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Visualização de transformações lineares

A multiplicação como uma transformação

Inicialmente, a ideia de uma "transformação" pode parecer mais complicada do que realmente é. Então, antes de nos aprofundarmos no modo como matrizes 2×2 transformam um espaço bidimensional, ou como matrizes 3×3 transformam um espaço tridimensional, vamos ver como os bons e velhos números simples (também conhecidos como matrizes 1×1) podem ser considerados transformações de espaço unidimensional.
Espaço unidimensional é simplesmente uma reta de números.
O que acontece quando você multiplica cada número da reta por um valor específico, como, por exemplo, dois? Uma maneira de ver isso é a seguinte:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Mantemos uma cópia da reta original para referência, então movemos cada número na reta multiplicando-o por dois.
Da mesma forma, a multiplicação por 12 poderia ser vista assim:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
E, para que os números negativos não se sintam negligenciados, aqui está a multiplicação por três negativo:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Para os amantes de terminologia, essas ações animadas podem ser descritas como "transformações lineares de espaço unidimensional". A palavra transformação tem o mesmo significado da palavra função: Algo que recebe um número e tem como resultado outro número, como em f(x)=2x. No entanto, enquanto normalmente visualizamos funções com gráficos, as pessoas tendem a usar a palavra transformação para indicar que você deve visualizar um objeto se movendo, ampliando ou reduzindo, etc. Então, quando visualizamos a função f(x)=2x como uma transformação, temos o vídeo de multiplicação por dois acima. Ela move o ponto um na reta numérica para onde começa o dois, e move o ponto dois para onde o começa o ponto quatro, etc.
Antes de prosseguirmos para o espaço bidimensional, há um fato simples, mas importante, que devemos manter em mente. Suponha que você veja uma dessas transformações, sabendo que ela é uma multiplicação por um número, mas sem saber que número é esse, assim:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Você pode facilmente descobrir qual número está sendo multiplicado na reta simplesmente seguindo o um. Neste caso, o um tem origem onde o menos três começou, então você pode afirmar que a animação representa a multiplicação por menos três.

Como são transformações lineares em duas dimensões?

Uma transformação linear bidimensional é um tipo especial de função que pega um vetor bidimensional [xy] e tem como resultado outro vetor bidimensional. Como anteriormente, a utilização da palavra transformação indica que devemos pensar em alterar alguma coisa, o que, neste caso, é o espaço bidimensional.
A seguir, apresentamos alguns exemplos:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Para o nosso propósito, o que define uma transformação linear são as seguintes regras geométricas: A origem deve permanecer fixa e Todas as retas devem permanecer retas. Então, todas as transformações nas animações acima são exemplos de transformações lineares, mas o restante, não.
Assim como em uma dimensão, o que torna uma transformação bidimensional linear é que ela satisfaz duas propriedades:
f(v+w)=f(v)+f(w)
f(cv)=cf(v)
Agora, v e w são vetores em vez de números. Enquanto em uma dimensão, a primeira propriedade era inútil, agora ela se torna mais relevante porque, de alguma forma, ela determina como as duas dimensões diferentes se comportam durante a transformação.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Invólucro do vídeo da Khan Academy

Seguindo vetores específicos durante uma transformação

Imagine que você está assistindo a uma transformação específica, como esta:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Como você poderia descrever essa transformação para um amigo que não está assistindo à mesma animação? Você não pode mais descrevê-la usando apenas um número, do jeito que fazíamos nos casos unidimensionais. Para ajudar a visualizar tudo, vamos colocar uma seta verde sobre o vetor [10], e uma seta vermelha sobre o vetor [01], e fixar uma cópia da malha quadriculada no plano de fundo.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Agora fica muito mais fácil ver para onde as coisas vão. Por exemplo, se assistirmos à animação novamente, e focarmos no vetor [11], poderemos segui-lo mais facilmente e ver que ele vai parar no vetor [42].
Podemos representar este fato com a notação a seguir:
[11][42]
Problema para prática: onde o ponto [10] termina depois que o plano sofre a transformação mostrada no vídeo acima?
Escolha 1 resposta:

Problema para prática: embora ele tenha ido para fora da tela, você consegue prever onde o ponto [30] terminou?
Escolha 1 resposta:

Observe que, um vetor como [20], que se inicia como 2 vezes a seta verde, continua a ser 2 vezes a reta verde depois da transformação. Como a reta verde está em [12], podemos deduzir que
[20]2[12]=[24].
E, em geral,
[x0]=x[10]x[12]=[x2x]
Da mesma forma, o destino do eixo y inteiro é determinado por onde a seta vermelha [01] vai parar; que, para esta transformação, é [30].
Problema para prática: depois que o plano sofre a transformação ilustrada acima, onde o ponto geral [0y] no eixo y termina?
Escolha 1 resposta:

Na verdade, como sabemos onde [10] e [01] vão parar, podemos deduzir onde todos os pontos no plano devem ir. Por exemplo, vamos seguir o ponto [12] em nossa animação:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Começa no menos um vezes a seta verde mais duas vezes a seta vermelha, mas ela também termina no menos um vezes a seta verde mais duas vezes a seta vermelha, o que, após a transformação, significa que
1[12]+2[30]=[52]
Essa capacidade de quebrar um vetor em função de seus componentes, tanto antes quanto depois da transformação, é o que há de tão especial nas transformações lineares.
Problema para prática: Use essa mesma tática para calcular onde o vetor [11] termina.
Escolha 1 resposta:

Representação de transformações lineares bidimensionais com matrizes

Em geral, cada vetor [xy] pode ser separado da seguinte forma:
[xy]=x[10]+y[01]
Então, se a seta verde [10] para em algum vetor [ac] e a seta vermelha [01] para em um vetor [bd], então o vetor [xy] deve parar em
x[ac]+y[bd]=[ax+bycx+dy].
Uma forma bacana de descrever tudo isso é representando uma transformação linear dada com a matriz abaixo:
A=[abcd]
Nesta matriz, a primeira coluna nos diz onde [10] para, e a segunda coluna nos diz onde [01] para. Agora, podemos descrever onde qualquer vetor v=[xy] vai parar, de forma bem concisa, como um produto vetor-matriz
Av=[ax+bycx+dy].
Na verdade, é daí que vem a definição de um produto matriz-vetor.
Assim, da mesma maneira que transformações lineares unidimensionais podem ser descritas como a multiplicação por um número, seja este qualquer número no qual cai o um, transformações lineares bidimensionais podem sempre ser descritas por uma matriz 2×2, ou seja, por aquela cuja primeira coluna indica onde[10] vai parar e cuja segunda coluna indica onde [01] vai parar.

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