1 e c5 temos dois sobre 52 quintos dois quintos depois temos o 2 vezes mulheres que isso a multiplicação normal então o 2 vezes um é a mesma coisa que um vezes o 2 ou seja novamente temos aqui dois quintos e finalmente a um quinto ao quadrado o2 ao quadrado um quinto ao quadrado um sono mais de 5 quadrado pa tomar cuidado na distração a costuma trabalhar gente com o quadrado em um raio de 5 quadrado é o próprio 5 aqui está nossa matriz a de transformação que nós podemos usar então é sempre que eu tiver um vetor x qualquer posso usar essa matriz a para fazer a transformação e determinar projeção de x sobre a linha l definida vamos lembrar pelo vetor unitário hur que nesse exemplo tem os valores componentes horizontal e vertical dessa forma vamos definir a nossa projeção hoje e são joão dado vetor x o vetor que a gente precisar vetor x na linha l sendo essa linha l nos lembramos bem definida pela multiplicação escalar ser o vetor unitário o tal que ser pertencer valor pertencente ao conjunto dos números reais neste caso então tendo este vetor você pode em outros trabalhos é produzir determinar seu próprio futuro unitário e também determinar a matriz de transformação facilmente viu aqui nesse caso temos a matriz quatro quintos 2 500 ac segunda com lança novamente dois quintos e finalmente um quinto segunda linha segunda coluna vezes o vetor x que você precise desde o qual você precisa determinar sua projeção sobre a linha l dessa forma veja que nós simplificamos bastante a nossa fórmula apenas usando essa matriz de transformação multiplicada pelo vetor x