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Exemplos de transformação linear: escala e reflexão

Transcrição de vídeo

olá pessoal prontos para mais um vídeo gente tem falado bastante aqui sobre transformações lineares não é o que eu quero fazer nesse até nos próximos vídeos de ensinar como criar algumas transformações de ares para que você possa fazer essencialmente que você quiser com seus vetores então vamos lá vamos começar primeiramente é eu sei que se eu tenho uma transformação t que associa vetores do rn com vetores do rm eu posso representar o que essa transformação faz com o vetor zinho x qualquer através de um produto de uma matriz por esse vetor zero x certo e claro que as dimensões dessa matriz em a é m por n é matriz gm por n e a gente sabe que a gente pode construir essa matriz visinha a partir da nossa matriz identidade de dimensão n certo aqui não lembra a matriz de identidade é aquela matriz quadrada no caso n por ele onde a primeira coloninha é feita com o vetor com o 1 no primeiro elemento e todos os outros elementos são zeros já na segunda coluna o um é o segundo elemento e o restante é tudo 0 na terceira coluna um é o terceiro elemento o resto é tudo do zero novamente então no final a gente acaba tendo uma matriz onde a diagonal principal é constituída por uns e o restante da matriz são só zeros certo pessoal só para continuar aquilo que a gente sabe da matriz identidade os vetores coluna nessa matriz é o que a gente chama de base canônica do rn é então tenho que esse vetor com na primeira posição a gente onde eu o cara que está com uma segunda posição a gente chama de 2 e assim até o n que o rapaz que tem um da enésima posição voltando aqui o nosso raciocínio a gente tinha visto que o apoio desse escrito a partir da identidade com eu pego a transformação e aplico em todos os vetores coluna da minha matriz identidade portanto a minha é constituído dessa forma uma transformação aplico em eu pego a transformação aplico em e dores e assim vai até que eu aplico a transformação em todo mundo e cheguei aqui no iene e concluir a minha matriz a isso é um resultado muito interessante muito importante porque aplicar a transformações nesses vetores vizinhos aqui ó compostos por um número 1 eo resto tudo zero é uma coisa muito simples de fazer uma continha bem fácil zinho né e para mostrar isso aí vamos parar aqui um pouco a nossa revisão na final tudo isso aqui por enquanto foi revisão e vão colocar a mão na massa ou z essas transformações vinha sendo construídas na prática bom a construir esses exemplos e vou trabalhar aqui com o nosso r 2 e tudo que a gente utiliza aqui pode ser expandido para o rn beleza onde o conjuntinho que eu vou pegar aqui para fazer o nosso exemplo vai ser o conjunto dos pontos de um triângulo bons conjunto triângulo formados pelo ponto 32 estão aqui o ponto 3 2 vamos anotar 32 é o primeiro dos pontos o segundo ponto segundo ponto que tal menos 32 aqui o menos 32 o último ponto um bom ponto na verdade que são vetores de vetores de posição vai ser o 3 - 2 3 - 2 é o último dos meus contínuos já que falei aqui né vetores de posição que são vetores de posição mesmo né são vetores com a origem no 00 né o finalzinho na posição determinada por um ponto que no caso aqui é esse aqui é o vetor de posição que o verde representa esse rosinha é representado por esse vetor zinho aqui o amarelinho por esse lixão vetores de posição porque a gente está mais preocupado mesmo é com esse pontinho descrito pela posição final do vetor agora vou pegar os pontos que formam os segmentos que conectam esses pontinhos aqui i e por último e se que certo e como a gente viu em um dos vídeos anteriores né aplicar a transformação nesse conjuntinho é basicamente aplicar a transformação nos vértices do triângulo e depois conectá los na mesma ordem certa então vamos representar aqui neste outro plano cartesiano o que vai ser a nossa transformação ok agora vamos criar a nossa transformação mas primeiro tem que saber o que eu quero fazer é dizer que eu queira refletir em relação ao eixo y ou escrever até aqui né pra gente não esquecer refletir refletir em relação ao ípsilon essencialmente eu quero fazer que é dar uma viradinha nené é como eu acho que fica melhor para você entender seu refletir em relação ao eixo y ele vai meio que dá uma viradinha né e se como se fosse um reflexo no espelho e vai ficar mais ou menos assim e no final digamos que eu queira também dá uma esticada nele né vamos colocar este cara é na direção y na direção y por duas vezes méxico ao dobro na direção isso então vou deixar o dobro maior pra cá pra cá ok então novamente a primeiro eu vou dar aquela viradinha vão colocar aqui que é um saque foi o primeiro passo e depois eu quero dar uma alongada na esticada na direção então deixando duas vezes mais alto às vezes maior não vai ficar uma coisa mais ou menos assim ó sem necessariamente esticar na direção x a esse é o passo 2 eu passo 2 vai ficar uma figurinha mais ou menos assim beleza mas como eu faço isso antes de começar aqui nossas explicações eu vou definir uma coisinha pra gente né sempre chamava um vetor zinho de x 1 x 2 dessa vez eu vou chamá lo com um nome diferente vou ao invés de x 1 x 2 eu vou escrever x y tá onde x vai ser essa primeira coordenada isso essa segunda onde porque aqui mas vou chamar essa ratinho de reta x e essa de reta y como a gente tem o costume de fazer quando a gente está na r2 ok a gente não se confundir tá então vamos continuar vamos tentar ver o que acontece com as nossas coordenadas quando a gente reflete pontos em relação ao chuí começando por este rapaz aqui ó esse rapaz aqui que é o menos 32 quando eu reflito em relação ao lixo isso aí vem parar aqui veja aqui a coordenada y dele não muda continua sendo dois já coordenada x troca o sinal o que era menos 30 3 então quando eu passo ele daqui pra cá ou seja ele vem pra esse pontinho aqui troca se o sinal do x e um y continua igual a mesma coisa quando eu passo esse ponto pra cá seja ele vem pra esse rapaz aqui ô ô ô ô sinal do x troca ea coordenar a equipe continua igual portanto esse último pontinho aqui que é o menos 3 - 2 quando eu fizer aqui é reflexão ele acaba virando um pontinho - 3 - 2 o troquei apenas o sinal da colina da x da colina da y permaneceu o mesmo vamos anotar aqui para esquecer refletir em relação ao eixo y vai ser nada mais nada menos retira em relação ao eixo y vai ser multiplicar por menos um a minha coordenada x agora que é o segundo passo que o segundo passo é esticar na diversão infecção por duas vezes e que isso significa pelo amor de deus é o seguinte se eu tenho aqui ó uma altura qualquer um né depois que eu fiz é essa transformação eu quero que fique o dobro da altura que tinha antes portanto digamos que eu estou aplicando o primeiro esse segundo passo esse vetor zinho aqui que é o 3 2 iria ficar três quatro então uma altura duas vezes maior do que vou fazer é multiplicar por dois a coordenada y então isso aqui pessoal mas sim ó vamos identificar mas se multiplicar por dois a coordenada ym então vamos tentar descrever a nossa transformação bom o que eu estou fazendo aqui na minha transformação tão pegando um vetor zinho x e y qualquer né x y e depois eu aplico a transformação eu estou trocando o sinal do vetor x e dobrando o valor do vetor itu isso aqui seria a nossa transformação zinha mas como que eu escrevo ela naquela forma matricial usando matriz então vou pegar a identidade 2002 isso é simplesmente o 1001 certo e agora eu vou aplicar transformação nessas duas colunas certo então a minha matrizes em aqui que vai ser atriz em aaa a transformação aplicado no vetor 10 ea transformação aplicado no vetor 01 certo é que vai ser a nossa matriz linha' então vamos lá vamos fazer as transformações nas economias porque o espaço vai ser bom vai ser útil e que vai ser nossa matriz vizinha a bom transformar 10 pego a coordenadora x e troca o sinal então vai ficar menos um pega coreana da y e dobra duas vezes era zero novamente aqui agora para essa coluna coluna 01 coordenada xistra o sinal menos 100 a mesma coisa ea coreana daelim som é o dobro então vai ficar duas vezes 12 na virilha é essa que vai ser a nossa matriz da transformação em outras palavras podemos escrever essa transformação zizinha da seguinte maneira transformando o vetor x e y é a mesma coisa que multiplicar a matriz - 10 02 pela madrinha xy que representa o nosso vetor bom agora vamos testar a transformação para está funcionando mesmo e vamos usar esse vetor zinho menos 32 pra fazer nosso teste então vou pegar a matriz - 10 02 e vão multiplicar pelo meu vetor zinho menos 32 é tá pra fazer isso direto né multiplicar multiplicar a linha por coluna então ficar menos 1 vezes - três da 3 somado com 20 ou seja vai dar o meu três aqui agora vou pegar essa linha vezes essa coluna zero vezes 30 somado com 22 isso dá portanto esse rapazinho que depois da nossa transformação vai para o 3 4 3 direção x4 direção y é este pontinho vamos dar uma olhada nesse pontinho aqui ganhar um pouquinho de espaço aqui embaixo minha matriz - 10 02 multiplicada pelo vetor zinho 32 fazendo esse produto tem essa linha vezes essa coluna fica menos três mas é o que dá menos três e é que essa linha de baixo vezes essa coluna vai ficar a zero mais quatro tão menos 34 é o resultado que é representado - três na direção e 1 x 4 a direção y esse ponto e por último é esse nosso pontinho aqui ó vamos pegar nossa matriz visinha menos 10 02 multiplicar pelo nosso vetor zinho que é 3 em menos 2 quando eu faça continha a ficar menos 1 vezes três menos 30 vezes - 2 a 0 - 3 6 0 - 3 agora esse a linha vezes essa coluna 0330 2 - 2 - 4 somando tudo eu tenho menos quatro portanto essa é a posição do nosso novo pontinho plantando aqui - três na direção x - quatro na direção do y é dar esse rapaz aqui portanto esse pontinho foi associado a esse esse pontinho virou esse outro aqui e esse último virou esse rapaz a gente já viu que seu aplicar essa transformação nesse conjunto de pontos que liga os três vértices no final das contas vai chegar no conjunto de ponto que vai ligar esses três vértices então a imagem desse conjuntinho aqui que especifica esse triângulo linho acaba sendo esse triangulinha aqui ó é uma coisa mais fofa do mundo ele fez tudo o que a gente queria que ele fizesse a gente pegou foi lá e refletiu no edifício o meia que deu uma virada 'tinha depois a gente foi deu uma esticada na direção y é dobrando esse tamanho e fez tudo o que a gente queria usando somente essa matriz de transformação e agora vou fechar uma informação zinha útil pra você sempre que a gente tivesse as transformações que simplesmente fazem reflexões em relação ao eixo y ao eixo x ou que a gente esticão encolhe nessas direções x e y a matriz de transformação dessas transformações em ir sempre vão ser matriz diagonal né olha só isso aqui é uma matriz em diagonal e o que é uma matriz diagonal é uma matriz que tem elementos diferentes de zero somente na diagonal principal veja que o resto é tudo zero e isso faz bastante sentido porque se a gente for ver aqui ó esse rapaz tá falando que está acontecendo no eixo xvii e esse rapaz falou que vai acontecer na coordenada y se eu tivesse uma 3 por 3 a 1 e é ser um rapaz aqui que ia falar o que aconteceu na coordenadas e euna coordenada da terceira dimensão aqui o rapaz da coordenada da quarta dimensão a gente pode desenvolver isso pra uma dimensão em qualquer bom o objetivo principal desse vídeo aqui foi introduzida você toda essa arte de criar matrizes de transformação para aquelas faça o que você quiser e dá pra perceber que se você for trabalhar no ramo de computação gráfica neo de programação isso vai ser muito útil pra utilizar quando você quer de formar figuras neo trabalhar com jogos que usam várias dimensões ok pessoal espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo