Mais sobre adição de matrizes e multiplicação por um escalar

RKA2MP - Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? No vídeo anterior, a gente definiu duas transformações lineares. Uma transformaçãozinha S, que era uma associação do Rⁿ com o Rᵐ, e a transformação T, que também era do Rⁿ no Rᵐ. A gente também tinha definido o que era somar essas duas transformações e aplicar no vetor "x". Isso era simplesmente aplicar a transformação S no "x", aplicar a transformação T no "x" e somar os resultados, lembrando, é claro, que o "x" é um vetor do Rⁿ, cada um destes dois aqui é um vetor do Rᵐ e, como Rᵐ é um subespaço, com todas as propriedades do subespaço (é fechado na soma), quando eu somos estes dois rapazes, o final também é um vetorzinho no Rᵐ. Assim, eu consigo falar aqui: S + T continua sendo uma associação do Rⁿ para o Rᵐ. Outra coisinha que a gente disse no vídeo passado é que: toda transformação linear pode ser escrita como o produto de uma matriz por um vetor. Então, S aplicado em "x" é a mesma coisa que uma matriz A vezes o vetor "x", e T aplicado em "x" também é a mesma coisa que um vetorzinho B (diferente de A) multiplicado, também, por "x". É claro que ambas as matrizes aqui são de dimensão "m" por "n", porque estas transformações, tanto a S quanto a T, são do Rⁿ para o Rᵐ. E esta foi a primeira definição que a gente fez. Isto é uma definição. A gente fez uma outra definição aqui, que foi justamente o que é uma soma de matrizes. A primeira coisa da nossa definição é que essas matrizes têm que ter a mesma dimensão. Vou até escrever aqui: mesma dimensão. Ambas são "m" por "n". A gente definiu a resultante desta soma de matrizes como o seguinte: a primeira coluna da matriz soma é pegar o vetor da primeira coluna de A e somar com o vetor da primeira coluna de B. É a coluna 1 de A somada com a coluna 1 de B, formamos a coluna 1 da matriz soma. Vou separar aqui. Do mesmo modo, a segunda coluna da matriz soma é somar a segunda coluna da matriz A com a segunda coluna da matriz B. E eu continuo nesse raciocínio até chegar na última coluna, que é a enésima, onde eu somo as duas últimas colunas e chego à última coluna da matriz soma. Ok, isso foi a nossa definição de soma de matrizes. E por que a gente definiu a soma de matrizes desta maneira? A gente definiu assim para que esta soma, destas transformações, possa ser representada aqui como a soma das matrizes que representam essas transformações multiplicada pelo vetor "x". Portanto, esta é a principal motivação da gente definir a soma de matrizes dessa maneira. Foi para a gente ter esta expressão bonitinha, que funciona de uma forma linda, aqui nesta soma de transformações. Parece que isto está tudo muito abstrato, não é? Então, vamos, de fato, colocar a mão na massa: vamos somar duas matrizes. Vou começar com um exemplo bonitinho, um exemplo de uma matriz 2 por 2. Tenho aqui uma matriz 2 por 2: 1, 3, -2 e 4. E vou somá-la com outra matriz 2 por 2. Lembra? Tem que ter a mesma dimensão. Digamos que a próxima matriz é 2, 7, -3 e -1. E qual vai ser o resultado aqui? Bom, a gente definiu somar matrizes como a soma das suas colunas. Então, basta somar as colunas. Mas o que é somar um vetor coluna? É somar cada uma das suas coordenadas correspondentes. Acaba que, no final das contas, somar as matrizes vai ser somar todos os números que estão nas posições correspondentes. Mas estou falando desse jeito porque foi dessa maneira que eu defini. Aqui, então, vai ficar 1 + 2, e aqui embaixo, -2 somado com -3. Agora, a segunda coluna. Como vai ficar a segunda coluna? É somar as duas colunas, então, vai ficar: 3 + 7, somado com 4 + (-1). Isto vai acabar ficando igual a... Vamos lá, este aqui é 3, -5, 10 e 3. Como eu disse aqui, no final das contas, eu acabei somando todos os elementos da matriz pegando as posições correspondentes. 1 + 2 = 3, 3 + 7 = 10, -2 + (-3) = -5, 4 + (-1) = 3. Inclusive, sabendo disso, eu posso até reescrever essa definição de soma de matriz aqui. Quer ver? Tenho aqui a minha matriz A. É uma matriz que tem o elemento a₁ ₁, a₁ ₂, até chegar no a ₁n, certo? Aqui continua, a₂ ₁, até a última linha, que é a m₁. E aqui, eu vou continuando até chegar no último elemento, que é o "a mn". Do mesmo modo, eu tenho a matriz B. A matriz B aqui, de forma bem similar, é: b₁ ₁, b₁ ₂, até b ₁n. Aqui eu desço até o b m₁ e vou escrevendo todo mundo até chegar no "b mn". Vamos ganhar um pouquinho de espaço. E agora vamos para o que a gente tinha dito mesmo: que, se eu fizer uma matriz A + B, o resultado final é somar elemento a elemento, respeitando a posição em que eles estão, correto? Então, aqui, vai ser o a₁ ₁ somado com a₁ ₁. Aqui em baixo é o a₂ ₁ somado com o b₂ ₁. Até chegar no "a m₁" somado com "b m₁". Aqui eu vou ter o a₁ ₂ somado com b₁ ₂. E vou assim até chegar no "a ₁n" somado com "b ₁n". E eu desço, claro, até o último elemento, que é o "a mn" + b "mn". Está aí, nossa nova definição de soma de matriz. Claro que essas duas definições são equivalentes. Esta aqui ocupa um pouco menos de espaço. Eu acabo me sentindo mais confortável escrevendo desta maneira porque a gente já definiu, já viu como é a soma de vetores. Mas no final das contas é tudo a mesma coisa e, com certeza, isto aqui é uma das coisas mais fáceis que você vai encontrar nessa nova empreitada matemática que a gente vê aqui no ensino superior. E agora, vamos voltar para o nosso produto por escalar, que a ideia é muito similar. Bom, a gente definiu que, se eu pegar um escalar, multiplicar por uma transformação e depois aplicar o vetor "x", seria equivalente a pegar a transformação em "x" e depois multiplicar esse resultado pelo escalar. Isso é uma definição, a gente definiu assim essa operação. A gente definiu também que, se a gente pegar um escalar "c" e multiplicar por uma matriz A, é equivalente a pegar esse "c", esse escalar, e multiplicar pelos vetores colunas dessa matriz. Então, "c" vezes A vai ser "c" vezes a coluna a₁, "c" vezes a coluna a₂, até chegar em "c" vezes a coluna "a n". E por que a gente definiu o produto por matriz assim? Foi só para facilitar a nossa vida aqui: quando eu escrevo isso como "c" vezes (B vezes o vetor "x"), inclusive, no último vídeo, a gente pegou e mostrou direitinho como a gente chegava nesta conclusão, a gente definiu o produto do escalar com uma matriz assim só para facilitar a nossa vida aqui, para a gente poder escrever que esta transformação linear aqui é "c" que multiplica a matriz B e, então, multiplicar pelo vetor "x". Toda a motivação de definir o produto do escalar por uma matriz desta maneira foi para facilitar a nossa vida aqui. Agora, vamos ver como isso funciona se a gente usar números. Vamos ver uma aplicação prática. Digamos que eu vou que multiplicar o escalar 5 por uma matriz 3 por 2. 1, -1, 2, 3, 7, 0. Mas como que a gente faz isto aqui? Pela minha definição, eu vou pegar o escalar e multiplicar por cada uma das colunas de vetores. E como eu multiplico um escalar por um vetor? Eu multiplico por cada um dos elementos. No final das contas, vai ser o 5 vezes cada um destes elementos aqui. Então: 5 vezes 1 = 5, 5 vezes 2 = 10, 5 vezes 7 = 35. Vamos para o segundo vetor, que é esta segunda coluna. 5 vezes -1 = -5, 5 vezes 3 = 15 e 5 vezes 0 = 0. Olha só então, novamente, o produto do escalar por uma matriz acabou sendo multiplicar o escalar por todos os elementos da matriz. Vamos até reescrever a definição aqui. "c" vezes A. Como a gente já viu, "A" pode ser definido assim: vai ser o escalar C multiplicado por cada elemento. Então, isto vai ser "c" vezes a₁ ₁, "c" vezes a₁ ₂, até chegar em "c" vezes "a ₁n". Na segunda linha, fica "c" vezes a₂ ₁, e para todo mundo aqui é a mesma coisa, até chegar em "c" vezes "a m₁". Faço para todo mundo, desço aqui, vejo as diagonais. E o último vai ser "c" que multiplica "a mn". Ok, pessoal? No final, é tudo muito simples. É multiplicar o escalar por todos os elementos da nossa matriz. Espero que isso tenha ajudado a clarear alguns conceitos, ou que seja, pelo menos, uma revisão do que você viu no ensino médio. O.k., pessoal, até o próximo vídeo. Tchau, tchau!