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Transcrição de vídeo

olá pessoal prontos para mais um vídeo no vídeo anterior a gente viu que era uma transformação e agora a gente vai ver um tipo específico de transformação a chamada transformação transformação linear olha só e faz muito sentido é que a gente veja uma coisa chamada transformação linear afinal a gente está estudando um tópico chamado álgebra linear já vimos até o que era uma chamada combinação nem é na verdade um bom para termos uma transformação linear vamos pegar aqui uma transformação qualquer primeiro a gente lembra né gente viu no vídeo passado que uma transformação não passa de uma função uma transformação do rn levado no rm é domínio rn contra o domínio rm onde esses esses índices aqui são meramente um número natural é mark 1 uma transformação só vai ser linear se ela obedecer duas condições vamos escrever agora quais são essas condições estão uma transformação linear vai ocorrer c e somente se duas condições linhas forem acatadas bom pra isso vamos pegar aqui dois vetores vinhos vamos pegar o vetor a e o vetor b e ambos são vetores do domínio são vetores do r a primeira condição né eu tenho uma transformação linear seis meses e se eu pegar esses vetores e somaram 10 o mec o vetor a converter b e depois eu apliquei uma transformação e isso vai ser equivalente a fazer a transformação primeiro e depois fazer a soma né então numa transformação linear não importa seu primeiro somar os vetores depois fazer a transformação ou então fazer a transformação primeiro depois o macaé para ser coisas equivalentes a segunda condição é bom se eu pegar um vetor x 1 escalar então pegamos um dos canais e multiplicamos nosso vetor zinho e no resultado eu vou e aplico a minha transformação tem que ser equivalente eu aplicar primeiro a transformação depois multiplique esse resultado pela minha constante se né então o produto pelo escalar pode ser antes ou depois da transformação ok bom parece ok parece tudo muito bom vamos agora pegar alguma transformação e verificar se é linear ou não tá pegamos aqui uma transformação que leva o r2 no r dores temos como o domínio r 2 e condomínio também o r2 levas paris e ordenados em paris ordenados então transformação leva o vetor x 1 x 2 no vetor é vai ser associado ao vetor x1 mais x 2,3 vezes o x1 quem é essa aqui é a minha transformação que a gente é verificar se a linear ou não e um jeito mais vetorial de escrever seria que a transformação pega o vetor x 1 x 2 e mais igual né vai levar no seguinte vetor primeira coordenada é x 1 + x 2 ea segunda coordenada três vezes à x 1 e uma terceira forma de fazer essa notação que eu vejo muito pouco mas existe é pensar o seguinte a minha transformação ela pega o vetor x 1 x 2 eleva em x 1m x 2 e 3 x 2 aqui em maravilha ó três formas de se representar a nossa transformação e aí será que temos aqui uma transformação linear bom vamos arrumar um pouquinho de espaço primeiro vou pegar dois vetores do meu domingo né meu domínio o r2 então digamos que eu tenho que o vetor zinho a que é o vetor a 1 a 2 e um vetor zinho b é um vetor zinho b/d notado por b1 b2 e b1 b2 agora eu vou testar essa condição à qual será a que somar os vetores e aplicar a transformação vai ser igual ao aplicar a transformação antes depois somar os setores mas o que é a soma dos vetores que seria vetor a somado com o vetor b né pela definição de som de vetor é somar as coordenadas então retornar mas é ter ba11 sp 1 e aqui em baixo a 2 mais vendedores ok mas o que seria fazer a transformação dessa sombra bom o t de a mas que também pode ser escrita de forma vetorial assim a ter de abrir a 1 + b 1 a 2 + b dois toque e isso vai ser igual pelo que a gente pode olhar aqui nem na minha transformação ao seguinte primeiramente a primeira componente do vetor depois da transformação é somar esses dois carinhas aqui então façamos as obras vai ficar a 1 mas a 2 + b 1 + b 2 e o segundo carinho aqui da minha transformação vai ser três vezes o olha que eu fiz errado aqui há três vezes o primeiro componente está x 1 e volta escrito nesse início desculpe aí pessoal bom então vai ser três vezes a primeira componente portanto 3 às vezes esse rapazinho aqui então fica 3 a 1 mais três b1 maravilha pessoal ok bom então isso aqui a transformação da soma agora vamos ver a transformação individualmente qual seria a transformação aplicada no vetor a sozinho bom pra mim vai ser a mesma coisa que aplicará transformação no vetor a 1 e a2 isso aqui entre colchetes né uma forma de representar e vai ser igual novamente seguindo aqui a nossa regrinha vou pegar a um mais a 2 e aqui embaixo três vezes eo a 1 só que também entre colchetes que é essencialmente que a gente foi fazer aqui é ao invés de escrever com china já inscreveu com a ea transformação aplicada no vetor b bom vai ser essencialmente a mesma coisa que a transformação aplicada no vetor ar só com a letra b então resultados já podemos colocar aqui direto que é b1 mais b2 e aqui em baixo vai ser três vezes b1 maravilha campo 15 espaço e agora o que será fazer a soma dessas transformações que que é transformação aplicada no vetor a somada com a transformação aplicada no vetor b bom é somar isso com isso é ficar então na primeira coordenada a 1 mas a 2 mas b1 b2 e na segunda coordenada é ficar 3 a 1 mais três e um olhar interessante pessoal porque é interessante porque se eu aplicar as transformações individualmente depois somar o seu somar primeiro depois aplicar transformação eu tenho mesmo resultado portanto essa primeira condição aqui ó foi comprovada aqui nessa minha transformação zinha ter se eu a soma das transformações é igual a transformação da só vamos para verificar se isso aqui vai funcionar também tá se o produto pelo escalar também vai ser uma regra válida pra começar a brincadeira o que seria um número seu escalar ser multiplicado pelo meu vetor a pela definição de multiplicação por um escalar ceria ser vezes a primeira coordenada e servir eses a segunda coordenar isso aqui é ser vezes o vetor a e agora o que será que vai acontecer quando eu aplico a minha transformação nesse vetor zinho sevisa basta a gente dá uma olhadinha no que a definição da nossa transformação né olha a nossa transformação faz o seguinte a primeira coordenada do resultado é a soma das duas coordenadas a segunda corrida do resultado é 3 vezes a primeira coordenada então vamos voltar aqui teremos como resultado c que multiplica a 1 mas sei que multiplica a 2 e aqui embaixo três vezes e que multiplica a 1 beleza transformação aplicada no vetor c/v vetor a mas olha só o pessoal aqui eu posso colocar esses e essa constante sem evidência então isso é igual à ce que multiplica a um mais a 2 embaixo três vezes a 1 mas quem é esse rapaz aqui olha esse rapaz se eu dar uma olhadinha em cima é a transformação aplicada no vetor a então isso aqui é sei que multiplica a transformação no vetor a seu multiplicar primeiro depois fazer a transformação é a mesma coisa que eu fazer a transformação primeiro depois multiplicar então vimos que a segunda condição aqui também está vaga portanto temos aqui uma transformação linear olha só essa transformação zinho aqui é uma transformação linear sem sombra de dúvidas você pode apertar ok beleza mas como que eu faço a que algo não é transformação linear é fácil me dá um contraexemplo me dá um exemplo de uma coisa que não funciona nessas condições vamos lá embaixo para um exemplo aqui pra te mostrar como dar o com 13 vamos definir a transformação uma transformação te né do r2 no r 2 também né vamos fazer também de r 22 a gente tem uma base de comparação legal é essa minha transformação vai levar o nosso vetor zinho x 1 x 2 no vetor vamos ver x 1 ao quadrado e 0 simplesmente quem vamos ver se é ou não uma transformação linear primeiro tem que ver se obedece aqueles dois critérios então vamos começar o que aconteceria se eu aplicar essa minha transformação num vetor zinho aquele mesmo vetor zinho a dodô exemplo antónio ficaria aqui o vetor a 1 ao quadrado e aqui em baixo 0 e se eu pegasse a minha transformação e aplicasse no vetor ser vezes a ser vezes a é que ele victor zinhos e vezes a uns e vezes a 2 não é verdade e depois que eu aplicar a minha transformação vai ficar o seguinte a primeira coordenada vai ficar sei que multiplicar um elevado ao quadrado ea segunda coordenada vai ficar 10 e esse carinho que vai ser igual ao que isso vai ser igual à ce quadrado * a 1 elevada ao quadrado aqui embaixo 0 do mesmo modo eu posso faturar esses e quadrado é que é uma constante então vai ficar aqui c quadrado que multiplica o meu vetor a 1 ao quadrado e 0 e como esse negócio aqui é justamente a minha transformação aplicada no vetor a né podemos dizer que eu tenho aqui os e quadrado multiplicado pela transformação no vetor a isola vejam só portanto se eu pegar essa transformação tech essa transformação verdinha que é bem diferente da outra transformação acima pegar essa transformação se aplicar em sei que multiplica ao vetor a isso vai resultar em si quadrado vezes a transformação no vetor a o que claramente contraria aquela segunda condição zinha pessoal essa condição zinho aqui foi contrariada naquela nossa transformação verde olha só a gente tem uns e aqui é que a gente tem o mesmo ser se a gente olhar aqui embaixo aqui me aparece 16 é que aparece o seu quadrado portanto ó não é uma transformação linear ok com o tempo a gente vai ganhando uma certa prática um certo sexto sentido para saber se é ou não uma transformação e arma uma intuição por exemplo sempre que a gente vê é transformações que só envolvem combinações lineares somas modificações por escalar es a chance de isso ser uma transformação linear o grande agora quando começa a parecer uma coordenada sendo multiplicada pela outra ou potências 2 potências 3 levar o quadrado no palco levar a qualquer potência e a gente já começa a suspeitar que isso não vai ser uma transformação linear mas eu espero que isso aí tem a clarear um pouco as coisas para vocês tenha entendido o conceito de uma transformação de errar pois a gente vai precisar nos vídeos posteriores já o pessoal até os próximos vídeos