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Produtos vetoriais de matriz como transformações lineares

Transcrição de vídeo

olá pessoal prontos para mais um vídeo acredito que você está bem familiarizado com a idéia de fazer um produto entre uma matriz e um vetor e o que eu quero fazer neste vídeo e mostrar pra você que fazer o produto entre o vetor de uma matriz é uma matriz um vetor é uma transformação na verdade uma transformação linear para isso vamos pegar aqui uma matriz uma matriz que o chamado de razão e vamos dizer que ela é composta por vetores esses vetores são as colunas da matriz lembra que a gente pode escrever vetores como uma listinha então temos vetor v12 na segunda coluna ver 3 a terceira coluna até o vetor vm bom como eu tenho n vetores vizinhos eu posso dizer que são atriz tem n colunas esse nosso vetor estiver m linhas essa vai ser uma matriz m1 por nm linhas n colunas e agora vamos pegar uma transformação vamos pegar será uma transformação do rnar3 transformação pega vetores no rm eleva para vetores no rm e agora para definir a transformação ela vai pegar um vetor x qualquer do meu domínio e vai ser igual a essa matriz razão multiplicada pelo fator x é você pode se perguntar mais nossa transformação esquisita tá meio diferente do que a gente tem visto até agora como transformações ou funções então para tirar esse tom de estranheza da sua cabeça vamos tentar mostrar pra você que isso aqui não é nada demais tá eu tenho aqui o vetor x 1 um membro do conjunto rn do meu domínio e ele foi levado pra essa matriz vezes ele se chover as o vezes o vetor x é pegar essa matriz e multiplicar por um vetor de cicinho que tem aqui é coordenada x 1 x 2 x 3 até chegar no x n a gente vai até o x n porque afinal o vetor tá no r isso aqui seria a minha função minha transformação e pela definição de produto de matrizes gente tem que isso aqui vai ser igual à x 1 que multiplicou vetor v1 mais x2 que multiplica o vetor v2 aires até chegar em x n que multiplica o vetor pn tá mas esses vetores vizinhos e um v2 né até o vn eles são membros de conjunto né veja que razão é uma matriz iemi por n então cada um desses vetores são vetores coluna com m linhas então são todos aqui pertencentes ao conjunto rm assim essa soma aqui também vai ser um elemento do r&m beleza assim esse elemento aqui azzam multiplicado pelo walter sanches vai ser um elemento do rm portanto eu posso dizer seguramente que aqui eu tô pegando um elemento do conjunto rn estou levando ele aqui para o conjunto rm então o que eu estou fazendo aqui é pegar um elemento do rm e com a ajuda da minha transformação zinha eu levo ele para o rm eu tô falando em termos gerais na sn podia ser 35 r 3 a r 2 r 5 então aqui eu tenho um vetor zinho x e através da minha transformação eu levo ele para a razão vezes x ok e ainda assim você pode vir me confrontar tá bom agora meio que parece com o que a gente tinha visto de função é porque está levando os membros de um conjunto para um outro conjunto mas quando você falava de função você escrever algo do tipo uma transformação ter aqui e se colocava todos os elementos na x 1 x 2 até o xml e aí então você escrevia todos os outros elementos do outro conjunto dentro de um dom parentes entre vírgulas e isso não está muito parecido bom vou tentar mostrar pra você que isso é de fato uma transformação uma função usando um exemplo numérico ok então vamos aqui vamos pegar uma matriz uma matriz que vou chamar de bebezão e essa matriz é 2 3 -1 4 e agora vou pegar uma transformação que chama de ter uma transformação do r dores no r 2 e r essa transformação vai pegar um vetor zinho x e vai levá lo no produto do meu bebezão com o vetor zinho x quem mas isso é igual ao que a minha matriz bezão também é que é a matriz 23 menos 14 que eu vou multiplicar pelo vetor x que como está não erre dois têm as coordenadas x 1 x 2 certo agora basta fazer a minha multiplicação de matriz do jeito que ela foi definido que a gente aprendeu né e vai ser a linha vezes coluna vai ser linha vezes coluna então primeiro essa linha aqui vez a coluna esse elemento vezes esse é 2 x 1 e eu vou somar com esse elemento vezes então vai acabar dando menos x 2 agora a linha 2 vezes a coluna três vezes x 1 x 1 somado com quatro vezes x 2 são mais 4 x 2 x kei então isso é o que resulta do nosso produto agora a gente tem que é o que a gente está mais familiarizado posso falar que a minha transforma então novo vetor x 1 x 2 vai ser igual pra isso eu vou ganhar um pouquinho de espaço aqui a 2 x 1 - x 2 como primeira coordenada e 3 x 1 + 4 x 2 como segunda coordenada e olha só bem parecido que a gente fazia anteriormente portanto o que a gente tem aqui ó esse negócio aqui é nada mais nada menos que uma outra maneira de representar essa transformação zinho aqui certo uma outra anotação e aí você pode me perguntar será que toda a multiplicação de uma matriz por um vetor vai ser uma transformação linear do jammil que responde isso no início do nosso vídeo né mas vamos ver aqui vamos verificar isso matematicamente ok mas pra verificar se alguma transformação linear quais são aquelas duas condições mesmo então as condições que devem ser obedecidos e são a transformação da soma de um vetor a converter b tem que ser igual a transformação do vetor a somado com a transformação do vetor p seu somar primeiro e depois fazer a transformação não pode ser diferente de o primeiro fazer a transformação dos vetores e depois somá-los quem a segunda condição a ser oferecida é que se eu pegar a transformação de uma versão x 1 escalar um vetor a tem que ser igual eu primeiro fazer a transformação e aí depois multiplicar pelo escalar quem não pode importar se eu faço uma antes ou depois da transformação beleza vamos conferir então começando aqui minha demonstração vamos chegar a uma matriz razão quem essa matriz vai ser com m linhas e n colunas e multiplicar por um vetor che se para representar essa matriz razão eu posso pegar simplesmente aqui vários vetores vizinhos com m coordenadas né com m linhas e fazê los como coluna da matriz ontem aqui o v12 3 até chegar no v n que como cada um desses vetores tem m linhas então tem aqui uma matriz i m por ele e isso vai ser multiplicado pela matriz x 1 x 2 até chegar no x n agora fazer essa contínua já vimos várias e várias e várias vezes como que se multiplicam atriz não é então esse produto aqui vai dar x 1 que multiplica o vetor v1 mais x2 que multiplica o vetor ver dores até chegar em mais x n que multiplica o vetor pm lembra é fazer linha vezes coluna e com a gente já viu até num exemplo nesse vídeo mesmo né como cada um desses vetores vizinhos têm m linhas né essa soma aqui vai ser um membro do rm né essa soma que também vai ter a emi linhas vamos aqui um pouquinho mais para baixo dito isso se eu tenho uma matriz razão m por n e eu multiplica essa matriz por um vetor a mais b que será que vai acontecer podemos representar essa operação aqui com o sendo a razão que multiplica a 1 mas b1 a 2002 até chegarem à m mais pn não é verdade portanto do mesmo jeito que a gente fez aqui em cima quando multipliquei a materializar por um vetor x teremos aqui um a um mas b1 vezes o vetor zinho ver um igual aconteceu aqui ó somado com a 2 + b 2 vezes o vetor zinho v2 igual aconteceu aqui até que a gente chega no a eni mas bn vezes o vetor zinho vn novamente análogo que aconteceu aqui em cima tá afinal essa matriz razão essa mesma matriz razão mas sem dúvidas aqui vejam que é como se no lugar do x1 que eu coloquei aqui eu escrevi há um mais bela sabemos também que quando é o típico escalar por vetor a propriedade distributiva e vário então isso aqui pode ser inscrito como a 1 vezes vê um mais b1 vezes vê um assim como esse carinha vira a 2 v 2 + b 2002 o papa são vetores esses rapazes aqui sozinho vetor zin até chegarem a nv n mas bn vêem esse eu é mudar algumas agências aqui reagrupar eu posso escrever isso como sendo a 1 v 1 mas a 2 v 2 mas lá até chegar à m v m com os componentes que tem o bei multiplicando né e um v 1 mas b2c 2 + b n vn viu que eu fiz aqui foi simplesmente juntar todos os termos com oa nessa parte sozinha aqui e os termos com b né eu juntei nessa parte sozinha aqui tá foi só rearranjar os meus valores está nada demais aconteceu e fazendo isso fica mais fácil enxergar uma coisa especial olha só que interessante que vai ser isso aqui isso aqui é simplesmente pegar a minha matriz e multiplicar por a 1 a 2 até a n ou seja isso é que é a razão multiplicado pelo vetor a da mesma forma isso aqui ó é simplesmente a minha matriz razão * b1 b2 até bn olha só então é a razão multiplicado pelo vetor zinho b e assim a gente acabou de ver que eu fazer a soma de depois multiplicar pela matriz é a mesma coisa que eu multiplicar pela matriz depois fazer assunto olha só então assim a gente pode mostrar que essa primeira condição aqui está satisfeitíssima beleza agora enquanto a segunda condição gente vai ver que ela é até mais fácil de entender os lados sendo um pouquinho mais pegamos então nossa matriz razão e eu vou multiplicar essa matriz por c vezes o meu vetor assim tá a gente já viu que pode definir essa matriz razão muito bem com essa matriz de vetores v12 até vn é verdade isso aqui vou multiplicar pelo produto de ser como o vetor rasinho e isso aqui é se a 1 se a 2 até chegar no can2010 que a gente já vê se um monte de ver só hoje né sei que multiplica a 1 vezes o vetor zinho v1 mas sei que multiplica a 2 vezes o vetor zinho vendedores mas até chegar no seco multiplica a ene vezes o vetor zinho vn e mais uma vez aqui ao poder colocar esses e em evidência a final da multiplicação de escalar os corretores apresentam a propriedade distributiva acredito que eu já fiz um vídeo sobre isso mas é muito simples de provar tá tão colocando se em evidência então isso aqui é igual a cei que multiplica a 1 v 1 mas a 2002 mas é chegar no a eni vn mas quem é esse rapazinho aqui essa página que é simplesmente minha matriz razão vezes o vetor zinho há portanto aqui eu consegui mostrar pra você se eu pegar um vetor x 1 escalar e então fazer a multiplicação qual a atriz é a mesma coisa que esse é o primeiro multiplicar a matriz com o vetor e só depois multiplicar pelo escalar portanto a nossa condição número 2 também foi satisfeita portanto se a multiplicação de matriz por um vetor satisfaz ambas as condições eu tenho aqui um resultado muito forte um resultado muito interessante vamos aqui para baixo a notar então veja que temos aqui um resultado muito importante produto o produto entre matrizes eses e vetores i3 de vetores sempre olha só o destaque sempre é uma transformação transformar maçã linear isso é muito forte até porque no próximo vídeo eu vou mostrar pra você que toda transformação linear pode ser descrita como um produto de matrizes ou com um produto entre matrizes e vetores e isso tem um resultado muito forte um resultado que é amplamente usado só para fazer aqui um parêntesis nem para colocar isso um pouco no seu dia a dia você tem você tem seu xbox e playstation está sempre por aí andando em ambientes 3d atirando quanta coisa todas essas imagens são renderizadas através de transformações lineares transformações de vetores por exemplo quando você vê lá um cubo e okubo tá mais ou menos nessa direção aqui você muda o ângulo de visão dele ele passa a aparecer mais ou menos assim todo esse tipo de de transformação divisão são transformações de matrizes são cálculos com transformações lineares com produtos de matrizes inclusive no próximo vídeo vou provar para você que todas as representações 3d que que a gente tem por aí nos computadores nos videogames são simplesmente multiplicações de matrizes todos esses raios dessas placas gráficas nossas placas gráficas são simplesmente máquinas de fazer continhas com matrizes por isso para rodar bem um jogo a gente precisa de algo dedicado a fazer essas contas né com com rapidez com velocidade são as tais da cgtp use a cpu espero que você tenha gostado e até o próximo vídeo tchau tchau pessoal