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Conteúdo principal
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Transformações lineares como produtos vetoriais de matriz

Transcrição de vídeo

olá pessoal pronto para mais um vídeo vamos dizer que eu tenho aqui uma matriz com n linhas e n colunas uma patricinha n por ele e ela vai ser construída seguindo uma lógica mais ou menos assim ó digamos que é que na primeira coluna ela começa com um número um e todos os outros termos o serão 100 em -1 temos que estão aqui serão compostos por zeros na segunda coluna o primeiro número em que aparecerá em 60 e o segundo vai ser 1 300 todo mundo a partir do segundo vai ser tudo 0 na terceira coluna quem vai ser o número 1 vai ser o terceiro termo ó então 0 aqui 0 aqui e aqui um e todos os outros terminais serão 10 ea gente vai continuar essa lógica até chegar na enésima coluna né na enésima coluna apenas o enézimo termo vai ser o então começa com 10 e vou colocar 100 00 por ano e menos 10 c só o último vai ser um desse jeito assim você percebeu mas apenas os elementos da diagonal principal vão ser 11 resta tudo 0 fechando a nossa matriz vizinha e vocês vão ver que essa é uma atriz é bem especial a ter um monte de propriedades bacana ea gente vai ver isso nos vídeos futuros mas eu estou mostrando aqui porque eu vou usar algumas delas neste vídeo tá bom vou chamar essa matriz de matriz identidade e vou apelidá-la deinter-4 ceni porém se ela fosse 2002 eu chamava de 23 33 e assim por diante então só para mostrar aqui ó a identidade 2 por 2 a 1 e silva matriz assim ó 1001 olha só a diagonal tem um resto a zero a identidade 3 por 3 a 1 e se é assim o 100 01 00 01 novamente ó a diagonal feita de um eo resto a 0 em uma das coisas especiais dessa matriz começa a aparecer por exemplo quando multiplico ela por um vetor algum vetor do rn então por exemplo digamos que eu tenho aqui um vetor zinho motorzinho x do rn tanque x 1 x 2 x 3 até o x n o que será o resultado da multiplicação da identidade pelo vetor xis aqui então vetor zinho x portanto se eu pegar a minha identidade e multiplicar pelo vetor x onde o meu x ele é um elemento do rn é porque afinal estão modificando com a identidade n o resultado aqui vai ser um vetor zinho do rn final a um emmy por n vezes uma n por um resultado o mainz por 1 onde quando eu fizer o produto lembra da definição do produto de matriz se eu pego essa linha e multiplicou por essa coluna e somos como se fosse o o o produto interno dessa linha com esta coluna então vai ficar um verde x 120 vezes 20 vx3 e todo mundo abaixo do xv x 0 no final dessa soma vai dar x1 é verdade já a segunda segunda linha aqui ó vai ser 10 vezes x 112 x 20 x 30 vezes todo mundo aqui para baixo então o final a sua verdade x 2 eu continuo tudo aqui até no final a hora que fizer que o produto interno produto escalar vai ficar 0 vezes 10 vezes 20 vezes todo mundo até que chega no x n vai ser um vez xm portanto o resultado vai ser aqui x n ok mas porque é esse rapazinho que a gente obteve aqui é o meu ver torches então uma coisa super bacana super fashion que a gente tem essa matriz identidade que a gente criou é que se a gente pega a identidade e multiplica por um vetor x n claro que com um x n pertencente ao rn o resultado vai ser o próprio vetor chinesinho olha só que bacana voltando um pouquinho aqui pra nossa matriz da entidade cada coloninha da nossa matriz identidade é um vetor que a gente vai dar um nome especial pra ele tá então esse vetor onde um é o primeiro componente a gente chama de vetor e 1 o vetor zinho onde um é o segundo componente a gente chama de e 2 então esse aqui é o e3 a gente vai até chegar nesse último que é o iene e esse conjunto de vetores que formam a matriz identidade e um e dois vizinhos zezinho até chegar no iene esse conjuntinho aqui é chamado de base canônica base canônica do rn bom mas o que isso significa se a palavra base está aqui então duas coisas têm que acontecer primeiro se é uma base eu tenho que gerar o rn a partir desses vetores outra coisa eles têm que ser linearmente independentes que esse negócio é linearmente independente é muito fácil de visualizar ó aqui tem um número 1 só que nos outros vetores ninguém tem 1 na primeira posição na verdade todo mundo tem 10 na primeira posição então seria impossível gerar o número 1 os anos outros vetores a mesma coisa provedores aqui que só tem só ele tem um número 1 na segunda posição então não dá para gerar nenhum desses caras a partir dos outros beleza continuar aqui por três até chegar no e independente é bem fácil de visualizar agora vamos mostrar que ele consegue gerar qualquer victor dr isso é muito simples também imagina que eu tenho um vetor zinho genérico aqui ó a 11 a 23 até a nr 13 do rn para gerá lo a partir dessa base o que eu tenho que fazer é pegar o o número zinho a 1 e multiplicar pelo vetor e um mais um número zinho a 2 vezes o vetor e dores até chegar no a ene vezes o vetor é porque quando eu fizer esse produtinho aqui o vetor que vai resultar vai ser um álbum aqui eo resto tudo zero e quando eu fizer é esse produto aqui vai ficar o zero o a 2 e o restante todo mundo do zero até chegar no último rapaz quando fizer o a ene vezes o vetor n 1000 monte de 0 e no final uma n e fica bem óbvio que se eu sou a esses vetores todos o resultado vai ser um vetor zinho ah tá também podemos usar como argumento que isso é que é simplesmente a minha matriz de identidade vezes o vetor zinho a n agora vamos explorar tudo que a gente sabe de transformações lineares nas propriedades que a gente viu dessa tal matriz identidade então vamos a um pouquinho de espaço aqui pra começar eu posso escrever qualquer vetor zinho x do meu rn como uma combinação linear da base canônica né qual que posso falar aqui o meu vetor x 1 x 1 vezes o eu e um mais x 2 vezes o e 2 até chegar no x n vezes o ressaltando aqui mais uma vez que esse é um e dois e três e n são vetores comum não né um de se o olhar aqui novamente são vetores por exemplo e 1 o primeiro componente a 1 eo resto a 0 no e 2 o segundo componente é dois eo resto é zero e cinco o quinto componente aoun o resto a 0 voltando aqui dito isso vamos pensar o seguinte se eu fizer uma transformação linear no nosso vetor x vai ser a mesma coisa que eu fazer a mesma transformação nessa soma aqui né então vai ser a transformação em x 1 1 e 1 mas x 2 e 2 até x n mas a gente sabe que pela definição de transformação linear a transformação da soma é as ondas transformações então eu posso separar esses carrinhos aqui ó a transformação em 1 x 1 e 1 somado com a transformação em x 2 e 2 até chegar na transformação de xenon100 e pela outra propriedade que a gente tem em toda transformação linear é que se eu tenho escalar multiplicado pelo vetor dentro da transformação eu posso tirar de dentro jogar pra fora e se escalar tá falar com a transformação de x 1 vezes é um é a mesma coisa que x 1 vezes a transformação no vetor zinho e um tá isso está na definição de transformação linear tá eu posso inclusive aplicar essas duas propriedades em toda transformação linear é por definição vai continuando a gente vai ter que x 2 vezes a transformação no vetor zinho e 2 até chegar no x n vezes a transformação do vetor zinho e que podemos fazer essa passagem aqui sem problema algum pela definição de transformação ele lê agora vou tentar escrever isso aqui de outra maneira esses carinhas aqui ó são todos os vetores coluna né então vou tentar escrever de outra maneira a minha transformação em x eu tenho aqui uma matriz onde as colunas são esses vetores que a primeira coluna segunda o luna até a enésima coluna bom essa matriz multiplicada por 1 x 1 x 2 até chegar no xl já vimos isso um monte de vezes ok então tudo vale neto estudo tirando das definições transformações nerds mas o que é bem bacaninha desse negócio aqui o que é a parte surpreendente é que a gente pegou tudo de vetores genéricos de transformações genéricas então a gente pode concluir que a partir de qualquer transformação linear eu posso escrever como se fosse um produto de matrizes ó qualquer transformação zinho linear pode ser descrita como um produto de matrizes então é inclusive de de maneira mais forte ainda eu posso simplesmente pegará a transformação que eu ia fazer no meu ver torches fazer essa transformação na base canônica ó georges a minha transformação na base canônica e depois multiplicar a base canônica transformada pelo vetor x certo posso fazer isso em toda transformação linear certo toda transformação linear pode ser descrita como um produto entre matrizes e produto entre matrizes vamos fazer um exemplo que para você entender melhor mas eu acho isso muito bacana muito legal chegar aqui então uma transformação que leva o r2 no r31 quem digamos aqui que minha transformação tinha um vetor zinho x 1 x 2 é igual ea primeira coordenada aqui dessa minha relação vai ser x 1 + 3 x 2 a segunda a ser 5 x 2 - x 1 ea terceira coordenada vai ser 4 x 1 + x 2 quem eu não gosto muito dessa representação então vou escrever na notação que eu gosto mais então fazer a transformação em x 1 x 2 gosto mais de escrever nessa forma vetorial aqui ó vai levar esse vetor nesse vetor aqui o primeiro a coordenadora x 1 e 6 3 x 2 aqui embaixo 5 x 2 - 1 x 1 e por último 4 x 1 mas x2 que gosto bem mais dessa notação não tô levando esse vetor nesse vetor aqui do r31 e agora vou fazer o que a gente estava vendo aqui em cima primeiro eu vou pegar a base canônica do r2 certo bom a base canônica do r2 é identidade 2002 que é essa matrizes minha aqui ó ok mas já que estou falando aqui base canônica base canônica básica nunca você sabe porque chama sybase canônico já mostrei porque é base mas vou te dar uma ideia porque é canônica não é porque ela foi canonizada tam canônica significa também padrão tá podemos mostrar aquele som e linearmente independentes todos os produtos porque se eu fizer o produto interno produto escalar entre cada um desses a gente vai ver que isso vai dar zero então são todos ortogonais com os outros além disso só como só tem 111 eo resto a 0 em cada um deles eu tenho que a norma de cada um desses vetores é um então é um padrão com certeza por isso é chamada de base padrão base canônica voltando aqui a então o que a gente vai fazer agora eu peguei a base canônica não erre dores e agora vou fazer a minha transformação zin aqui ó em cada um dos vetores coluna do meu e dois da minha matriz de identidade portanto eu vou pegar quando eu aplicar na transformação na identidade 2 vai resultar no seguinte vai ser uma matriz em que a primeira coluna vai ser a transformação no vetor zinho 10 ea segunda coluna vai ser a transformação no vetor zinho 01 ok então primeiro esta parte aqui o que vai acontecer se eu pegar a transformação no vetor zinho 10 é só olhar a regra aqui ó aqui no primeiro componente vai ser um mais três vezes 0 a 1 aqui vai ser cinco vezes o segundo cara então cinco vezes 0 - o primeiro cara então 0 - 1 então esse rapaz é menos um em baixo no último componente é quatro vezes 104 então transformação no vetor 10 vai me levar pra esse vetor zinho aqui e agora vamos para a transformação no vetor 01 que o primeiro componente aqui vai ser o x110 mais três vezes 13 aqui teremos cinco vezes 1100 então é 5 e pra finalizar quatro vezes 0 mais um chamo saque a transformação no vetor zinho 0 bom agora organizando esse negócio aqui essa matriz vizinha vai ser simplesmente 1 - 1 435 e um na virilha isso aqui é simplesmente uma maravilha porque a gente sempre ficou muito as coisas né olha só eu peguei fiz a minha transformação no na identidade e cheguei nessa matriz linha que eu vou chamar de a a partir de agora sempre que eu quiser fazer a minha transformação essa transformação aqui ó basta eu multiplicar essa matriz pelo meu vetor e vai ficar tudo certo facilita muito as coisas por isso que eu acho isso fantástico que é só para deixar mais claro pra você ó sempre agora que eu quiser fazer uma transformação aquela mesma transformação claro que a gente definiu aqui em cima de um vetor zinho x 1 x 2 do r2 basta pegar essa minha matriz a 11 - 14 351 e multiplicá la pelo vetor zinho x 1 x 2 fazendo esse produto aqui eu já tenho uma transformação pronta isso aqui é muito mais simples do que ficar fazendo essa regrinha aqui ó olha só que interessante afinal eu tenho aqui uma matriz uma matriz 3 por 2 1 e esse vetor que eu posso ler como se fosse uma matriz dois por um ea gente sabe que se eu fizer o produto dessa matriz o eu vou ter no final uma matriz 3 por um que é um vetor zinho r3 né ó isso aqui é uma matriz linha 3 puro porque se eu pegar essa primeira linha multiplicar por essa coluna eu vou ter esse rapaz aqui pegar essa segunda linha * essa coluna eu vou ter esse segundo rapaz aqui pegar essa terceira linha e modificar por essa última coluna vai ter o último rapaz aqui é fantástico e sou mais sensacional ok eu espero que você tenha gostado pessoal e até o próximo vídeo