Rotação em R3 ao redor do eixo x

olá pessoal prontos para mais um vídeo no último vídeo a gente definiu quer uma rotação de um vetor por um ângulo teta com esse vetor zinho no r29 e depois que a gente rotacionada vá o resultado era um outro vetor no r 2 dessa vez a gente vai definir a rotação e vai ver como ela acontece no r3 agora ao invés do plano a gente vai fazer a rotação no espaço olha o r3 num r 3 como você pode imaginar a idéia de rotacionar um vetor em três dimensões fica um pouquinho mais complicado não é mesmo portanto nesse caso aqui a gente vai rotacionar em torno do eixo x sta vamos rotaciona rotacionar em torno do eixo x e depois logicamente você pode ampliar esse conceito é o conceito que a gente vai fazer aqui neste vídeo você pode ampliar pois o y pois o z e quando você quiser fazer uma rotação em torno de cada um dos eixos e vai aplicando uma rotação depois a outra depois a outra é ok vamos abordar esse assunto mais detalhadamente em vídeos futuros então nesse vídeo a gente vai ver que essa a ideia que a gente construiu para duas dimensões pode ser generalizada para qualquer dimensão especialmente em três dimensões e vamos começar pra começar então a gente coloca aqui nossos eixos esse aqui vai ser o meu eixo x esse aqui vai ser o meu eixo y e subindo aqui o eixo z e nós temos aqui uma representação do r31 e com a gente já falou que a gente vai fazer neste vídeo é tentar descobrir como funciona uma rotação no sentido anti-horário em torno ao redor do eixo x uma rotação assim pra ficar mais fácil de visualizar eu vou fazer um vetor zinho aqui que está no plano yz certo a gente vai rotacionar um vetor zinho no plano y 11 é claro que quando eu voltasse onu ele continua no plano y z com certeza não existem só vetores no plano 2011 é claro que o vetor que tiver rotacionando ele pode ter aqui uma coordenada x né uma coordenada y e uma altura z digamos que seja um vetor zinho aqui no vetor e quando eu voltar a funcionar este vetor ele vai mudar as coordenadas y z mas a coordenadora x continua mesmo vou tentar desenhar que seria uma rotação do setor seria alguma coisa mais ou menos aqui ó claro que não sou nenhum milionário da 20 espero que o desenho te ajude a compreender o que acontece aqui ó fiz uma rotação mas continuando aqui o que a gente quer fazer é definir uma transformação que vai fazer essa rotação para a gente acho que eu vou chamar ela em vez de rotação chamando de 3 rotação peta só porque a gente está falando r3 da terceira dimensão no entanto se eu quero fazer uma transformação linear eu quero simplesmente achar uma matriz para descrever essa minha rotação né de um vetor zinho x quando a gente votação de um ângulo teta certo então é uma matriz vizinha a uma matriz tinha como é de r 3 para r 36 e três por três contra o domínio e do me que eu vou multiplicar pelo meu vetor zinho x e no último vídeo a gente descobriu que pra encontrar essa matriz a o que a gente tem que fazer é aplicar a transformação da matriz identidade ea nossa identidade três por três é são atrizinha aqui ó a matriz que tem a diagonal feita de uns e o restante dela é tudo 0 levando que a matriz da entidade é a base da nossa dimensão na então essa aqui a base do r31 esse aqui é o vetor zinho e um esse aqui é o vetor zinho e 2 já que é o vetor zinho e três da base canônica base unitária e novamente segundo o que a gente viu a gente vai construir são atrizes a aplicando a nossa transformação em cada um desses vetores colunas né então a nossa matriz nha a quando eu aplico a transformação desse vetor zinho aqui é ficar 3.30 aplicado no vetor 100 pois a gente vem aplica nesse vetor aqui então três hot é tá aplicada no vetor zero 10 fechando aqui esquecer de fechar esse e por último 13 hotmail.com aplicado em 10 01 apertadinho aqui mas terminamos a matriz então mão na massa vamos aplicar a votação nesses três setores vizinhos só lembrando que significa esses caras aqui essa aqui é coordenada na diversão x s a colherada na direção ys a coordenadora direção z então esse meu primeiro vetor o 1 ele tem uma unidade na direção x digamos que que o unidade na direção x 0 na edição zero mas ele está localizado aqui no eixo no eixo x o que vai acontecer quando eu fazer uma rotação em torno do eixo x nada absolutamente nada vai acontecer com esse vetor zinho aqui ó por que não vai mudar magnitude não vai mudar para onde está apontando nem nada então esse vetor zink vai continuar sendo o 100 agora quando eu ver o que vai acontecer nesses dois aqui vai acontecer coisas mais interessantes pra ver o que acontece nesses dois caras eu vou redesenhar que o nosso eixo e nené que vai ser meu z e aqui meu eixo y digamos que eu coloquei de um jeito que o nosso eixo zy fica paralelo ao plano aqui da nossa tela e que o eixo x ele tá meio quilo para fora que no seu monitor sendo uma flechinha que tá aí no seu rosto que ó como se isso aqui fosse a pontinha da nossa flash quando eu represento aqui o e 2 que é zero direção x uma direção estão 10 a direção z ele vai ser um vetor zinho aqui ó com um comprimento 1 na direção y al rotacionar de teta ele vem pra cá ficam rapazinho aqui esse ângulo aqui é o nosso ângulo e o que a gente vai fazer vai ser igualzinho a gente fez no vídeo anterior vamos ver quais vão ser as coordenadas novas desse meu vetor zink bom a primeira coisa que a gente concluir essa votação aqui ó é que a direção x não mudou era zero antes e continua sendo 10 na uma rotação em torno do x a coordenadora x não vai mudar nunca então aqui coordenada x continua a mesma vamos ver o que acontece agora com a coordenada y bom pessoal igualzinho a gente viu no vídeo anterior se a gente projetar aqui ó esse tamanho que esse tamanho que estou pintando em verde é nova componente y certo e quando eu projeto aqui esse tamanho zinho vai ser a nova componente z eu não vou fazer isso aqui tão detalhado porque a gente já fez a mesma coisa no vídeo passada mas só pra dar uma revisada aqui a gente tem um triângulo retângulo correto a hipotenusa desse triângulo retângulo vale um porquê porque a rotação de um vetor zinho de módulo de magnitude um cão quando eu contraceno ele continua valendo certo esse meu ladinho essa nova colina da y digamos que tem o tamanho a é o cateto adjacente relação atleta a gente sabe que cursos e no de teta é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa que no nosso caso é um bom a / 1 da então esse tamanho a é o cosseno de teta assim a nova coordenada y vai ser o cosseno de teta ea coordenada z a coordenadora z é esse tamanho que se a gente for ver é o mesmo deste tamanho aqui que é o cateto o posto de teta ea gente sabe da trigonometria que seno de teta é o cateto o posto pela hipotenusa aqui no nosso caso o lyon portanto esse tamanho ó vai ser igual ao oceano de teta coordenadas e novas e no teta agora vamos ver o que vai acontecer aqui na direção dizê bom pra fazer a diversão de rodar uma limpadora aqui e redesenhar nossos eixos aqui então meu eixo z meu eixo e y bom e aqui o nosso vetor zinho e 383 aqui o e 30 direção x 0 na gestão y e 1 unidade na direção z quando eu votasse onu ele por um ângulo de teta ele acaba caindo aqui mais ou menos nessa que é um ângulo teta novamente a direção x não vai mudar ele vai continuar aqui no nosso plano y z decidi colocar o nome ela plano y z ea coordenadora x vai continuar sendo 10 e o que vai acontecer com a coordenada y bom a nossa coreana da y vai ser aqui mais e este tamanho certo que é igualzinho a esse tamanho porém esse ladinho que eu desenhei é o cateto oposto detecta não é verdade e pelo que a gente sabe trigonometria seno de teta é o cateto o posto pela hipotenusa só que nós sem poder usa vale 1 portanto aqui vai ficar sendo mesmo tamanho portanto e se o catetinho tem o valor seno de teta porém pessoal a gente está aqui à esquerda coordenadas à esquerda são negativas por isso a nova coordenadora y do e3 vai ser - ce no teta vamos ver o que vai acontecer com a coordenada z bom a coreana z vai tá aqui vai ser esse tamanho aqui só que esse tamanho é o cateto adjacente a esse ângulo teta gente sabe que cosseno de teta vai ser sempre o adjacente pela e podemos aqui vale um né vale 1 portanto o nosso a é igual ao oceano de teta que cosseno de teto e pronto encontramos a nossa matriz vizinha a olha só que maravilha então essa é nossa matrizes linha que vai descrever essa rotação em torno do eixo x vamos até colocar aqui ó minha 3 hawtin detetada um vetor zinho x é são atrizes vezes o motorzinho x lembrando que esse 3 é porque eu tô na terceira dimensão aí você pode observar mas olha só essa matriz com exatamente igual à matriz anterior né tirando essa parte e esse pedacinho aqui tá igualzinho e aqui só tem 10 o que faz sentido porque se a gente for pensar bem quando a gente rotacional redor do eixo x a gente tá rotacionando no plano um plano definido pelos vetores x y ou num paralelo a esse plano paralelo do x e y então acaba ficando realmente uma matriz muito parecida com que a gente concluiu ali na rotação do r2 bom é você me pergunta então pra que passar por essa trabalheira toda essa gente está falando aqui só de um caso particular só da rotação em torno do eixo x e não está descrita uma rotação completa de qualquer ângulo em nas três dimensões bom isso aqui vai me ser útil porque apesar disso aqui será apenas uma rotação em torno do eixo x a gente pode quebrar qualquer rotação em três rotações uma noite x outra no y e outra no z encontrar a matriz de rotação o eixo y e z é bem similar ao que a gente fez aqui e aplica rotação em x aplica em y apliquim z enfim encontra uma votação final é claro que a gente pode encontrar uma matriz geral que faz já todas esse trabalho diretamente porém eu estava mostrando aqui pra você uma pequena expansão do que aconteceu no nosso caso é r 2 acredito e espero que você tem achado isso minimamente útil ok pessoal muito obrigado por assistir e até o próximo vídeo tchau tchau