If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Pré-imagem de um conjunto

Definição de pré-imagem de um conjunto. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

  • Avatar marcimus pink style do usuário Mateus Bueno
    Já é o segundo vídeo em que comenta sobre a imagem de uma transformação e não dá nenhum exemplo numérico, ajudaria muito o entendimento. E esses diminutivos estão matando.
    (4 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA2G - Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? Então, vamos começar colocando uma transformaçãozinha T qualquer, uma transformação que vai do conjunto "x" até o conjunto "y". Eu tenho aqui o conjunto que eu chamo de "domínio", este é o conjunto "x". E este conjunto, quando aplicada a transformação, vai ser levado a um conjunto "y", que eu chamo de "contradomínio". Ou seja, quando eu pego um elemento do conjunto "x" e aplico a transformação, ele vai ser levado, vai ser associado a um elemento do conjunto "y". É isso que a transformação T, que a função T faz: pega elementos do conjunto "x" e associa a elementos do conjunto "y". Agora, vamos pegar um conjunto A. Um conjunto A que é um subconjunto de "x". Vou desenhar o conjunto A aqui. E A é subconjunto de "x". Esta notação aqui é um símbolo para subconjunto. Agora, me ajuda a lembrar aqui o que é a imagem do A. Lembra que a gente definiu isto? A imagem de A quando a gente aplica a transformação T. Imagem de A quando aplicamos T. Vamos lembrar o que é fazer a imagem do A quando aplicamos T, ou a imagem de A sob T. Bom, o conjunto que a gente chama de imagem de A quando aplicamos T vai ser o seguinte: eu pego todos os membros do conjunto A e aplico a transformação em todos eles. O resultado dessas transformações todas é o que eu chamo de imagem de A quando aplicado T. E, claramente, isto vai ser um subconjunto do contradomínio. Então, sem dúvida sobre o que é a imagem de um conjunto. Mas só para ter certeza de que ficou bem claro mesmo: aqui está o conjunto A, peguei um elemento dele, apliquei a transformação. Ele veio para cá. Se eu pegar um outro elemento do conjunto A, aplico a transformação, digamos que ele caia neste elemento aqui. Pego outro elemento, aplico, ele vem para cá. E quando eu pego a transformação de todos os elementos, digamos que eu tenha como resultado esta "amebinha" aqui, eu chamo esta ameba, este conjunto aqui, de imagem do A quando aplicamos a transformação T. E se a gente pensasse no problema contrário? Se eu começasse aqui do contradomínio. Então, digamos que eu tenha o "y", o contradomínio, aí eu pego um subconjunto aqui dentro do contradomínio. Digamos que eu o chame de S. S é um subconjunto do contradomínio. E agora me vem na cabeça: quem será o conjunto que deu origem a este S? Eu tive que aplicar a transformação em que carinhas para chegar no S como resultado? Esse é o desafio que a gente vai tentar resolver agora. Então, essencialmente, o que eu estou procurando é: Os elementos que estão no domínio, os elementos do conjunto "x", tal que, quando eu apliquei a transformação T neles, eles foram parar no conjunto S. Vou tentar mostrar isso graficamente para você. Eu tenho o conjunto aqui, que é o domínio, o conjunto "x". Estou tentando imaginar um subconjunto do "x" que, quando eu aplico a transformação T, todos os elementos desse subconjunto acabam sendo levados para um elemento deste conjunto laranja S. Eles são associados a um elemento de S. Basicamente, o que está escrito aqui nestas chaves é a descrição deste conjunto em rosa. Agora quero te chamar a atenção para um detalhe importante. Eu não estou dizendo que todos os elementos de S vão ter uma correspondência. Ou seja, pode ser que tenha um carinha aqui no contradomínio, até fazendo parte do S, que ninguém do conjunto rosa acaba chegando nele, ele fica aqui todo solitário. Mas está tudo bem, porque o que eu estou dizendo aqui é que todo mundo deste conjunto rosa acaba chegando em um elemento do conjunto S. mas não necessariamente todos os elementos de S são usados. Mas este conjuntinho aqui tem um nome especial. A gente usa esta notação para descrevê-lo: T⁻¹(s). E isso é chamado de pré-imagem. Olha só que bonito, pré-imagem de S quando aplicada a transformação T. É a pré-imagem do S quando eu aplico T. Outro jeito de falar é pré-imagem de S sob T. Agora que eu dei nome aos bois, vamos escrever aqui. Este conjuntinho rosa é quem eu chamo de pré-imagem de S quando eu aplico a transformação T. O que faz bastante sentido: "imagem" é quando eu pego um subconjunto do domínio e levo ao contradomínio por uma transformação. O resultado dessa transformação é o que eu chamo de imagem. Já a pré-imagem, eu pego um subconjunto do contradomínio e me pergunto: qual o subconjunto do domínio que foi levado até este conjunto aqui? Agora, uma perguntinha extra para você, um "bonus round". O que seria a imagem da pré-imagem de S? Vamos pensar aqui. A pré-imagem de S seria este conjunto rosinha aqui. Quando eu aplico a transformação neste conjunto rosa, o que acontece é que ele vai sendo levado para elementos do conjunto laranja. Outros chegando aqui em elementos do laranja e tal. Só que não necessariamente eu ocupo todo o laranja. Pode até ser que eu ocupe todo ele, mas não necessariamente isso acontece. Então, eu posso falar que o resultado desta transformação é um subconjunto do conjunto S. Agora, só para finalizar com uma coisa legal, eu acredito que é por isso que a gente usa esta notação de elevado a -1 para falar da pré-imagem. É meio como se a imagem da pré-imagem se cancelasse uma com a outra, porque eu acabo construindo um subconjunto de S. É claro que isto é tudo muito abstrato, a gente está fazendo a descrição da coisa toda e tudo mais. Então, no nosso próximo vídeo, eu vou calcular, de fato, a pré-imagem de um subconjunto qualquer do contradomínio. Ok, pessoal, espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo!