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Transformações lineares

Introdução às transformações lineares. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Olá, pessoal. Prontos para mais um vídeo? No vídeo anterior, a gente viu o que era uma transformação. E agora a gente vai ver um tipo específico de transformação, a chamada "transformação linear". E faz muito sentido que a gente veja uma coisa chamada transformação linear, afinal, a gente está estudando um tópico chamado "álgebra linear". Já vimos até o que era uma chamada "combinação linear", não é verdade? Bom, para termos uma transformação linear... Vamos pegar aqui uma transformação qualquer. Primeiro... A gente viu no vídeo passado que uma transformação não passa de uma função. Bom, uma transformação do Rⁿ levado ao Rᵐ, domínio Rⁿ e contradomínio Rᵐ, onde esses índices são meramente um número natural, maior que 1. Uma transformação só vai ser linear se ela obedecer a duas condições. Vamos escrever agora quais são essas condições. Então, uma transformação linear vai ocorrer se, e somente se, duas condições forem acatadas. Bom, para isso, vamos pegar aqui dois vetorezinhos. Vamos pegar o vetor a e o vetor b, e ambos são vetores do domínio, são vetores do Rⁿ. A primeira condição, eu tenho uma transformação linear se, e somente se, eu pegar esses vetores e somar... Somei aqui o vetor a com o vetor b, e depois eu apliquei a minha transformação. E isso vai ser equivalente a fazer a transformação primeiro e depois fazer a soma. Então, em uma transformação linear, não importa se eu primeiro somar os vetores e depois fizer a transformação ou então fizer a transformação primeiro e depois somar. É para serem coisas equivalentes. A segunda condição... Bom, se eu pegar um vetor multiplicado por um escalar... Então, pegamos um escalar c e multiplicamos o nosso vetorzinho a. Se no resultado eu aplicar a minha transformação, tem que ser equivalente a aplicar primeiro a transformação, e depois multiplicar esse resultado pela minha constante c. Então, o produto pelo escalar pode ser antes ou depois da transformação, ok? Bom, parece ok. Parece tudo muito bom. Vamos agora pegar alguma transformação e verificar se ela é linear ou não. Pegamos aqui uma transformação que leva o R² ao R². Temos como domínio o R², e contradomínio também o R². Leva os pares e ordenados aos pares e ordenados. Então, a transformação leva o vetor x₁, x₂... No vetor... Vai ser associado ao vetor x₁ + x₂, vírgula, 3 vezes o x₁. Essa aqui é a minha transformação que a gente vai verificar se é linear ou não. E um jeito mais vetorial de se escrever seria que a transformação pega o vetor x₁, x₂... O que vai ser igual, vai levar ao seguinte vetor: primeira coordenada é x₁ + x₂, e a segunda coordenada é 3 vezes x₁. Ok? E uma terceira forma de se fazer essa anotação, que eu vejo muito pouco mas existe, é pensar o seguinte: a minha transformação, ela pega o vetor x₁, x₂ e leva a x₁, + x₂, e 3x₂ aqui. Maravilha, três formas de se representar a nossa transformação. E aí, será que o que temos aqui é uma transformação linear? Bom, vamos arrumar um pouquinho de espaço. Primeiro, eu vou pegar dois vetores do meu domínio. O meu domínio é o R², então, digamos que eu tenha aqui o vetorzinho a, que é o vetor a₁, a₂, e um vetorzinho b, denotado por b₁, b₂. Agora, eu vou testar essa condição aqui. Será que somar os vetores e aplicar a transformação vai ser igual a aplicar a transformação antes e depois somar os vetores? Mas o que é a soma dos vetores? O que seria vetor a somado com o vetor b? Pela definição, soma de vetor é somar as coordenadas. Então, vetor a + vetor b é a₁ + b₁, e, aqui embaixo, a₂ + b₂. Ok, mas o que seria fazer a transformação T dessa soma? O T de a + b, que também pode ser escrito de forma vetorial, assim: T de... Abrindo aqui o colchete... a₁ + b₁, a₂ + b₂. E isso vai ser igual, pelo que a gente pode olhar aqui na minha transformação, ao seguinte... Primeiramente: a primeira componente do vetor depois da transformação é somar esses dois carinhas aqui. Então, façamos a soma. Vai ficar: a₁ + a₂ + b₁ + b₂. E o segundo carinha aqui da minha transformação vai ser 3 vezes... Olha, aqui eu fiz errado. Aqui é 3 vezes o primeiro componente, x₁ igual está escrito nesse e nesse. Desculpem aí, pessoal. Bom, então vai ser 3 vezes a primeira componente. Portanto, 3 vezes esse rapazinho aqui. Então, fica 3a₁ + 3b₁. Maravilha, pessoal? Ok. Bom, então isso aqui é a transformação da soma. Agora vamos ver a transformação individualmente. Qual seria a transformação aplicada no vetor a sozinho? Bom, para mim vai ser a mesma coisa que aplicar a transformação no vetor a₁, a₂, isso aqui entre colchetes, né? Uma forma de representar. E vai ser igual... Novamente, seguindo aqui a nossa regrinha. Vou pegar a₁ + a₂, e aqui embaixo 3 vezes o a₁. Isso aqui também entre colchetes. Essencialmente, o que a gente foi fazer aqui é: em vez de escrever com x, a gente escreveu com a. E a transformação aplicada no vetor b? Bom, vai ser essencialmente a mesma coisa que a transformação aplicada no vetor a, só que com a letra b. Então, o resultado, já podemos colocá-lo aqui direto, é b₁ + b₂, e aqui embaixo vai ser 3 vezes b₁. Maravilha! Opa, um pouquinho de espaço... E agora, o que será "fazer a soma dessas transformações"? O que é transformação aplicada no vetor a somada com a transformação aplicada no vetor b? Bom, é somar isso com isso. Vai ficar, então, na primeira coordenada: a₁ + a₂ + b₁ + b₂. E, na segunda coordenada, vai ficar: 3a₁ + 3b₁. Olha que interessante, pessoal. Por que é interessante? Porque, se eu aplicar as transformações individualmente e depois somar, ou se eu somar primeiro e depois aplicar a transformação, eu tenho o mesmo resultado. Portanto, essa primeira condição aqui foi comprovada. Aqui nessa minha transformação T, a soma das transformações é igual à transformação da soma. Vamos agora verificar se isso aqui vai funcionar também, se o produto pelo escalar também vai ser uma regra válida. Para começar a brincadeira, o que seria um número c, um escalar c multiplicado pelo meu vetor a? Pela definição de multiplicação por um escalar, seria: c vezes a primeira coordenada, e c vezes a segunda coordenada. Isso aqui é c vezes o vetor a. E agora, o que será que vai acontecer quando eu aplicar a minha transformação nesse vetorzinho c vezes a? Basta a gente dar uma olhadinha no que é a definição da nossa transformação, né? Olha, a nossa transformação faz o seguinte: a primeira coordenada do resultado é a soma das duas coordenadas. A segunda coordenada do resultado é 3 vezes a primeira coordenada. Então, vamos voltar aqui. Teremos como resultado: c que multiplica a₁ + c que multiplica a₂, e aqui embaixo 3 vezes c que multiplica a₁. Beleza, transformação aplicada no vetor c vezes o vetor a. Mas, olha só: aqui eu posso colocar esse c, essa constante, sem evidência. Então, isso é igual a c que multiplica... ...a₁ + a₂, embaixo, 3 vezes a₁. Mas quem é esse rapaz aqui? Olha, esse rapaz, se eu der uma olhadinha aqui em cima, é a transformação aplicada no vetor a. Então, isso aqui é: c que multiplica a transformação no vetor a. Se eu multiplicar primeiro, depois fizer a transformação, é a mesma coisa que se eu fizer a transformação primeiro, depois multiplicar. Então, vimos que a segunda condição aqui também está válida. Portanto, temos aqui uma transformação linear. Olha só, essa transformação aqui é uma transformação linear, sem sombra de dúvidas. Aí, você pode me perguntar: "Ok, beleza. Mas como eu faço para provar que algo não é transformação linear?" É fácil, me dá o contraexemplo! Me dá um exemplo de uma coisa que não funciona nessas condições. Vamos lá embaixo para um exemplo, para te mostrar como dar o contraexemplo. Vamos definir a transformação. Uma transformação T do R² ao R². Vamos fazer também do R² ao R² para a gente ter uma base de comparação legal. Essa minha transformação vai levar o nosso vetorzinho x₁, x₂ ao vetor... Vamos ver... x₁² e 0, simplesmente. Vamos ver se é ou não uma transformação linear. Primeiro, tem que ver se obedece àqueles dois critérios. Então, vamos começar. O que aconteceria se eu aplicasse a minha transformação em um vetorzinho a? Aquele mesmo vetorzinho a do exemplo anterior. Ficaria aqui o vetor a₁², e aqui embaixo 0. E, se eu pegasse a minha transformação, e aplicasse no vetor c vezes a? c vezes a é aquele vetorzinho: c vezes a, c vezes a₂, não é verdade? E, depois que eu aplicar a minha transformação, vai ficar o seguinte: a primeira coordenada vai ficar c que multiplicar a₁². E a segunda coordenada vai ficar o 0. E esse carinha aqui, vai ser igual a quê? Isso vai ser igual a: c² multiplicado por a₁², e aqui embaixo 0. Do mesmo modo, eu posso fatorar esse c², que é uma constante. Então, vai ficar aqui: c² que multiplica o meu vetor a₁², e 0. Bom, e como esse negócio aqui é justamente a minha transformação aplicada no vetor a... ...podemos dizer que eu tenho aqui o c² multiplicado pela transformação no vetor a. Vejam só! Portanto, se eu pegar essa transformação T, essa transformação verdinha aqui, bem diferente da outra transformação lá de cima. Se eu pegar essa transformação T e aplicar em c que multiplica o vetor a, isso vai resultar em: c² vezes a transformação no vetor a. O que claramente contraria aquela segunda condição, pessoal. Essa condição aqui foi contrariada naquela nossa transformação verde. Olha só, a gente tem um c e aqui, e aqui a gente tem o mesmo c. Se a gente olhar aqui embaixo, aqui me aparece um c, e aqui aparece o c². Portanto, não é uma transformação linear, ok? Com o tempo, a gente vai ganhando uma certa prática, um certo sexto sentido para saber se é ou não uma transformação linear... uma intuição. Por exemplo, sempre que a gente vê transformações que só envolvem combinações lineares, somas, multiplicações por escalares, a chance de isso ser uma transformação linear é muito grande. Agora, quando começa a aparecer uma coordenada sendo multiplicada pela outra, ou potências... 2, potências 3. Elevar ao quadrado, elevar ao cubo, elevar a qualquer potência aí, a gente já começa a suspeitar que isso não vai ser uma transformação linear. Mas eu espero que isso tenha clareado um pouco as coisas para vocês, vocês tenham entendido o conceito de uma transformação linear, pois a gente vai precisar nos vídeos posteriores. Tchau, pessoal. Até os próximos vídeos.