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Exemplos de transformação linear: rotações em R2

Transcrição de vídeo

olá pessoal prontos para mais um vídeo o que a gente vai tentar fazer aqui é definir uma transformação linear chamada rotação e o que essa transformação na faceco rotacionar determinado vetor peta graus quem não vai ser uma transformação zinha que associa a vetores do r2 a vetores do r2 eo que ela faz eu aplicar a mesma rotação no vetor zinho x o que vai acontecer é que eu vou rotacionar rotacionar o vetor x o vetor x petra graus no sentido anti horário ok apliquei a rotação do vetor x agente rotaciona téta graus no sentido anti horário vamos então aqui tentar criar uma ferramenta que faça essa operação pra gente e principalmente vamos tentar ter certeza que essa ferramenta vai ser uma transformação linear ou seja tem que obedecer aquelas leizinhas que a gente viu que toda transformação linear obedece ou deixa primeiramente aqui te convencer visualmente que a gente pode fazer uma transformação linear com essa propriedade então primeiro vamos criar aqui um plano ortogonal e um eixo horizontal o eixo vertical vamos falar que esse aqui é o meu eixo x 1 que é o eixo da primeira coordenada do vetor e esse é o eixo x 2 o eixo da segunda coordenada do vetor digamos que eu tenho aqui um vetor zinho né aqui é o meu ver torches e esse atorzinho x ac seu aplicar uma rotação e vai ficar mais ou menos uma coisa assim ou seja aqui vai ser a uma abertura detecta graus e esse é o vetor zinho azul vai ser eu a imagem do meu x quando eu aplico a rotação né agora vamos verificar se isso aqui é mesmo uma troca formação linear para isso ele tem duas regrinhas né duas condições que ela tem que obedecer e a primeira condição que essa rotação vai ter que obedecer é que se eu pegar a rotação da soma de dois vetores isso tem que ser equivalente à euro rotacionar los individualmente rotacionar x e rotacionar y e depois o mané lembrando aqui é uma rotação detetada graus vou tentar mostrar pra você visualmente aqui que essa propriedade vizinha funciona vamos lá digamos que o meu vetor zinho y este vetor é assim aqui eu acho que é o y yo que vai ser x mais y vamos lembrar aquela regra do para lograrmos eu transportes carinho pra cá fazendo um para o programa e o vetor resultante vai se juntar o trazer nenhum desse com a cabecinha de si não é que então vai ser algo mais ou menos assim portanto este aqui é meu vetor zinho x mais y esse rotacionar esse cara tá graus é ficar algo mais ou menos aqui ó essa aqui é a minha rotação x mais y por um ângulo é esse rapazinho aqui e vamos ver agora que acontece o racional os individualmente e depois somá-los rotação do xingu já tem aqui vamos rotacionar o y vai ser alguma coisa mais ou menos aqui agora a regra do pará lo grama é pegar esse transportar aqui pra cima claro que estou roubando um pouquinho aqui né porque eu não fiz são régua e transferidor mas deu pra pegar a idéia é né e quando eu somo esses dois na rotação do x a rotação do itaú acaba obtendo o mesmo vetor zinho que se eu fizesse a soma antes só que então a primeira condição tá satisfeita vamos para a segunda condição qual que era mesmo a nossa segunda condição disse que se eu pegar a rotação de um vetor x 1 escalar é a mesma coisa que rotacional vetor primeiro a acionar o vetor e aí então eu multiplicar pelo escalar esse resultado a rotação certo lembrando que a rotação é de um ângulo teto não vou tentar mostrar de forma visual esse aqui também vou fazer aqui o eixo é o eixo vertical o eixo horizontal x 1 x 2 a pegar o exemplo aqui a gente tem o nosso motorzinho x né vamos anotar esse é o xis e o que seria o xv sun escalar seria o mesmo vetor só que um pouquinho maior um pouquinho melhor né vou desenhar um pouquinho maior aqui ó então se eu pegar e vim do zero até essa parte verde aqui eu tenho cv zes x bom agora se eu aplicar uma rotação detecta né vamos lá digamos que eu vou acionar a seta graus eu vou acabar tendo um vetor mais ou menos assim quem aqui são tetra graus na rotacionado no sentido anti horário e no final das contas o que a gente tem aqui é o resultado de uma rotação detecta graus de ser multiplicado vetor zinho teto mas o que será que acontece eu aplicar a rotação x antes não se eu aplicar a primeira rotação avocava com esse vetor zinho aqui então aqui a gente tem rotação em relação ao teto do meu vetor x e agora a gente vai multiplicar isso por ser mas veja só se quando multiplicou esse carinha por si ele vem pra cá quando helmut ficar esse rapaz aqui pois ele vai crescer o mesmo tanto então se eles caem no mesmo vetor zinho pelo menos de forma visual eu mostrei pra você que essa condição também em três sets e portanto a gente conclui aqui que a rotação de fato uma transformação linear - a votação da maneira que a gente está vendo aqui agora vamos construir de fato uma matriz que vai fazer essa votação pra gente e vamos construir uma chamada matriz de rotação que vai representar a transformação dele é bom então que eu tenho aqui é uma rotação né uma rotação de teto de um ângulo x que a gente sabe que pode ser mostrada por uma matriz a multiplicada pelo meu vetor zinho x e essa matrizaria uma matriz 2002 porque porque meu contra o domínio 2 e meu domínio 2 bom novamente posso representar a rotação como um produto de uma matriz um vetor porque pelo menos visualmente eu mostrei pra você que isso é uma transformação linear e como que a gente fazia mesmo a construir essa matriz a gente partir da identidade então vou esperar que a identidade 2002 que a gente sabe que é a matriz 10 017 on lembrando que esses dois setores são as bases canônicas do r2 né chamamos até este vetor zink de1 e esse vetor zinho de e dois rapazes canônica do r2 que agora para descobrir quem é a minha eu simplesmente vou fazer a transformação em cada uma dessas duas colunas então vamos anotar esse negócio aí né nossa matriz em a então vai ser o que é mas se a rotação do ângulo teto aplicada no meu vetor zinho 10 essa é a primeira coluna dramatiza ea segunda coluna vai ser o resultado da aplicação dessa mesma rotação de ângulo teta aplicado no vetor zinho 01 e assim a gente fecha nossa um atrizinha john rees por enquanto está muito obscuro mesmo sabendo que eu tenho que aplicar a minha rotação nesses setores vizinhos eu ainda não tenho muito o que trabalhar então vamos tentar é fazer algum esboço um desenho pra ver que a gente consegue achar aqui vamos desenhar nosso plano é o plano cartesiano certo aqui é o meu x 1 aqui é o eixo do x2 bom que onde estarão representados aqui nosso vetor zinhos é um e dois digamos que aqui o 1 o nosso 11 está representado aqui já o e 2 se aqui foi um dos dois vai tá muito bem representado aqui sérgio bom agora vamos aplicar a rotação se rotacionar o nosso vetor zinho e um aqui ele vai ser algo mais ou menos assim né ainda vai ser um vetor de cumprimento um de módulo 1 só que ele vai estar aqui rotacionado peta graus portanto que a gente tem aqui uma rotação detecta graus de eu opa que se de falar que esse aqui é um se também de avisar que este é o e dois aqui mas quais serão as coordenadas dessa posição aqui como que a gente vai poder chamar esse vetor de posição para descobrir isso eu vou ter que apelar para a nossa amiga trigonometria né porque se a gente for ver o quanto a gente projeta a pontinha aqui eu vou ter que esse tamanho em verde aqui vai ser a posição x 1 do meu vetor depois da votação né se a gente fizer aqui um triângulo retângulo esse tamanho que eu estou procurando da posição x 1 ec justamente o cateto adjacente do ângulo teta lembrou ontem o ângulo teto esse é que é o capeta já sente o triângulo retângulo o tamanho da hipotenusa é um porque é justamente o mesmo tamanho do setor zinho rosa ea gente sabe que se eu pegar o cateto adjacente e dividir pela hipotenusa que no nosso caso vale um resultado é o cosseno de teta pra quem não lembra nem a gente até tinha feito uma mini mônica para isso que é o só quattor essa parte é justamente o ca do só catonné cosseno é adjacente dividido pela hipotenusa olha só pessoal portanto se o aac é justamente a coordenadora x 1 do nosso vetor rotacionado né ea gente viu que o a fé é igual com 170 final a / 1 é a então a coordenada horizontal o coordenador x1 é justamente o cosseno do ângulo teta que eu quero condicionar aqui agora coordenada x 2 que vai acontecer com a coordenação entre os dois há coordenadas dos dois vai ser esse pedacinho aqui que tem justamente esse cumprimento aqui e esse cumprimento aqui agora em vermelho é oposto ao meu ângulo teta justamente um cateto oposto lembrando que cateto oposto dividido pela hipotenusa a gente tem oceano é também dou só à toa é seno é o posto por hipotenusa como o posto vai estar dividido por 11 no nosso caso aqui nós cateto o posto vai ser justamente oceano de teta então né a nossa componente x 2 vai ser justamente os e no de teta então quando eu votasse onu a base em um por um ângulo teta as novas coordenadas vão ser com você no teta e sendo teta ok agora vamos rotacionar o e 2 quando eu rotacional e dois ou até algo mais ou menos aqui né esse ângulo zinho été tá ok esse ângulo é o teto e vamos para as coordenadas de setor de posição certa pra ficar bem claro vou escrever aqui o rotação do nosso e dois de um ângulo tetaki que vai acontecer olha a coordenada x 1 aa coordenada horizontal tá aqui ó se a gente enxergar isso como um triângulo retângulo é usando a mesma técnica eu tenho aqui essa coordenada é igual a esse pedaço aqui ou seja o cateto oposto do euro teto porém com sinal negativo porque eu tô à esquerda né é o tamanho desse cateto mas com sinal negativo porque usou justamente à esquerda do meu eixo x 2 do só com a toalha né quando eu tenho o posto pelo poder usa a minha função é sendo então que eu tenho aqui na coordenada x 1 ec oceano de teta e lembrando que o sinal trocado então - sendo o teto e o que vai acontecer com a outra coordenada vamos lá agora eu quero a qual coordenada x 2 que vai ser esse pedaço aqui esse pedaço vai ser a de assistir ao meu ângulo teta né e adjacente pela hipotenusa lembrando que nós sem poder usa vale 1 adjacente pela hipotenusa ecoss e no entanto aqui ecocentro de teto nesse caso eu não mudo se não por que tá aqui pra cima né voltando aqui pra nossa matriz em afinal é para isso que a gente está pensando nessas coisas todas nossa matriz em a vai ser constituída pelo seguinte a primeira coluna é a rotação aplicado no meu e um é o que a gente vê o que vai acontecer é ficar o cosseno theta ii sendo 30 certo e que vai acontecer quando eu aplico na e dois na e2 vai ficar - sendo teta e aqui embaixo você no teta pronto construímos nossa matriz aqui a gente tanto queria e esse aqui é um resultado e tanto pessoal porque olha só agora a gente consegue é descrever matematicamente né a nossa rotação de um vetor usando simplesmente uma matriz linha' ele é só pessoal que interessante agora então a gente pode falar o seguinte a nossa rotação de um ângulo teta no sentido anti-horário é uma transformação linear que tem como o domínio no nosso caso o r2 contra o domínio o r2 e ela pode ser representada ó rotação de tétano um factor zinho x por a nossa matriz a cosseno teta sendo teta - sendo teta cosseno teta que multiplica as coordenadas x 1 x 2 do nosso vetor zinho x que a gente quiser rotacionar nova maravilha e aí você me dizer é uma maravilha sims e fez toda essa trabalheira para mostrar essas coisas bonitas pra gente mas como eu aplico isso ainda tem esse monte de cosseno sendo por aí tal bom vamos ver um exemplo pra você ficar mais satisfeito com as coisas ficarem mais claras na sua cabeça porque se você tá com medo desses cossenos e no saque olha você souber o ângulo que você quer pressionar esse negócio deles é aparecer essa matriz vai ficar numérica é afinal digamos que eu quero fazer aqui uma rotação de 45 graus no nosso vetor zinho x que vai acontecer aqui ó eu vou trocar o teto por 45 e o que vai me resulta vai ser com 145 que a raiz de 2 sobre dois cena de 45 também a raiz de 2 sobre dois - e ano de 45 se os anéis 2 sobre dores quando eu inverti sinal fica menos reais de 2 sobre dois aqui e cosseno de 45 reais de 2 sobre dois novamente e eu pego essa minha madrinha e multiplica pelo meu vetor x tentando deixar isso mais claro ainda se eu tivesse aqui o meu r 2 que está o r2 aqui certo e aqui eu tivesse um quadradinho no meu r 2 aqui um quadradinho desenhado na rdc ou aplicar essa transformação dos pontos que desenham esse quadradinho o nosso resultado vai ser o seguinte ó que vai estava o meu contra o domínio é que também o r2 chegou a desenhar aqui o que seria 45 graus então o que aconteceu aqui seria esse quadradinho girado esses 45 graus o que é esse meu quadradinho aqui é basicamente pegar os os vértices e rotacionar igual a gente fez nos triângulos naqueles vídeos passados e vejam que se você for por exemplo escrever um programa de um jogo por exemplo um jogo de um pinball mec a bolinha ficando pra lá e pra cá rotacional objeto é algo realmente muito útil e se ela for feito de um jeito resumido igual a gente acabou de fazer aqui e isso vai ter uma ajuda da manhã pra você que não faz ideia teve uma vez que eu fui tentar fazer isso sem usar as matrizes e eu tive que escrever muitas linhas de programação para conseguir o resultado que eu queria depois que eu aprendi a trabalhar com essa matriz em aqui ficou tudo muito mais fácil só pa mais claro ainda pra você ó digamos que eu tenho aqui esse vértice do meu quadradinho né e aqui talvez setor que descreve ele é eu aplico a minha transformação é aplicar aqui minha rotação de 45 graus e esse vetor zinho é transformado neste aqui né esse pontinho associado a esse pontinho aqui ea mesma coisa vou fazer com todos os vértices né tenham esse vetor que quando eu aplico a transformação ele acaba girando pra esse vetor aqui no final das contas eu pegar esse verso aqui quando eu votasse onu ele é associado a esse vértice aqui espero que você tem achado tão bonito quanto eu acho que se essa coisa toda é de ter uma matriz que quando eu faço um produto ela já rotaciona o negócio do ângulo que eu quiser o legal que a gente vai conseguir expandir esse resultado para mais dimensões né se a gente fosse fazer sem a ajuda de matriz por exemplo um vetor em três dimensões que é uma coordenada mais são contas a mais é mais trabalho com a nossa matriz de transformação isso também vai ficar mais fácil é simples vamos nos próximos vídeos então expandir esse nosso conceito e ver como que funciona por exemplo em três dimensões as nossas contratações de pessoal muito obrigado e até o próximo vídeo