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Imagem de um subconjunto sob transformação

Investigando o que acontece a um subconjunto do domínio sob transformação. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

olá pessoal prontos para mais um vídeo pra fazer esse vídeo vou definir aqui três vetores zinhos de posição o primeiro que eu vou chamar de x 0 x 0 vai ser o meu vetor - 2 - 2 quem ao representar o meu x 0 aqui no plano eu pego menos dois aqui na posição x - dois na posição então temos aqui então o meu vetor zinho x 0 quem vamos agora ao vetor x 1 o vetor x 1 ele vai ser definido por menos 222 2014 1 x 1 e vai ser representado aqui nesse pontinho ao menos 2 x 1 e 2 y portanto é esse vetor aqui vamos nomear o x1 é o último vetor é prometi 3 é o vetor zinho que eu vou chamar de x 2 e ele vai ser 2 - 2 ao plantarmos né de representarmos aqui no plano é 2 à direita dois para baixo então esse aqui é o meu vetor zin ok vamos nomear o x2 e o que eu quero fazer é definir os segmentos de reta que vai unir esses três pontinhos aqui vou chamar de s zero o segmento que liga o x 0 ao meu chinelo beleza vamos abrir que a chave e começar a descrição essa minha linha s10 vai ser essa linha aqui ó e essa linha pode ser descrita como o vetor x 1 - x 0 não é verdade mas eu quero o conjunto de todos os pontinhos que constitui essa linha ou todos os vetores vizinhos que consigo entre o x 0 e 1 x 1 então posso dizer que o comércio aqui no x 0 e pego todas as frações vizinhas desse vetor zinho laranja até chegar no x 1 então me ajuda a escrever aqui eu começo no x 0 mas então agora comércio desse ponto vou pegando todas as frações linhas desse vetor então vai ser sempre um múltiplo do meu vetor x 1 - 1 x 0 certo porém como eu falei que esse setor tem que ser frações linhas e se multiplique não pode passar de um também não pode ser menor do que quiser que se for negativo vem pra baixo então esse meu t é um número que está entre zero e um hotel é maior que zero ea menor que um pronto quando eu escrevo assim o meu múltiplo teuto pegando todas as frações vizinhas do meu vetor laranja ok conseguido escrever esse segmento entendeu direitinho maravilha não descrevemos aqui o nosso segmento é sincero vamos escrever agora o segmento s 11 digamos que é se um vai ser o segmento que une o x1 até o x2 e esse pedacinho que alguém eu vou chamar de assim a gente pode usar o mesmo raciocínio e pensar que ele comece aqui no meu x 1 e agora vou pegando todas as frações linhas que compõem esse vetor aqui então te que multiplica x 2 - x 1 tal que o meu tse maior golpe 0 e menor igual q1 e último segmento aqui é o s dores o s2 eu vou falar que vai ser esse rapazinho aqui quem meu s2 e ele começa no x 0 e vai ser uma as frações todas as frações de x 2 - x 0 ok talk 0 o melhor golpe te terminar golpe que eu só para ter certeza que você entendeu a se eu não tivesse tanto essa restrição aqui por t esse cara aqui podia ser qualquer número real então ele escrever toda a reta como eu fiz essa restrição veja que por exemplo quando teve a 0 eu tenho o meu x 0 como pontinho condo-hotel vale 1 acabam esse xlsx geram cancelando e me sobra o x2 então eu tenho esse pontinho quando o tv vale meio né eu vou ter isso mais metade deste tamanhozinho então acaba parando nesse pontinho aqui que é justamente a metade entendeu continua lento bom agora é só pegar um conjunto digamos que chama de forma né forma efe que é simplesmente a minha s0 a minha s1 com a minha s2 eu tenho esse triângulo bonitinho aqui beleza olha só a união desses três conjuntos de segmentos da esse triângulo linho bonitinho que eu tenho eo que eu quero com este vídeo é mostrar pra você o que vai acontecer com esse conjunto aqui quando eu aplico uma transformação linear nesse conjuntinho vamos definir aqui minha transformação te aplicada no meu ver torches que é igual há matrizes linha 11 - 12 0 aplicado no meu ver torches seja lá qual for este vetor ok lembrando que a gente viu no vídeo passada que a gente pode escrever qualquer transformação linear como produto de matrizes está e vice-versa qualquer produto da matriz como a transformação ea mas eu vou deixar assim que isso facilita bastante a vida pra gente como a gente viu no vídeo do ano passado então vamos aplicar essa transformação zinho nossos segmentos para ver o que acontece com ele está é primeiro vou aplicar t no segmento e 70 tá isso vai ser a mesma coisa que eu aplicar t em x 0 mas hunter linha branca sim não é ter da transformação é só um número que está multiplicando é um vetor não terezinho vezes x 1 - 1 x 0 tal que esse meu t está entre 0 e 1 vamos ganhar um pouquinho de espaço aqui para continuar a nossa dedução um bom espaço aqui vai ser igual com aquelas propriedades vizinhas que a gente viu eu aplicar a transformação em x eram e só marca a transformação nesse tv vezes x 1 - x 0 14 eo vetor senhora esqueci de colocar aqui ó que são vetores tal que o meu t está entre 0 e 1 bom isso aqui vai ser igual também pelas propriedades vizinhas que a gente tem de transformações lineares eu posso jogar e se escalar para fora da transformação que não vai fazer diferença então é o meu desenho que multiplica transformação em x 1 - x 0 quem novamente pra ter entre zero e portanto essa nossa transformação no meu segmento 0 vai ser igual a te deixes era transformação no x érea esquecendo depois faixinha sou mais o trânsito que multiplica eu posso separar essa é a subtração é te de x 1 - t d x 0 pra o meu teen entre 0 e 1 e esse resultado é um resultado bem bacana que vai facilitar pra caramba a nossas vidas porque facilita a vida porque eu descobri que fazer a transformação dessa linha s10 é seu segmento que liga a transformação no meu x 0 até a transformação no meu x 1 ou seja vai ser fácil de calcular vamos começar a fazer a transformação x 0 pra ver que vai virar bom vamos aqui lembrar a quem ao x 0 clicar a transformação no meu x 0 vai ser fazer um menos 120 vezes - 2 - 2 o resultado aqui vai ser o seguinte 1 vezes - 2 - 2 - 16 - 22 - dois com um 2 a 0 e aqui dois com - 2 - 40 com 20 então menos quatro é o de baixo aproveitando aqui pra já plotar aqui embaixo e se no nosso resultado vejam a 0 em menos 4 x 0 y é menos quatro aqui vai ser a minha transformação aplicada no meu x 0 então tedeschi x 0 então a minha transformação se 0 leva esse vetor aqui a esse vetor aqui vamos ver como vai ficar a transformação no x1 tdx assunto ficando sem espaço a quem a gente vai ser um menos 120 x quem quer mesmo meu x 1 2 - 2 e 2 - 2 e 2 o resultado aqui ó menos 1 vez - 2 - 2 - 1 vez dois a menos dois também então somando eu tenho menos 4 2 com menos dois a menos 40 com 2 - 4 ac também plantando aqui em baixo - 4 - quatro então - 4 pega pra cá e menos quatro aqui a transformação no meu x1 é cair nesse rapaz em aqui é esse aqui é meu t d x 1 é um vetor zinho r2 reparem é que a minha transformação tá levando r 2 a r 2 pois eu estou fazendo estou levando o plano no plano então vamos para a última transformação a transformação aplicada no meu x 2 vai ser igual a minha matriz transformação 1 - 1 20 vezes o meu vetor x2 que é 2 - 2 resultado desta continha aqui vai ser um vezes 22 -1 vezes menos dois também a 2 somam eu tenho quatro aqui vai ser 2 240 vez menos 20 somando eu também tenho cartão quando eu transformo meu vetor zinho x 2 eu chego nesse 44 lotando aqui embaixo 4 à direita 4 pra cima eu tenho esse rapaz aqui esse aqui é o meu vetor da transformação aplicada em x 2 e olha só pessoal a transformação aplicada no segmento é zero é simplesmente um vetor que começa na transformação do x 0 se ele começa aqui nesse pontinho e pega todas as frações do vetor formado pela diferença entre a transformação x 1 e no x 0 quem é esse carinho aqui ó que é este rapazinho aqui é ser simplesmente ó um cara que começa aqui no x 0 e cai aqui no x1 tão vai ser esse vetor zinho portanto podemos concluir usando todas as propriedades de transformação linear que fazer a transformação deste segmento aqui é simplesmente pegar o segmento que tem como o que começam e terminam na transformação dos pontos que definem o segmento principal certo então se eu comecei no x 0 e 1 x 1 pega a transformação x 0 pela transformação x 1 e traz o segmento tinho o que facilita pra caramba nossa vida não tem que fazer mais conta além disso e agora a gente pode aplicar nos outros segmentos não só por exemplo o segmento tinho s1 que que é o segmento que conecta o x1 com x 2 vai ser aqui na depois da transformação o segmento que conecta transformada do x1 em seu segmento que conecta a transformação x 1 ea transformação x 2 o portanto vai ser esse segmento tinha aqui ó tal ciac transformação aplicada em s1 aqui eu tenho a transformação aplicada em s 0 e pra finalizar aqui ó qual vai ser a transformação no meu s2 bommel s2 ele conecta ao x 0 x 2 então a transformação x 2 e quem conecta a transformação do x 0 ao a transformação dos dois portanto esse segmento tinha aqui transformação aplicada em s-21 pessoal a gente pode inclusive expandir essa noção praquele conjuntinho que a gente chamou de forma né conjuntinho efe possa então falar que a transformação desse conjuntinho efe aqui ó é dada por esse triângulo roxo bonitão aqui transformação do meu efe é o triângulo acho que ficou bem claro agora porque é que isso aqui é altamente aplicado em computação gráfica em desenvolvimento de jogos né afinal quando você precisa ver algumas coisas num ponto de vista diferente é preciso fazer uma transformação do objeto né ou por exemplo eu quero diz torcer é uma forma como esse triângulo linho para outra como esse outro triângulo eu também posso aplicar uma transformação para fazer essa distorção o que eu acho que a grande sacada do nosso vídeo aqui é que pra fazer a transformação dessa forma eu não preciso fazer a transformação de todos os pontinhos que que descrevem a forma basta pegar os vértices os vértices da forma que eu quero transformar transformar apenas os vértices e depois ligar na mesma ordem que eu tenho a transformação da minha figura e vejam o resultado que a gente tem dessa transformação por exemplo se eu pegar aqui o meu o s60 meu segmento 0 aqui eu vou chamar é o resultado dessa transformação por um nome específico tá eu vou chamar do resultado da transformação do meu segmento 0 de imagem a imagem de t quando aplicada a cada em zero o que faz bastante sentido afinal olha o que a minha transformação que está fazendo tá pegando esse conjuntinho aqui de de pontos e criando uma imagem aquino contra o domínio criando uma linguagem do condomínio que é esse negócio aqui certo por isso faz bastante sentido chamar de imagem esses sub-conjunto do meu contra o domínio então do mesmo modo que eu falei que ó eu posso falar que o resultado da transformação aplicada na minha forma efe esse ou seja esse triângulo roxo aqui é a nossa imagem imagem dt quando aplicada aplicada em efe espero que você tem achado no mínimo interessante e se você vai ver algum tipo de programador alguém que vai trabalhar com computação gráfica isso aqui vai ser super útil beleza ou no próximo vídeo a gente vai ver o que vai acontecer se a gente aplicar a transformação não só num sub-conjunto do domínio o que será que acontece a gente aplicar transformação do domínio tudo fazer a transformação no rn todo o pessoal espero que você tenha gostado e até o próximo vídeo