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Mais sobre adição de matrizes e multiplicação por um escalar

Transcrição de vídeo

olá pessoal pronto para mais um vídeo no vídeo anterior a gente definiu duas transformações lineares é uma transformação zinha s que era uma associação do rm com werre m ea transformação t que também era do rn no r m ea gente também tinha definido o que era somar essas duas transformações né e aplicar no meu vetor zinho x e isso era simplesmente aplicar a transformação é se no x aplicar a transformação teno x e somar os resultados né lembrando que é claro é que o meu x é um vetor do rn cada um desses dois aqui é um vetor do rm e como rm1 subestação né com todas as propriedades sobis passa fechado na soma quando eu sou esses dois rapazes o final também um factor zinho no rm assim eu consigo falar aqui é sim mais te continua sendo uma associação do rn para o rm outra coisinha que a gente disse nos viram o vídeo passado é que toda transformação linear pode ser descrita como um produto de uma matriz por um vetor então é se aplicado em x é a mesma coisa que uma matriz a vez do vetor x e ter aplicado em x também é a mesma coisa que um factor zinho bbb11 diferente é multiplicado também por x é claro que ambas as matrizes aqui são de dimensão m por n é mm por n porque essas transformações tanto s quanto atenção do rn para r e essa foi a primeira definição que a gente fez bom isso aqui é uma definição certa a gente fez uma outra definição aqui que foi justamente o que é uma soma de matrizes primeira coisa a nossa definição é que essas matrizes têm que ter a mesma admiração até escrever aqui ó mesma dimensão certo ambas são m por n a gente definiu a resultante dessa soma de matriz como o seguinte a primeira coluna da matriz oma é pegar o vetor da primeira coluna de ar e somar com o vetor da primeira coluna de ver é a coluna de a somada com a coluna um db formamos a coluna 1 da matriz soma bom se você parar aqui do mesmo modo a segunda coluna da matriz oma é somar a segunda coluna da matriz a com a segunda coluna da matriz p e eu continuo esse raciocínio até chegar na última coluna minha é que a enésima mundial soma das duas últimas colunas e chego na última coluna da minha matriz soma hockey isso foi a nossa definição de soma de matrizes e porque a gente definiu a soma de matriz dessa maneira bom a gente definiu assim pra que essa soma que dessas transformações possa ser representada aqui ó como a soma das matrizes que representa essas transformações multiplicado pelo vetor zinho x certo portanto essa é a principal motivação da gente define a soma de matrizes dessa maneira foi pra gente ter essa expressão bonitinha que funciona de uma forma linda aqui nessa nossa soma de transformações não parece que isso aqui tá tudo muito abstrato né então vamos de fato colocar a mão na massa vamos somar duas matrizes vou começar com um exemplo bonitinho exemplo uma matriz 2002 tem aqui uma matriz 2 por 2 1 1 3 -2 e 4 e eu vou somar ela com uma outra matriz 2002 lembra tem que ter a mesma dimensão digamos que a próxima triz é 27 - 3 - 1 e qual vai ser o nosso resultado aqui bom a gente definiu somar matrizes como a soma das suas colunas então basta somar as colunas mas o que é somar um vetor coluna é somar cada uma das suas coordenadas correspondentes acaba que no final das contas o mar as matrizes vai ser somar todos os os números que estão nas posições correspondentes mas eu tô falando desse jeito porque foi dessa maneira que o define aqui então vai ficar 1 mais dois e aqui em baixo - 2 somado com menos 3 agora a segunda coluna com que vai ficar a segunda coluna que é somar as duas colunas não vai ficar 3 mais sete somado com quatro mais - 1 isso vai ficar vai ficar igual a vamos lá esse aqui é 3 - 5 10 e 3 estão como eu disse aqui no final das contas eu acabei somando todos os elementos da matriz pegando as posições correspondentes a 1 com 23 o 3 com 7 10 - 21 - 3 - 54 - 13 inclusive pessoal sabendo disso eu posso até reescrever essa definição de soma de matriz aqui tenho aqui a minha matriz em a atrizinha né é uma atriz que tenho elementar um a 12 até chegar no iene certo continuar 21 até na última linha que é a m e aqui eu vou continuando continuam até chegar no último elemento que é o aaa mn certo do mesmo modo eu tenha matrizes linha b patricinha b que de forma bem similar é ver 11 de 12 até o b1 n aqui eu deixo até o bê m1 e eu vou escrevendo todo mundo até chegar no bm n certo e vamos ganhar um pouquinho de espaço e agora vamos ver o que a gente tinha dito mesmo é que se eu fizer uma matriz a + b o resultado final é somar tanto a elemento respeitando a posição que eles estão corretos então aqui vai ser o meu a 1 somado com b1 aqui em baixo o a 21 somado com o bê 21 até chegar no a m1 somado com bm um aqui eu vou ter o meu a 12 o marido com o meu b12 show dá uma rolagem aqui e eu vou assim até chegar no a 1 n somado com b1 n e eu desço né claro até o meu último elemento que é o a tmn mais b pmn aí nossa nova definição de soma de matriz claro que essas duas definições são equivalentes é essa aqui ocupa um pouco menos de espaço né eu acabo me sentindo mais confortável escrevendo dessa maneira porque a gente já definiu nem gente já viu como é nossa soma de vetores mas no final das contas é tudo a mesma coisa e com certeza isso aqui é uma das coisas mais fáceis que você vai encontrar nessa nova empreitada matemática que a gente vê aqui no ensino superior e agora vamos voltar para o nosso produto por escalar que a ideia é muito similar bom a gente definiu que se eu pegar um escalar e multiplicar por uma transformação e depois aplicar no vetor zinho x seria equivalente a pegar a transformação em xis e depois multiplicar esse resultado pelo escalar isso é uma definição a gente definiu assim e se essa operação a gente definiu também que se a gente pegar um escalar cm x uma matriz a é equivalente a pegar esses e esse escalar zezinho e multiplicar pelos vetores colunas dessa matriz então ó então ser visava acessíveis à coluna um serviço à coluna a 2 até chegar em serviços a coluna a m1 e porque a gente definiu o produto matriz assim não foi só para facilitar nossa vida aqui ó quando eu escrevo isso como um serviço existe de vezes o vetor x né inclusive no último vídeo a gente pegou e me mostrou direitinho com que a gente chegava nesta conclusão né a gente definiu o produto do escalafón matriz assim só para facilitar nossa vida aqui pra gente poder escrever que essa transformação linear aqui és e que multiplica a matriz b então multiplicar pelo vetor zinho x ok então toda a motivação da gente define o produto do escalafón atriz a dessa maneira foi para facilitar nossa vida aqui maravilha bom agora vamos ver isso como o que funciona é se a gente usar números nem vamos ter uma aplicação prática digamos que eu vou que multiplicar o escalar cinco por uma matriz e lá três pilares 11 - 12 370 mas como que a gente faz isso aqui pela minha definição eu vou pegar meu escalar e multiplicar por cada uma das colunas de vetores e como eu multiplico um escalar por um vetor é muito rico por cada um dos elementos então no final das contas venceu cinco vezes cada um desses elementos aqui então aqui ó cinco vezes 15 52 10 5 e 7 35 anos foi o segundo vetor é que essa segunda coluna cinco vezes menos 1 e no sim 563 15 e 500 é só então novamente ó o produto escalar por uma atriz acabou sendo multiplicar o escalar por todos os elementos da matriz vamos até escrever a definição aqui o espaço c vezes há como a gente já viu a gente pode definir assim vai ser o meu escalar ser multiplicado por cada elemento então isso vai ser c a 16 c a 12 até chegarem ser vezes a 1 n na segunda linha fica c 21 e pra todo mundo aqui é a mesma coisa até chegar em cm um é fácil pra todo mundo disso aqui e veja as diagonais e o último vai ser seco e multiplica a mn ok pessoal do final tudo muito simples né é multiplicar o escalar por todos os elementos da nossa matriz espero que isso tenha ajudado a clarear alguns conceitos né ou que seja pelo menos uma revisão do que você viu no ensino médio o pessoal até o próximo vídeo tchau tchau