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Transcrição de vídeo

nesse vídeo nós vamos ver o conceito de projeção de um vetor em uma direção determinada para tanto nós vamos usar claro um sistema cartesiano sistema em duas dimensões é claro vamos desenhar uma linha desenhar essa direção vamos sendo aqui o esboço de uma linha reta imagine que se prolongue infinitamente para ambos os lados e passa pela origem é interessante definir essa linha matematicamente para tanto nós vamos aqui começar com a definição de um vetor verde campos que é conhecido o vetor em duas dimensões mas você pode pensar em quanto às dimensões quiser aqui há agora com o vetor ver vamos definir a linha vamos chamá-la de linha l e matematicamente definida como sendo um conjunto de pontos é que é a para isso tem o escalar ser vezes o vetor verdes calaram número então dizer tal que c seja um número pertencente ao conjunto dos números reais ok muito bem se c foi um número positivo o vetor ver se prolonga na direção indicada a quantas vezes necessário se negativo na direção oposta se ser for menor que 1 a linha l será menor que o vetor ver e tanto no sentido como o outro e agora então vamos definir um outro vetor vetor x anão paralela ver muito bem chamá-lo de vetor x muito bem que está digamos que eu quero saber a projeção desse vetor é o que esse vídeo vai contar na linha ver na linha definida na linha é definida pelo vetor ver projeção de x então o que vem a ser isso eu vou mostrar um conceito intuitivo da projeção imagine que aqui nós temos raios de luz que incidem aires de luz aqui toda a direção que incidem na direção perpendicular à linha l ok são 90 graus com a linha l então o que vai acontecer digamos que o vetor x tem uma sombra que segue essa linha 90 graus então perpendicular à linha l mostrar essas sombra de x já está aqui por uma linha também vermelha essa é a sombra de x essa sombra na verdade podemos dizer vamos definir lac o xodó um nome pra ela é a projeção de x projeção de xis na linha l muito bem então é isso pra gente fazer uma definição matemática então da nossa projeção projeção de x na linha l então intuitivamente você pode pensar como sendo uma sombra vetores na verdade não tem sombra mas a gente pode pensar assim pelo menos pra começar a conversar sombra do vetor x projetada então na nossa linha na linha definida como sendo l ok vamos lá então é é é claro um conceito intuitivo nós temos que fazer uma definição matemática que vai ser usada aí em vários trabalhos nós aqui na geometria analítica e álgebra linear em física muitas vezes nós precisamos temos uma força na direção de l mas era exercida na direção do vetor x então como é que nós temos que trabalhar isso vamos pensar aí matematicamente eu vou definir um outro vetor segunda linha da sombra isso vai nos ajudar bastante esse vetor já só é ps bem é só a soma de thoreau da projeção com o vetor verde vai resultar no vetor x de modo então que o vetor verde matematicamente nós colocamos aqui que esse vetor será definido como xis aqui é o resultado da soma vetorial - a projeção está definido vermelho em baixo a projeção do vetor x na linha l assim será definido o nosso vetor vetor verde que vai ser bastante necessário na nossa definição matemática vamos escrever sempre importante x - a projeção de x a projeção de xis na linha l ok o nosso vetor zinho como é que vamos fazer ele é verdade definimos ele como um vetor repito pra gente conseguir trabalhar matematicamente vetor ortogonal quero que você se acostume com esse nome o que significa ortogonal podemos pensar e ele é perpendicular à linha l é o ângulo de 90 graus ele é perpendicular à a linha l é a linha da projeção projeção de x instalar a definir em vermelho tão x - a projeção de x é um vetor ortogonal essa projeção isso vai permitir que a gente trabalhe faça uma definição formal matematicamente for mal então da nossa projeção ficar só pensando em sombra para isso vamos usar o produto escalar ok vamos escrever aqui em baixo veja só x - a projeção de xps bem essa projeção de projeção nós vamos escrever agora c o escalar c vezes o vetor v vimos que assim nós definimos aquela linha a linha l que é o multiplicação de ser por v x - a projeção ok a gente representou por ser ver se escalar como são peculiares então escalar ao vetor ver não temos o vetor verde na perpendicular haver fazemos o produto escalar não confundo com o produto por escalar o que ela vai ter resultado zero porque são vetores pp índico lares e vetores ortogonais então o produto escalar sempre resulta zero como temos vetores ortogonais setores perpendiculares à ses produtos caála que tem propriedade distributiva então posso fazer x escalar v - cv escalar ver o que se vê é um produto por escalar aqui temos um produto escalar mesmo resultado igual a zero simplesmente eu apliquei propriedade distributiva vamos lá x escalar ver eu vou agora somar 6 calar ver em ambos os lados então fica igual 6 calar ver cv perdão escalar vê igual à x escalar ver muito bem nós queremos isolar a letra c que isso é importante para a gente definir a projeção nós queremos repito a definição matemática da projeção basta determinar o valor de c então temos lá dividindo os dois lados por vez calar ver temos x escalar v dividimos ambos os lados por vez que ela vê está aqui / v escalar ver muito bem com isso nós conseguimos usou é o valor de ser o valor real do de escalar c que é fundamental para que nós possamos definir projeção que nós queremos aqui conhecendo repito vetor ver e o vetor x então podemos sistematizar e já só vamos ter a nossa projeção e deixa eu ver aqui onde eu vou escrever que está projeção o que nós queríamos a projeção de xis na direção de l é igual veja só sabemos que é igual a instalar-se vezes é multiplicado então produto por escalar o pa mesmo vai ser melhor escalar c * ver pelo vetor ver então aqui nós definimos a nossa projeção só que agora nós temos a a fórmula 1 então temos aí um jeito matemático de calcular o valor valor real do vetor cerquei valor numérico então de valor e escalar x escalar ver / v escalar ver esse é o valor de ser que multiplica o vetor ver que é conhecido e isso pode assustar um pouco mas agora eu vou mostrar um exemplo numérico é a gente conhece o vetor ver conhece o vetor x e claro com um exemplo numérico vai ficar um pouco mais fácil de você chegar entender todas essas letrinhas que estão por aí então digamos que a letra l será o valor desse ainda não sabemos é o vetor ver como eu disse é conhecido então digamos aí que o vetor ver veja só fazer a apresentação coluna vetor vez seja dimensão 2 na horizontal uma vertical e como defendido é importante lembrar c é um número real não sabemos ainda que número que é vamos ser quebrado pode ser grande pequeno negativo vamos dar uma olhada nisso e temos também define o vetor x como eu disse no começo é um vetor conhecido que conhecemos ver e conhecemos x então vetor x ac claro representar em duas dimensões mas vejo que é analiticamente nós podemos trabalhar quanto às dimensões nós precisamos eu to x digamos dimensão 2 na horizontal 3 na vertical esse é o nosso vetor x e vamos agora aplicar o que a gente já sabe para determinar o valor de ser que aí vai possibilitar que nós tenhamos matematicamente a projeção necessária gestão que nós queremos então aqui estão os eixos coordenados mais uma vez um sistema cartesiano dar mais ênfase é claro na parte positiva ok os dois vetores têm valores positivos então vamos lá vou torcer vetor ver é 2 na horizontal um apenas na vertical definir vamos desenhar e o vetor e então vai ser a definição geométrica de vida fica mais fácil de chegar sim é verdade então esse é o nosso vetor ver de dimensões conhecidas ok é nesse vetor esse vetor que define as linhas que nós queremos usar digamos que a gente precisa transportar uma força por essa linha problema muito comum na física mas só podemos a instável e por ver é mais enfatizado nós só podemos exercer essa força na direção de x em x tem três na vertical 2 no horizontal já estava definido dimensão vertical 3 vamos lá e vai ser extremidade do vetor x começa também na origem que está o nosso vetor x vitor no qual temos que pôr exemplo exercer uma força acontece muito na física muito bem eu quero saber projeção de che saber matematicamente a projeção nessa linha definida pelo vetor ver muito bem não posso pensar agora em conceito simplesmente de sombra vamos fazer as contas usando a forma que a gente desenvolveu na projeção de x na linha l na linha do vetor ver ou na nossa linha de ação por assim dizer a projeção de x será vamos usar nossa forma aqui dá um pouco de trabalho mas é relativamente fácil como você vai ver projeção de x então será a divisão a vetor x começar e é pela nação coluna do vetor x vetor x tem dimensão 2 e 3 que o vetor x escalar produto escalar a vetor ver agora os as dimensões você já sabe são dois na horizontal uma vertical então x escalar ver sobre ver escalar ver oque é um produto escalar repito então 2 e 12 na horizontal ou na vertical mais uma vez o vetor v2 e um ok isso será o valor de ser agora esse o estado vai multiplicar não podemos esquecer a esquecendo aqui do vetor ver vitor vê representado então analiticamente suas coordenadas horizontal 2 vertical 1 unidade muito bem então agora como fazer essa conta veja só é bastante simples veja só fazemos 2 vezes 24 três vezes 134 mais 322 4 3 vezes 134 mais 37 muito bem 22 41 vezes 114 mais um igual aos 57 quintos que multiplica então o vetor ver suas coordenadas 2 e uns fazer isso na próxima etapa em colocar aqui mais abaixo isso aqui vai resultar jogamos igual é bastante se vão trabalhar com fração a princípio 7 507 quintos vezes 2 na horizontal teremos 14 sobre 5 14 5º soc em 7 500 vezes um é pura e simplesmente 7 quintos muito bem então os valores fracionários das componentes mas fica difícil que a gente pensar para representar graficamente então vamos usar os valores desse mais 14 / 5 resulta em 2,87 / 5 resulta 1,4 muito importante treinar multiplicação aí de cabeça por cinco bastante motivação divisão a1 de 2,8 daqui o 3218 um pouquinho antes 1,4 temos um e mail 1,4 um pouco mais embaixo podemos aqui fazemos bolso das coordenadas então na extremidade do vetor que será a projeção de x né a gente está falando à sombra de x desenhar peraí desenhar a cor branca pra ficar mais evidente então aqui temos a projeção de xis na linha é linha definida pelo vetor v lá portante escrever projeção de x projeção do vetor x na linha l está então matematicamente definida e graficamente para ficar bem entendido lembrando que pode ser é pensado para quaisquer dimensões