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Exemplos de transformação linear: rotações em R2

Exemplos de transformação linear: rotações em R2. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

RKA8JV - Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? O que a gente vai tentar fazer aqui é definir uma transformação linear chamada rotação. O que essa transformação linear faz é rotacionar determinado vetor θ graus, ok? Então, vai ser uma transformaçãozinha que associa vetores do R² a vetores no R². E o que ela faz? Eu aplicar a mesma rotação em um vetorzinho "x", o que vai acontecer é que eu vou rotacionar o vetor "x" θ graus no sentido anti-horário. Ok? Apliquei a rotação do vetor "x", a gente rotaciona θ graus no sentido anti-horário. Vamos, então, tentar criar uma ferramenta que faça essa operação para a gente, e principalmente, vamos tentar ter certeza que essa ferramenta vai ser uma transformação linear, ou seja, tem que obedecer aquelas leis que a gente viu que toda transformação linear obedece. Bom, deixe-me, primeiramente, te convencer visualmente que a gente pode fazer uma transformação linear com essa propriedade. Então, primeiro vamos criar um plano ortogonal e um eixo horizontal, o eixo vertical. Vamos falar que este aqui é o meu eixo x₁, que é o eixo da primeira coordenada do vetor, e esse é o eixo x₂, o eixo da segunda coordenada do vetor. Digamos que eu tenha aqui um vetorzinho. Este aqui é o meu vetor "x". Este vetorzinho "x" aqui, se eu aplicar uma rotação, vai ficar mais ou menos uma coisa assim, ou seja, aqui vai ser uma abertura de θ graus, e este meu vetorzinho azul vai ser eu a imagem do meu "x" quando eu aplico a rotação, Agora vamos verificar se isso aqui é mesmo uma transformação linear. Para isso, ele tem duas regrinhas, duas condições que ela tem que obedecer. A primeira condição que essa rotação vai ter que obedecer é, que se eu pegar a rotação da soma de dois vetores, isso tem que ser equivalente a eu rotacioná-los individualmente, rotacionar "x" e rotacionar ''y" e depois somar né Lembrando, aqui é uma rotação de θ graus. Vou tentar mostrar para você visualmente aqui que esta propriedadezinha funciona. Vamos lá, digamos que o meu vetorzinho ''y", este vetorzinho aqui, este aqui é o "y". E o que vai ser "x + y"? Vamos lembrar aquela regrinha do paralelogramo? Eu transporto este carinha para cá, fazendo um paralelogramo, e o vetor resultante vai ser juntar o traseiro desse com a cabeça deste, não é? Olha aqui. Então, vai ser algo mais ou menos assim. Portanto este aqui, é meu vetorzinho "x + y". Se eu rotacionar este cara θ graus, vai ficar algo mais ou menos aqui. Esta aqui é a minha rotação "x + y" por um ângulo θ, este rapazinho aqui. Vamos ver agora o que acontece se eu rotacioná-los individualmente e depois somá-los. Rotação do "x" eu já tenho aqui. Vamos rotacionar o "y". Vai ser alguma coisa mais ou menos aqui. Agora, a regrinha do paralelogramo é pegar este, transportar aqui para cima. É claro que estou roubando um pouquinho aqui, né, porque eu não fiz usando régua e transferidor, mas deu para pegar a ideia, né? E quando eu somo estes dois, a rotação do "x" e a rotação do "y", eu acabo obtendo o mesmo vetorzinho que se eu fizesse a soma antes. Então a primeira condição está satisfeita. Vamos para a segunda condição. Qual era mesmo? A nossa segunda condição diz que se eu pegar a rotação de um vetor "x" multiplicado por um escalar, é a mesma coisa que rotacionar o vetor primeiro e aí então eu multiplicar pelo escalar, esse resultado da rotação, certo? Lembrando que a rotação é de um ângulo θ. Então, vou tentar mostrar de forma visual este aqui também. Vou fazer aqui o eixo, o eixo vertical, o eixo horizontal, x₁, x₂. Para pegar de exemplo aqui, a gente tem o nosso vetorzinho "x". Vamos anotar. Este é o "x". E o que seria o "x'' vezes um escalar? Seria o mesmo vetor, só que um pouquinho maior ou um pouquinho melhor. Vou desenhar ele um pouquinho maior aqui. Então, se eu pegar e vier do zero até esta parte verde aqui, eu tenho o "c" vezes "x". Bom, agora, se eu aplicar uma rotação de θ, vamos lá, digamos que eu vou rotacionar θ graus, e eu vou acabar tendo um vetor mais ou menos assim. Bem aqui são θ graus, rotacionado no sentido anti-horário. No final das contas, o que a gente tem aqui é o resultado de uma rotação de θ graus de "c" multiplicado o vetorzinho θ. Mas o que será que acontece se eu aplicar a rotação no "x" antes? Bom, se eu aplicar primeiro a rotação, eu vou acabar com este vetorzinho aqui. Então aqui a gente tem rotação em relação ao ângulo θ do meu vetor "x". E agora, a gente vai multiplicar isso por "c". Mas veja só. Se quando eu multiplico este carinha por "c", ele vem para cá, quando eu multiplicar esse rapaz aqui por "c", ele vai crescer o mesmo tanto. Então se eles caem no mesmo vetorzinho, pelo menos de forma visual, eu mostrei para você que essa condição também está satisfeita. Portanto a gente conclui aqui, que a rotação, de fato, é uma transformação linear, pelo menos a rotação da maneira que a gente está vendo aqui. Bom, agora vamos construir, de fato, uma matriz que vai fazer essa rotação para a gente. Vamos construir uma chamada matriz de rotação que vai representar essa transformação linear. Bom, então, o que eu tenho aqui é uma rotação, uma rotação de θ de um ângulo "x", que a gente sabe que pode ser mostrada por uma matriz "A" multiplicada pelo meu vetorzinho "x". E essa matriz "A" é uma matriz 2x2. Por quê? Porque meu contradomínio é 2 e o meu domínio é 2. Bom, novamente, eu posso representar a rotação como um produto de uma matriz por um vetor porque pelo menos visualmente, eu mostrei para você que isso é uma transformação linear. E como que a gente fazia mesmo para construir essa matriz "A"? A gente partia da identidade. Então, vou pegar aqui a identidade 2x2, que a gente sabe que é a matriz [1, 0, 0, 1], certo? Lembrando que estes 2 vetores são as bases canônicas do R², chamamos até este vetorzinho de e₁ e esse vetorzinho de e₂, base canônica do R². E agora, para descobrir quem é a minha "A", eu simplesmente vou fazer a transformação em cada uma dessas duas colunas. Então, vamos anotar esse negocinho aí. Nossa matrizinha "A", então, vai ser o quê? Vai ser a rotação do ângulo θ aplicada ao meu vetorzinho [1, 0], esta vai ser a primeira coluna da matriz "A", e segunda coluna vai ser o resultado da aplicação dessa mesma rotação de ângulo θ aplicado no vetorzinho [0, 1]. E assim a gente fecha a nossa matrizinha "A". Bom, mas por enquanto está muito obscuro. Mesmo sabendo que eu tenho que aplicar a minha rotação nesses vetorzinhos, eu ainda não tenho muito com o que trabalhar. Então, vamos tentar fazer algum esboço, algum desenho, para ver o que a gente consegue achar. Aqui vamos desenhar nosso plano, nosso plano cartesiano, certo? Aqui é o meu x₁, aqui é o eixo do x₂. Bom, e onde estariam representados aqui os nossos vetorzinhos e₁ e e₂? Bom, digamos que aqui é o 1, o nosso e₁ iria está representado aqui. Já o e₂, se aqui for 1, o e₂ vai estar muito bem representado aqui, certo? Bom, agora vamos aplicar a rotação. Se eu rotacionar o nosso vetorzinho e₁ aqui, ele vai ser algo mais ou menos assim. Ainda vai ser um vetor de comprimento 1, de módulo 1, só que ele vai estar aqui rotacionado θ graus. Portanto, o que a gente tem aqui é uma rotação de θ graus de e₁. Opa, aqui eu esqueci de falar que este aqui é o e₁. Esqueci também de avisar que este é o e₂. Ok, mas quais serão as coordenadas desta posição aqui? Como que a gente vai poder chamar este vetor de posição? Para descobrir isso, eu vou ter que apelar para a nossa amiga trigonometria, porque se a gente for ver, quando a gente projeta a pontinha aqui, eu vou ter que este tamanhozinho em verde aqui vai ser a posição x₁ do meu vetor depois da rotação, né? Se a gente fizer aqui um triângulo retângulo, este tamanho que eu estou procurando da posição x₁ vai ser justamente o cateto adjacente do ângulo θ. Lembrou? Tem o ângulo θ, este aqui é o cateto adjacente, o triângulo é retângulo, o tamanho da hipotenusa é 1, porque é justamente o mesmo tamanho deste vetorzinho rosa, e a gente sabe que se eu pegar o cateto adjacente e dividir pela hipotenusa, que no nosso caso vale 1, o resultado é o cosθ. Para quem não lembra, a gente até tinha feito uma mnemônica para isso, que era o "soh cah toa". Essa parte é justamente o "cah" do "soh cah toa", cosseno é adjacente dividido pela hipotenusa. Olha só pessoal. Portanto, se o "A" aqui é justamente a coordenada x₁ do nosso vetor rotacionado, e a gente viu que o "A" é igual ao cosθ, afinal, "A" dividido por 1 é "A", então, a coordenada horizontal ou a coordenada x₁ é justamente o cosseno do ângulo θ que eu quero rotacionar. Ok, agora a coordenada x₂. O que vai acontecer com a coordenada x₂? A coordenada x₂ vai ser este pedacinho aqui, que tem justamente esse comprimento. E este comprimento agora em vermelho é oposto ao meu ângulo θ, justamente então o cateto oposto. Lembrando que cateto oposto dividido pela hipotenusa, a gente tem seno, também do "soh cah toa". Seno é oposto por hipotenusa. Como o oposto vai estar dividido por 1, no nosso caso aqui, o cateto oposto vai ser justamente o senθ. Então, a nossa componente x₂ vai ser justamente o senθ. Então, quando eu rotaciono a base e₁ por um ângulo θ, as novas coordenadas vão ser cosθ e senθ. Ok, agora vamos rotacionar o e₂. Quando eu rotaciono o e₂, eu vou ter algo mais ou menos aqui. Este ângulozinho é θ. Esse ângulo é o θ, e vamos para as coordenadas deste vetor de posição, certo? Para ficar bem claro, eu vou escrever aqui, "rotação do nosso e₂ de um ângulo θ". O que vai acontecer? Olha, a coordenada x₁, a coordenada horizontal, está aqui. Se a gente enxergar isso como um triângulo retângulo, usando a mesma técnica, eu tenho que essa coordenada é igual a este pedaço aqui, ou seja, o cateto oposto do meu ângulo θ, porém, com um sinal negativo, porque eu estou à esquerda. É o tamanho desse cateto, mas com sinal negativo, porque eu estou, justamente, à esquerda do meu eixo x₂. Do "soh cah toa" né, quando eu tenho oposto pela hipotenusa, a minha função é seno. Então, o que eu tenho aqui na coordenada x₁ vai ser o senθ, e lembrando que o sinal é trocado, então -senθ. E o que vai acontecer com a outra coordenada? Vamos lá. Agora eu quero a coordenada x₂, que vai ser este pedaço aqui. Este pedaço vai ser adjacente ao meu ângulo θ e adjacente pela hipotenusa, lembrando que nossa hipotenusa vale 1, adjacente pela hipotenusa é cosseno. Portanto, aqui é cosθ. Neste caso, eu não mudo o sinal, porque está aqui para cima. Voltando aqui para a nossa matrizinha "A", afinal é para isso que a gente está pensando nessas coisas todas. Nossa matrizinha "A" vai ser constituída pelo seguinte: a primeira coluna é a rotação aplicada no meu e₁. E o que a gente viu que vai acontecer? É ficar o cosθ e senθ, certo? O que vai acontecer quando eu aplico na e₂? Na e₂ vai ficar -senθ e aqui embaixo, cosθ. Pronto, construímos nossa matriz "A" que a gente tanto queria. E este aqui é um resultado e tanto, pessoal, porque olha só, agora, a gente consegue descrever matematicamente a nossa rotação de um vetor, usando, simplesmente, uma matrizinha. Olha só pessoal que interessante. Agora então, a gente pode falar o seguinte: a nossa rotação de um ângulo θ, no sentido anti-horário é uma transformação linear que tem como domínio, no nosso caso, o R², contradomínio o R², e ela pode ser representada, rotação de θ em um vetorzinho "x", por, a nossa matriz "A" [cosθ, senθ] menos [senθ, cos θ] que multiplica as coordenadas x₁, x₂ do nosso vetorzinho "x" que a gente quiser rotacionar. Não é uma maravilha? E aí você vai me dizer: é uma maravilha, sim, você fez toda essa trabalheira para mostrar essas coisas bonitas para a gente, mas como eu aplico isso? Ainda tem esse monte de cosseno e seno por aí e tal. Bom, vamos ver um exemplinho para você ficar mais satisfeito, para as coisas ficarem mais claras na sua cabeça. Porque, se você está com medo desses cossenos e senos aqui, quando você souber o ângulo que você quer rotacionar, esse negócio vai desaparecer, esta matriz vai ficar numérica. Afinal, digamos que eu quero fazer aqui uma rotação de 45° no nosso vetorzinho "x". O que vai acontecer aqui? Eu vou trocar o θ por 45° e o que vai me resultar vai ser cos(45°), que é √2/2, sen(45°), também é a raiz de √2/2, menos sen(45°). Se o seno é √2/2, quando eu inverto o sinal, fica -√2/2 aqui e cos(45°), √2/2 novamente. E eu pego esta minha matrizinha e multiplico pelo meu vetor "x". Tentando deixar isso mais claro ainda, se eu tivesse aqui o meu R². Aqui está o R², certo? E aqui eu tivesse um quadradinho no meu R². Está aqui um quadradinho desenhado no R². Se eu aplicar essa transformação dos pontos, que desenham esse quadradinho, o nosso resultado vai ser o seguinte: aqui vai estar o meu contradomínio né, que também é o R². Deixe-me desenhar aqui o que seria 45°. Bom, então o que aconteceria aqui? Seria este quadradinho girado esses 45°. Seria esse meu quadradinho aqui. É basicamente pegar os os vértices e rotacionar, igual a gente fez nos triângulos naqueles vídeos passados. E vejam que se você for por exemplo, escrever um programa de um jogo, por exemplo, um jogo de um Pinball, que a bolinha fica indo para lá e para cá, rotacionar um objeto é algo realmente muito útil e se ela for feito de um jeito resumido, igual a gente acabou de fazer aqui, isso vai ter uma ajuda tamanha para você, que você não faz ideia. Teve uma vez que eu fui tentar fazer isso sem usar as matrizes e eu tive que escrever muitas linhas de programação para conseguir o resultado que eu queria. Depois que eu aprendi a trabalhar com esta matrizinha aqui, ficou tudo muito mais fácil. Só para ficar mais claro ainda para você. Digamos que eu tenha aqui este vértice do meu quadradinho, e aqui está o vetor que o descreve. Eu aplico a minha transformação, aplico a minha rotação de 45° e esse vetorzinho é transformado neste aqui, este pontinho associado a esse pontinho aqui. E a mesma coisa eu vou fazer com todos os vértices. Eu tenho este vetor, que quando eu aplico a transformação, ele acaba girando para este vetor aqui. No final das contas, se eu pegar este vértice aqui, quando eu rotaciono, ele é associado a esse vértice aqui. Espero que você tenha achado tão bonito quanto eu acho essa coisa toda de ter uma matriz, que quando eu faço um produto ela já rotaciona o negócio do ângulo que eu quiser. E o legal é que a gente vai conseguir expandir este resultado para mais dimensões. Se a gente fosse fazer sem a ajuda de matriz, por exemplo, um vetor em 3 dimensões, que é uma coordenada a mais, são contas a mais, é mais trabalho, com a nossa matrizinha de transformação, isso também vai ficar mais fácil, mais simples. Vamos nos próximos vídeos, então, expandir esse nosso conceito e ver como que funciona, por exemplo, em três dimensões, as nossas rotações. Ok, pessoal, muito obrigado, e até o próximo vídeo!