Visualização de transformações lineares

Inicialmente, a ideia de uma "transformação" pode parecer mais complicada do que realmente é. Então, antes de nos aprofundarmos no modo como matrizes $2\times 2$‍ transformam um espaço bidimensional, ou como matrizes $3\times 3$‍ transformam um espaço tridimensional, vamos ver como os bons e velhos números simples (também conhecidos como matrizes $1\times 1$‍) podem ser considerados transformações de espaço unidimensional.

Espaço unidimensional é simplesmente uma reta de números.

O que acontece quando você multiplica cada número da reta por um valor específico, como, por exemplo, dois? Uma maneira de ver isso é a seguinte:

Mantemos uma cópia da reta original para referência, então movemos cada número na reta multiplicando-o por dois.

Da mesma forma, a multiplicação por ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ poderia ser vista assim:

E, para que os números negativos não se sintam negligenciados, aqui está a multiplicação por três negativo:

Para os amantes de terminologia, essas ações animadas podem ser descritas como "transformações lineares de espaço unidimensional". A palavra transformação tem o mesmo significado da palavra função: Algo que recebe um número e tem como resultado outro número, como em $f(x)=2x$‍. No entanto, enquanto normalmente visualizamos funções com gráficos, as pessoas tendem a usar a palavra transformação para indicar que você deve visualizar um objeto se movendo, ampliando ou reduzindo, etc. Então, quando visualizamos a função $f(x)=2x$‍ como uma transformação, temos o vídeo de multiplicação por dois acima. Ela move o ponto um na reta numérica para onde começa o dois, e move o ponto dois para onde o começa o ponto quatro, etc.

Antes de prosseguirmos para o espaço bidimensional, há um fato simples, mas importante, que devemos manter em mente. Suponha que você veja uma dessas transformações, sabendo que ela é uma multiplicação por um número, mas sem saber que número é esse, assim:

Você pode facilmente descobrir qual número está sendo multiplicado na reta simplesmente seguindo o um. Neste caso, o um tem origem onde o menos três começou, então você pode afirmar que a animação representa a multiplicação por menos três.

Uma transformação linear bidimensional é um tipo especial de função que pega um vetor bidimensional $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ e tem como resultado outro vetor bidimensional. Como anteriormente, a utilização da palavra transformação indica que devemos pensar em alterar alguma coisa, o que, neste caso, é o espaço bidimensional.

A seguir, apresentamos alguns exemplos:

Para o nosso propósito, o que define uma transformação linear são as seguintes regras geométricas: A origem deve permanecer fixa e Todas as retas devem permanecer retas. Então, todas as transformações nas animações acima são exemplos de transformações lineares, mas o restante, não.

Assim como em uma dimensão, o que torna uma transformação bidimensional linear é que ela satisfaz duas propriedades:

Agora, $\mathbf{\text{v}}$‍ e $\mathbf{\text{w}}$‍ são vetores em vez de números. Enquanto em uma dimensão, a primeira propriedade era inútil, agora ela se torna mais relevante porque, de alguma forma, ela determina como as duas dimensões diferentes se comportam durante a transformação.

Imagine que você está assistindo a uma transformação específica, como esta:

Como você poderia descrever essa transformação para um amigo que não está assistindo à mesma animação? Você não pode mais descrevê-la usando apenas um número, do jeito que fazíamos nos casos unidimensionais. Para ajudar a visualizar tudo, vamos colocar uma seta verde sobre o vetor $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍, e uma seta vermelha sobre o vetor $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍, e fixar uma cópia da malha quadriculada no plano de fundo.

Agora fica muito mais fácil ver para onde as coisas vão. Por exemplo, se assistirmos à animação novamente, e focarmos no vetor $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$‍, poderemos segui-lo mais facilmente e ver que ele vai parar no vetor $\left[\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right]$‍.

Podemos representar este fato com a notação a seguir:

Observe que, um vetor como $\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$‍, que se inicia como $2$‍ vezes a seta verde, continua a ser $2$‍ vezes a reta verde depois da transformação. Como a reta verde está em $\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$‍, podemos deduzir que

$\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\to 2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right]$‍.

E, em geral,

Da mesma forma, o destino do eixo $y$‍ inteiro é determinado por onde a seta vermelha $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ vai parar; que, para esta transformação, é $\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$‍.

Na verdade, como sabemos onde $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ e $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ vão parar, podemos deduzir onde todos os pontos no plano devem ir. Por exemplo, vamos seguir o ponto $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$‍ em nossa animação:

Começa no menos um vezes a seta verde mais duas vezes a seta vermelha, mas ela também termina no menos um vezes a seta verde mais duas vezes a seta vermelha, o que, após a transformação, significa que

Essa capacidade de quebrar um vetor em função de seus componentes, tanto antes quanto depois da transformação, é o que há de tão especial nas transformações lineares.

Em geral, cada vetor $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ pode ser separado da seguinte forma:

Então, se a seta verde $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ para em algum vetor $\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$‍ e a seta vermelha $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ para em um vetor $\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$‍, então o vetor $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ deve parar em

Uma forma bacana de descrever tudo isso é representando uma transformação linear dada com a matriz abaixo:

Nesta matriz, a primeira coluna nos diz onde $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ para, e a segunda coluna nos diz onde $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ para. Agora, podemos descrever onde qualquer vetor $\mathbf{\text{v}}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ vai parar, de forma bem concisa, como um produto vetor-matriz

$\mathbf{\text{Av}}=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$‍.

Na verdade, é daí que vem a definição de um produto matriz-vetor.

Assim, da mesma maneira que transformações lineares unidimensionais podem ser descritas como a multiplicação por um número, seja este qualquer número no qual cai o um, transformações lineares bidimensionais podem sempre ser descritas por uma matriz $2\times 2$‍, ou seja, por aquela cuja primeira coluna indica onde$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ vai parar e cuja segunda coluna indica onde $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ vai parar.