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Transcrição de vídeo

olá pessoal e profissional mais um vídeo digamos que eu tenho aqui uma transformação que leva ao r dores no r 2 e r essa minha transformação é ser representada por uma multiplicação de uma matriz por um vetor é claro que a gente sabe que toda transformação linear pode ser representada assim e essa em especial vai ser a matriz 13 26 vezes um vetor zinho qualquer do meu domínio então o vetor zinho do r2 só pra ficar mais fácil de entender vamos tentar desenhar um esqueminha aqui então eu tenho o meu domínio da minha transformação que é o r2 ea minha transformação é levar os elementos do r2 para o meu contra o domínio que acontece que também é o r2 eu poderia até fazer que uma associação do domínio nem ele mesmo mas em prol da simplicidade vamos deixar que a 1 com 2 conjuntinhos pra finalizar temos aqui um elemento tinha no meu domínio e com a ajuda da minha transformação ele vai ser associado a um elemento do contra domínio can agora vamos pegar um sub-conjunto s aqui no meu contra o domínio que é composto digamos pelos vetores bom vetor zinho nulo é um deles 00 retorno e o outro é o vetor 12 então esse aqui é um sub-conjunto do meu condomínio que tem esses dois elementos vamos representá los aqui o digamos que aqui está o vetor zinho nulo e sei lá aqui mais ou menos está o vetor zinho 12 agora se eu quiser procurar quais são os elementos do domínio que com a ajuda da minha transformação chegam nesse conjuntinho s ou seja chega nesses dois elementos o que eu vou estar procurando é o que eu chamo de pré imagem de s então vamos escrever aqui ó a pré imagem de s só para lembrar essa notação que o ter elevada - um pré imagem de s quando a clicamos t o pessoal não se esqueça de quando a gente tinha falando da imagem da pré imagem de alguma coisa a gente tem que falar é em relação ao que né relação à transformação t só que é importante porque só falar imagem ou pra imagem eu estou falando do domínio ou do condomínio todo tá então quando a gente tiver especificando a imagem de um conjuntinho s sob uma transformação teu quando aplicado uma transformação te beleza falando em primário em qual que foi a definição de imagem que a gente viu bom a pré imagem eram todos os elementos do meu do minho e ó todos os elementos do r2 tal que se eu aplicar transformação te o resultado pertence ao meu conjuntinho s isso é a definição de pré imagem e como seria uma outra maneira de escrever isso aqui seria assim eu pego vetores vizinhos do meu domínio certo x pertencente à r 2 tais que como a gente pode representar uma transformação com um produto entre matrizes e eu vou chamar essa atrizinha aqui de a e agora essa segunda parte é que eu vou escrever usando essa notação matricial portanto x pertence ao r dores tal que a minha matriz a vezes o vetor sim um x tem que ser um elemento de s então tem que ser igual ao vetor nulo ou aves o vetor zinho x tem que ser igual ao vetor 12 pronto inscrevemos de outra forma essa expressão zinho aqui portanto se eu quiser encontrar pra imagem do meu subconsciente s sobre a transformação te basta encontrar o conjunto de vetores aqui no meu domínio que satisfazem essas duas equações aqui então esse conjunto de solução vai ser a minha prima a gente está procurando e essa primeira equação zinho aqui seria 11 326 x x 1 x 2 e o resultado desse produto tem que ser um vetor zinho nulo o vetor zero zero olha eu acredito que você talvez já tenha reconhecido aqui ó o conjunto de soluções de sistema aqui é o que a gente chama de espaço nulo dessa matriz bom além disso a gente tem também esse rapazinho aqui para se preocupar portanto temos essa e essa equação aqui para a gente resolver 132 6 x 1 x 2 igual 12 e todas as soluções dessa equação juntando com todas as soluções dessa equação é que o chamado de pré imagem do meu subir coxa junto s quando aplicamos tem ou soube t1 jeito de resolver esses sistemas aqui ó é escalonando a matriz completa ou a matriz aumentada de sistema a primeira é 1 326 00 ea outra vai ser 11 326 112 certo então aqui as duas matrizes aumentadas pra gente escalona las começando aqui o escalonamento eu vou pegar o dobro da linha 1 subtrair alinhadores e vou substituir na linha 2 e vamos ver o que a gente vai obter aqui a primeira linha não foi alterada só segunda então vou copiar a primeira linha aqui um show aproveitar e fazer paralelamente aqui na minha segunda matriz final a o que eu quero fazer quero escalona só esse pedaço aqui então o escalonamento que eu fiz é prova vai valer pra outro vamos agora fazer a operação na usando aqui esses valores vizinhos duas vezes essa primeira linha que fica a 260 subtraindo esses elementos vai ficar a 1000 à final 2 - 206 mil 600 - 0 a 0 já nessa matriz aqui da direita vai ficar 262 quando subtraiu vai ficar 2 - 206 menos 60 e 2 - 2 0 também é só a gente acabou já conseguimos deixar a matriz escalonada afinal pra baixo da diagonal principal dessa matriz incompleta só tem 10 abaixo que só tem 10 e agora como é que a gente volta pra resolver sisteminha aqui e veja que as primeiras colunas essa coluna que essa coloninha são colunas pivô e como essas colunas estão associadas com a variável x 1 a gente vai falar que x 1 é uma variável pivô já a segunda as colunas aqui ó elas não são colunas de gol ea gente sabe disso porque não tem uns nessa coluna como elas estão associadas com o x 2 x 2 a gente vai falar que x 2 é uma variável eo variável livre e como os dois é uma variável livro a gente pode simplesmente determinar um valor que a gente quiser pra ela então vamos determinar o seguinte x 2 vai ser igual a um número te onde st é um membro dos reais é o número real com isso determinado vamos ver o que vai acontecer com a variável x 1 então vamos ganhar um espacinho aqui beleza tinha coisa que a gente vê aqui eu tenho que x 1 + 3 x 2 é igual a zero e nesse sistema x 1 + 3 x 2 vai ser igual a 1 agora como a gente determinou x 2 e é o número real t aqui temos x 1 + 3 t é igual a zero seu subtrai 3d dos dois lados da equação vou ter q x 1 ec é igual a menos 3 t já que nesta equação x 1 mais três t vai ser igual a um subtraindo 3 dois lados também eu tenho que x1 é ser igual a 1 - 3 d vamos escrever essas duas famílias de solução aqui de uma forma matricial vamos lá vamos pegar a solução da primeira equação aqui ó se eu pegar o x 1 x 2 que é justamente o que eu estou procurando a gente viu que te é o meu x 2 já o x1 é menos 3 t - 3d aqui como eu posso colocar esse tem evidência isso aqui fica te que multiplica menos três aqui e um aqui certo onde ter é um número zinho real portanto aqui eu tenho a solução da primeira equação vamos então vendo aqui a solução pra segunda equação aqui xô colocar um pouquinho mais espaço o meu x 1 e mail x 2 vão ser representados da seguinte forma ou já começar a colocar no meu tenha evidência né aqui pro x 2 vai ser tênis então é um vezes te já o x1 ficar 1 - 3 t como teta multiplicando esse vetor que eu só posso colocar ao menos três mas já que tem que ser um menos 3 t tem que ter um vetor zinho aqui somando olha agora sim eu tenho um menos três vezes te no x 1 e no x 0 o t0 mais te achei representei a solução dessa segunda com as falhas só com isso em mãos eu tenho a minha pré imagem do ecce quando eu aplico te lembrando é claro que é se são esses dois vetores vizinhos aqui certo e todos os vetores que podem ser escrito dessa forma são a minha pré imagem de s pois eu aplicar a minha transformação t eles vão ser levados para um dos dois vetores do meu conjunto s e eu posso inclusive representar graficamente essa família de soluções aqui quer ver bom pra isso show ligar meu gráfico aqui cheguei agora pra trabalhar melhor pk que minha soluções copiar e colar aqui em baixo onde está mais limpinho ótimo vamos que vamos vamos começar representando esse aqui ontem o vetor zinho - 31 - 31 pode ser representado por esse pontinho aqui na verdade é esse vetor zinho aqui certo e como eu tenho um tema explicando ator falando são todos os múltiplos de -3 11 então imagina que teve ali dois então é ficar menos 6 2 e assim por diante acaba sendo todos os carinhas dessa família aqui ó toda essa é tinha aqui ok certo então a ré tinha azul e seu conjunto de soluções desse rapazinho aqui e as soluções desse caboco veja aqui ó te vezes menos 31 que essa reta tinha azul somado com o vetor 10 o vetor 10 é esse vetor zinho aqui ó é essa reta transladada transportada uma unidade para a direita portanto há aqui onde era menos 31 fica menos 211 aqui onde era menos 62 fica menos 52 essencialmente uma reta com a mesma inclinação só que transladada uma unidade vizinha para a direita vamos representar aqui a nossa segunda família nós com segundo conjunto de soluções ok então laranja a gente tem esse conjuntinho vamos lá então moçada recapitulando tudo o que aconteceu aqui a gente tinha um conjuntinho s sub-conjunto do condomínio que tinha como elementos vetores 0012 certo a gente queria encontrar todo mundo do domínio que quando eu aplicar se essa transformação tem aqui fossem levados a esses dois vetores vizinhos certo encontramos a família de solução resolvendo essas duas equações e representamos graficamente aqui com essas retas beleza pra ficar mais claro ainda aqui eu tenho o meu vetor 00 aqui eu tenho o meu vetor 12 acabamos descobrindo que quando eu aplico a minha transformação zinha t todos os pontos dessa reta azul acabam sendo levados para 100 e quando a gente aplica transformação temos os pontos dessa retina laranja eles acabam sendo levados para o vetor 12 certo agora uma informação já é legal pra você é todos os pontos dessa linha azul até chama lá de a neta azul a gente acabou de ver que quando eu aplico a transformação te nela ela acaba chegando ela acaba sendo levada no vetor nulo no vetor 007 aplique a transformação te na reta e todos os pontos viraram um vetor nulo lembra aquele que eu até quando mostrei aqui essa equação falei 'ah você já deve ter percebido que é o espaço no lugar matriz e o espaço no da matriz são justamente todos os vetores que eu multiplico a matriz e tem como resultado o vetor nulo agora de forma similar eu vou tentar o contrário tem aqui uma transformação definida e qual será o conjunto de vetores que quando eu aplico a matriz eu chego no vetor zero certo essa família devedores é o que eu vou chamar de núcleo da transformação assim a minha etnia azul aqui é o meu o nuclio núcleo de t é em muitos livros mesmo em português a gente chama o núcleo de cannon dt inclusive a nossa abreviação para escrever esse pessoal aí é justamente cá r é cor de carne da minha transformação então definir o melhor aqui o núcleo o canon da transformação são todos os vetores do meu domínio que quando eu aplico a transformação o resultado é o vetor nulo o nosso 0 e já que a gente definiu é o núcleo com uma transformação e toda transformação pode ser inscrito como um produto né de uma matriz para o vetor portanto com isso o núcleo da minha transformação né o carnaval da minha transformação é igual a o espaço no da minha matriz a é vou escrever e nulo ao espaço no da minha matriz a maravilha pessoal espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo