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Vetores unitários

O que são vetores unitários e como construí-los . Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Neste vídeo, vamos tratar do assunto do comprimento de um vetor. É um assunto importante para várias outras atividades que ainda vamos fazer. Comprimento de vetor é um assunto aparentemente simples, mas que vamos usar em atividades de transformações aqui entre vetores, aqui no espaço vetorial. Conceito de vetor unitário, também já visto, mas é bom lembrar, é um vetor que tem comprimento igual a uma unidade. Também será uma ferramenta muito importante para futuros trabalhos. Vamos definir, a princípio, um vetor "u" qualquer pertencente ao Rⁿ, ou seja, tem "n" dimensões. A gente geralmente só consegue imaginar 3 dimensões, mas, analiticamente podemos trabalhar com quantas a gente queira. Então, digamos que tem lá uma dimensão, duas e assim por diante, até uma enésima dimensão. Pode ser qualquer número. Assusta um pouco, mas a gente não vai mexer com vetores muito grandes, pode ficar tranquilo. Mas para entender, eu vou mostrar aqui. Este vetor, digamos que o seu comprimento, isso a gente sabe de outros vídeos, pode ser calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas dimensões. É claro, uma variação do teorema de Pitágoras, tão comum, tão usado, e tão importante a gente conhecer. Raiz quadrada de todos os quadrados de suas componentes, a soma de todos os quadrados. Então, se este vetor o "u", por acaso, for um vetor unitário, então, podemos dizer que seu módulo, ou a sua norma, como alguns dizem, sua norma ou seu módulo é igual a 1, uma unidade. Vetor unitário, um conceito bastante importante. Vamos seguir em frente, mostrando um vetor genérico "v" qualquer. Um vetor também pertencente ao Rⁿ, então, também podemos definir como um vetor coluna, notação de matriz, com suas "n" dimensões, assim como o vetor "u", muito bem. Se temos este vetor, digamos que nós queremos definir um vetor unitário. Vamos chamar então de vetor "u", vetor realmente unitário, que tenha a mesma direção, mesma direção e mesmo sentido do vetor "v". Isso é muito importante, repito, para novos trabalhos que vamos fazer, novas definições. Então, ele tem a mesma direção e mesmo sentido do vetor "v" apresentado. Por enquanto um vetor genérico, daqui a pouco a gente dá um exemplo do nosso vetor "v". Muito bem. Como é que nós podemos determinar este vetor "u"? Basta que a gente faça o módulo de "v", aqui, a gente multiplica, e veja só. Eu vou multiplicar 1 sobre o módulo de "v", e isso é um valor numérico, um escalar, vezes, vou multiplicar, então, pelo vetor "v", que não é apenas um número, ok? É muito importante lembrar dessa diferença. E teremos, então, nosso vetor unitário na mesma direção, e no mesmo sentido de ''v". Sabemos, também, que o módulo de "u", veja só, vamos estender a fórmula. O módulo de "u", eu coloquei agora tudo em módulo, veja só, a mesma forma apresentada, 1 sobre o comprimento de "v", sobre a norma de "v", vezes o vetor "v". Este 1/v, como eu disse, é apenas um escalar, apenas um número, diferente do vetor que não é apenas um número. Sempre que eu tenho a multiplicação entre um escalar, no caso representado por "c", eu posso tirá-lo do módulo, veja só, módulo de "c" vezes "v" é igual "c" vezes o módulo do vetor vezes o valor do comprimento do vetor, valor numérico. Claro que isso, será, a gente tira aqui o escalar, 1 sobre módulo de "v" vezes o módulo do vetor. Então, eu estou mexendo apenas com valores, com escalares, ou seja, simples valores numéricos. E, naturalmente, o resultado terá que ser 1, afinal de contas, estamos falando de um vetor unitário. Apesar de estar na mesma direção de "v", tem apenas comprimento igual a 1. Fica mais fácil entender se eu der um exemplo numérico. Então, vamos pensar no vetor "v". Quando a gente fala em vⁿ muita gente se assusta, "n" dimensões. Mas geralmente as "n" dimensões a gente trabalha 3 ou no máximo 4 dimensões, raramente mais do que isso, é bastante simples. Então, tem lá, dimensão 1, 2 e -1, muito bem. 3 dimensões, então no espaço "R³", que é bastante comum, teremos então que a norma ou o módulo de "v", seguindo a fórmula já apresentada, é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes do vetor ''v". 1² + 2², já fizemos isso em outros vídeos, é bastante simples, mais -1². Teremos então que o resultado é √1 + 4 + 1. √6. É uma raiz quebrada, não precisa se preocupar com o valor, ok? Temos, então, a norma ou módulo do vetor "v". É o comprimento geométrico do vetor "v". O vetor unitário orientado na mesma direção e sentido de "v", então, seguindo a fórmula já apresentada, será: 1/√6 que multiplica o vetor "v". Repito, o vetor não é apenas um número, vetor, na notação de coluna, com suas coordenadas 1, 2 e -1. Muito bem. Então, a gente faz essa multiplicação, meramente uma distribuição de multiplicações que você já sabe fazer tranquilamente. 1/√6 vezes 1. Então, fica: 1 /√6, primeira coordenada do vetor unitário, depois temos 2/√6 e -1/√6, e está completo aqui o nosso vetor, vetor "u", ok? Está definido, suas coordenadas, assim que a gente define um vetor. É o vetor unitário na mesma direção de "v" como queríamos. É um trabalho simples, mas vai ser muito importante você saber. Este vetor "u", já vimos em outros vídeos que ele pode ser denotado mais comumente com um acento circunflexo, ok? Então, propriamente com a flechinha. Isso é bom a gente lembrar, antes de terminar, dos versores "i" para o eixo "x", "j" para o eixo "y" e "k", o vetor unitário, na direção do do eixo "z", quando, então, estamos falando do espaço em 3 dimensões. São estes vetores, então, que compõem o espaço canônico que a gente conhece normalmente como R³. Então, vetores componentes do R³, que vão definir esse espaço para que muitos trabalhos sejam entendidos. Em alguns casos, nós vamos chamar, em vez de "i", "j" e "k" de e₁, e₂ e e₃, que serão nossos versores também do R³ e que servirão para muitos trabalhos futuros.