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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 2
Lição 2: Exemplos de transformação linear- Exemplos de transformação linear: escala e reflexão
- Exemplos de transformação linear: rotações em R2
- Rotação em R3 ao redor do eixo x
- Vetores unitários
- Introdução às projeções
- Expressão de uma projeção sobre uma linha como um produto vetorial de matriz
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Exemplos de transformação linear: escala e reflexão
Criação de matrizes de transformação de escala e de reflexão (que são diagonais). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Olá, pessoal. Prontos para mais um vídeo? A gente tem falado bastante aqui sobre transformações lineares. O que eu quero fazer neste,
e até nos próximos vídeos, é ensinar como criar algumas
transformações lineares para que você possa fazer, essencialmente, o que você quiser com seus vetores. Vamos lá, vamos começar. Primeiramente, eu sei que,
se eu tenho uma transformação "T" que associa vetores do Rⁿ
com vetores do Rᵐ, eu posso representar o que essa
transformação faz com o vetor "x". Através de um produto de
uma matriz por esse vetor "x". E claro que as dimensões dessa matriz "A" é é "m" por "n", é matriz "m" por "n". E a gente sabe que a gente
pode construir essa matriz "A" a partir da nossa matriz
identidade de dimensão "n". Para quem não lembra, a matriz de identidade é aquela matriz quadrada "n" por "n". Onde a primeira coluna é feita
com o vetor com 1 no primeiro elemento, e todos os outros elementos são zero. Já na segunda coluna,
o 1 é o segundo elemento e o restante é tudo zero. Na terceira coluna,
1 é o terceiro elemento, o resto é tudo zero. Então, no final, a gente
acaba tendo uma matriz onde a diagonal principal
é constituída por "1" e o restante da matriz são só zeros. Certo, pessoal? Só para continuar aqui o que
a gente sabe da matriz identidade, os vetores coluna nessa matriz são o que a gente chama
de base canônica do Rⁿ. Tenho que esse vetor
com "1" na primeira posição, a gente chama de e₁, o cara que está com "1"
na segunda posição, a gente chama de e₂ e assim até o eⁿ. Que é o rapaz que tem "1"
na enésima posição. Voltando aqui o nosso raciocínio, a gente tinha visto que o "A" podia ser
escrito a partir da identidade. Como? Eu pego a transformação e aplico em todos os vetores coluna
da minha matriz identidade. Portanto, a minha "A" é constituído dessa forma. Pego a transformação e aplico em e₁, pego a transformação e aplico em e₂, e assim vai até que eu aplico
a transformação em todo mundo. Cheguei aqui no eₙ. E conclui a minha matriz "A" e isso é um resultado muito
interessante, muito importante. Porque aplicar a transformação
nesses vetores aqui compostos por um número "1"
e o resto tudo zero é uma coisa muito
simples de fazer. Uma continha bem fácil. Para mostrar isso, vamos parar aqui
um pouco com a nossa revisão, afinal, tudo isso aqui
por enquanto foi revisão. E vamos colocar a mão na massa. Vamos ver essas transformações sendo construídas na prática. Para construir esses exemplos, vou trabalhar aqui com o nosso R². E tudo que a gente utilizar aqui pode ser expandido para o Rⁿ. Beleza? E o conjuntinho que eu vou pegar aqui
para fazer o nosso exemplo vai ser o conjunto dos pontos
de um triângulo. Conjuntos dos pontos de triângulo
formados pelo ponto [3, 2], então, aqui o ponto [3, 2]. Vamos anotar, [3, 2]
é o primeiro dos pontos. O segundo ponto segundo que tal [-3, 2], o último ponto, ponto não, na verdade são vetores de posição, vai ser o [3, -2]. [3, -2] é o último dos meus pontinhos. Já que falei aqui "vetores de posição", o que são vetores de posição mesmo? São vetores com a origem no zero, zero, e o finalzinho na posição
determinada por um ponto. Que, no caso aqui, esse aqui é o vetor
de posição, o verde representa. Esse rosinha é representado
por esse vetor, e o amarelinho por esse. Eles chamam vetores de posição porque a gente está mais
preocupado mesmo é com esse pontinho descrito
pela posição final do vetor. Agora, vou pegar os pontos
que formam os segmentos que conectam esses pontinhos aqui. E, por último, esse aqui. Como a gente viu em um
dos vídeos anteriores, aplicar a transformação nesse conjuntinho é basicamente aplicar a transformação
nos vértices do triângulo. E depois conectá-los na mesma ordem. Então, vamos representar aqui
neste outro plano cartesiano o que vai ser a nossa transformação "T". Ok, agora vamos criar
a nossa transformação, mas, para isso, primeiro eu tenho
que saber o que eu quero fazer. Vamos dizer que eu queira
refletir em relação ao eixo "y". Vou escrever até aqui para
a gente não esquecer. Refletir em relação ao "y". Essencialmente, o que eu quero fazer aqui é dar uma viradinha nele. É como, bom, se eu desenhar acho
que fica melhor para você entender. Se eu refletir em relação ao eixo "y", ele vai meio que dar uma viradinha, vai ser como se fosse
um reflexo no espelho. E vai ficar mais ou menos assim. No final, digamos que eu queira também dar uma esticada nele. Vamos colocar aqui: esticar na direção "y" por duas vezes. Esticar o dobro na direção "y". Então, vou deixar o dobro
maior para cá, para cá. Novamente, primeiro,
eu vou dar aquela viradinha, vou colocar aqui que é 1,
esse aqui foi o primeiro passo. Depois, eu quero dar uma alongada,
dar uma esticada na direção "y", deixando duas vezes mais alto. Duas vezes maior. Vai ficar uma coisa mais ou menos assim, sem necessariamente
esticar na direção "x". Esse aqui é o passo 2, o passo 2 vai ficar uma figurinha
mais ou menos assim. Mas como eu faço isso? Antes de começar aqui nossas explicações, eu vou definir uma coisinha para a gente. A gente sempre chamava o vetor de x₁, x₂. dessa vez eu vou chamá-lo
com um nome diferente. Vou, em vez de x₁, x₂,
eu vou escrever xy. Onde "x" vai ser essa primeira coordenada
e "y" essa segunda. Porque aqui embaixo, vou chamar
essa retinha de reta "x" e essa reta de "y". Como a gente tem o costume de fazer quando a gente está na R². Para a gente não se confundir. Vamos continuar, vamos tentar ver
o que acontece com as nossas coordenadas quando a gente reflete pontos em relação ao eixo "y". Começando por este rapaz aqui. Esse rapaz aqui que é o [-3, 2], quando eu reflito em relação ao eixo "y", ele vem parar aqui. Veja aqui a coordenada "y" dele não muda,
continua sendo 2, já a coordenada "x" troca o sinal, o que era -3 virou 3. Quando eu passo ele daqui para cá, ou seja, ele vem para esse pontinho aqui, troca-se o sinal do "x"
e o "y' continua igual. A mesma coisa quando eu passo
esse ponto para cá, ou seja, ele vem para esse rapaz aqui. O sinal do "x" troca e a coordenada "y"
continua igual. Portanto, esse último pontinho aqui,
que é o [-3, -2], quando eu fizer aqui a reflexão, ele acaba virando um pontinho [-3,-2]. Troquei apenas o sinal da coordenada "x", o sinal da coordenada "y"
permaneceu o mesmo. Vamos anotar aqui para não esquecer. Refletir em relação ao eixo "y" vai ser nada mais, nada menos, vai ser multiplicar por -1
a minha coordenada "x". Agora o que é o segundo passo aqui? O segundo passo é esticar,
na direção "y", por duas vezes, o que isso significa, pelo amor de Deus? É o seguinte: se eu tenho aqui uma altura qualquer, depois que eu fizer essa transformação, eu quero que fique o dobro
da altura que tinha antes. Portanto, digamos que eu
esteja aplicando primeiro esse segundo passo. Esse vetor aqui que é o [3, 2] iria ficar [3, 4], então uma altura duas vezes maior. Então, o que eu vou fazer é
multiplicar por 2 a coordenada "y", então, isso aqui, pessoal,
vai ser, vamos identificar. Vai ser multiplicar por 2
a coordenada "y". Então, vamos tentar descrever
a nossa transformação. O que eu estou fazendo aqui
na minha transformação? Estou pegando um vetor xy qualquer, e depois que eu aplico a transformação, eu estou trocando o sinal do vetor "x" e dobrando o valor do vetor "y". Isso aqui seria a nossa transformação. Mas como que eu a escrevo naquela forma matricial, usando matriz? Vou pegar a identidade 2 por 2, isso é simplesmente [1, 0, 0, 1], Agora eu vou aplicar transformação
nessas duas colunas, então, a minha matriz em "A"
aqui que vai ser a transformação aplicada no vetor [1, 0] e a transformação
aplicada no vetor [0, 1]. Aqui vai ser a nossa matriz "A". Vamos lá, vamos fazer as
transformações nas colunas. Um pouco de espaço
vai ser bom, vai ser útil. E o que vai ser nossa matriz "A"? Vou transformar [1, 0], pego a coordenada "x" e troco o sinal, então vai ficar -1, pego a coordenada da "y" e dobro,
2 vezes zero é zero. Novamente aqui, agora,
para essa coluna, coluna [0, 1], coordenada "x", troca o sinal, menos zero e zero é a mesma coisa. E a coordenada "y", eu dobro, então, vai ficar 2 vezes 1,
que dá 2. Maravilha, essa aqui vai ser a nossa
matriz da transformação. Em outras palavras, podemos
escrever essa transformação da seguinte maneira: transformando o vetor "x" e "y" é a mesma coisa que multiplicar
a matriz [-1, 0, 0, 2] pela matriz [x, y]. Que representa o nosso vetor. Agora, vamos testar a transformação para ver se está funcionando mesmo. E vamos usar esse vetor [-3, 2]
para fazer nosso teste. Vou pegar a matriz [-1, 0, 0, 2] e vou multiplicar pelo meu vetor [-3, 2]. Dá para fazer isso direto, multiplicar é multiplicar
linha por coluna, então fica -1 vezes -3, dá 3, somado com 2 vezes zero, ou seja, vai dar o meu 3 aqui. Agora, vou pegar essa linha
vezes essa coluna, zero vezes 3, zero somado com 2 vezes 2, isso dá 4. Portanto, esse rapazinho aqui
depois da nossa transformação vai para o [3, 4] 3 direção "x", 4 direção "y",
é este pontinho aqui. Vamos dar uma olhada nesse pontinho aqui, vou ganhar um pouquinho
de espaço aqui embaixo. Minha matriz [-1, 0, 0, 2]
multiplicada pelo vetor (3,2). Fazendo esse produto,
tem essa linha vezes essa coluna, fica -3, mais zero dá -3. E essa linha debaixo
vezes essa coluna vai ficar a zero mais 4, então, [-3, 4] é o resultado que é representado -3 na direção "x", e 4 na direção "y", é esse ponto. E, por último, esse nosso pontinho aqui. Vamos pegar nossa matriz [-1, 0, 0, 2] multiplicar pelo nosso vetor
que é [3, -2]. Quando eu faço a continha, -1 vezes 3, dá -3, zero vezes -2 dá zero, -3 mais zero dá -3. Agora essa linha vezes essa coluna. zero vezes 3, zero. 2 vezes -2, -4, somando tudo, eu tenho -4. Portanto, essa é a posição
do nosso novo pontinho, plotando aqui, -3 direção "x", -4 na direção do "y",
vai dar esse rapaz aqui. Portanto, esse pontinho foi
associado a esse, esse pontinho virou esse outro aqui. E esse último virou esse rapaz. A gente já viu que, se eu
aplicar essa transformação nesse conjunto de pontos
que liga os três vértices, no final contas, vai chegar
no conjunto de ponto que vai ligar esses três vértices. Então, a imagem desse conjuntinho aqui que especifica esse triângulo vai acabar sendo esse triângulo aqui. É a coisa mais fofa do mundo. Ele fez tudo o que a gente
queria que ele fizesse. A gente pegou foi lá
e refletiu no eixo "y", deu uma virada. Depois, a gente foi deu
uma esticada na direção "y", dobrando esse tamanho. E fez tudo o que a gente queria usando somente essa
matriz de transformação. Agora, vou fechar uma
informação útil para você. Sempre que a gente tivesse
as transformações que simplesmente fazem reflexões
em relação ao eixo "y", ao eixo "x" ou que a gente estica ou encolhe
nessas direções "x" e "y", a matriz de transformação
dessas transformações sempre vai ser matriz diagonal. Olha só, isso aqui é uma matriz diagonal. E o que é uma matriz diagonal? É uma matriz que tem elementos
diferentes de zero somente na diagonal principal. Veja que o resto é tudo zero e isso faz bastante sentido
porque, se a gente for ver aqui, esse rapaz está falando que
está acontecendo no eixo "x". E esse rapaz fala o que vai acontecer
na coordenada "y". Se eu tivesse uma 3 por 3, seria um rapaz aqui que falaria o que ia acontecer na coordenada "z", na coordenada da terceira dimensão. Aqui, o rapaz da coordenada
da quarta dimensão. A gente pode desenvolver isso
para uma dimensão "n" qualquer. O objetivo principal desse vídeo
aqui foi introduzir a você toda essa arte de criar
matrizes de transformação para que elas façam o que você quiser. E dá para perceber que, se você for trabalhar no ramo de
computação gráfica ou de programação, isso vai ser muito útil para utilizar
quando você quer deformar figuras, ou trabalhar com jogos que
usam várias dimensões. Ok, pessoal? Espero que vocês tenham gostado, e até o próximo vídeo!