Transformações de vetor

RKA - Olá, pessoal. Prontos para mais um vídeo? No último vídeo, vimos uma definição um pouco mais formal de função. Vimos que uma função nada mais é do que você pegar os elementos de um conjunto, digamos que um conjunto X, e levar esses elementos a um outro conjunto Y. Ou seja, se eu tenho aqui um conjuntinho X qualquer, que eu vou chamar de domínio, e um segundo conjunto Y, que eu chamo de contradomínio... Quando eu falo "levar os elementos", na verdade o que estou fazendo é associar um elemento de X a um elemento de Y. Fazer essa associação é o que eu falo que é "levar um cara do X ao conjunto Y". Vamos tentar te dar um exemplo meio esdrúxulo. Imagina que X, aqui, é um conjunto, uma cestinha de bananas. E aqui no Y tem uma cestinha de maçãs. Quando eu falo que eu levo as bananas às maçãs, é o seguinte: cada bananinha desse conjunto, eu associo com uma maçãzinha dessa outra cesta. Não se isso te ajuda ou não, mas essa pode ser uma ideia que você pode fazer com funções. Ok? O que estou tentando fazer aqui, é tentar ampliar o seu conceito de função, porque eu acredito que você, quando ouve falar em função, o que vem à sua cabeça é algo do tipo: f(x) = x² Então, eu sempre coloco um número na minha função... Aí eu faço uma continha com esse número e obtenho um outro número. Mas o conceito de função é muito mais amplo do que isso. Afinal, por função, a gente pode associar qualquer elemento de um conjunto com um elemento de outro conjunto. Associações de conjuntos é o que a gente chama de "função", não necessariamente uma continha. E os vetores são elementos de conjuntos. Aqui, vetores... Digamos que aqui eu tenho um vetor "xizinho" qualquer. Eu posso falar que ele, por exemplo, pertence ao conjunto Rⁿ. Ou seja, esse meu vetorzinho é uma representação particular de uma enupla. Vamos lembrar o que é Rⁿ, o que é uma enupla. Portanto, o nosso... Rⁿ, eu acho que a gente definiu há muito tempo atrás, lá no comecinho dos vídeos de álgebra linear... Rⁿ vai ser, para a gente, o conjunto de todas as enuplas... E as enuplas são... Enuplas x₁, x₂, x₃, até xn. Tal que esses meus x₁, x₂, x₃, xn, são todos números reais, são todos pertencentes ao conjunto dos reais, ok? Perfeito? Aqui, a definição de enupla, o que é o meu Rⁿ. Bom, então digamos que esse aqui, esse meu conjunto X é o meu Rⁿ. E esse "n" aqui que poderia ser qualquer coisa, poderia ser Rᵐ, Rˢ... Esse "n" simplesmente representa um número natural qualquer que vai me falar quantas enuplas eu tenho. Por exemplo, se fosse 5, seria uma quíntupla. Se fosse 6, seria uma e héxupla. Ou seja, 5 números ou 6 números no meu vetor ordenado aqui. Então, nosso xizinho aqui vai ser um vetorzinho que a gente pode escrever como sendo uma matriz coluna aqui de temos ordenados, uma lista ordenada com x₁, x₂, x₃... Até chegar ao xn. Se fosse o R5, eu teria 5 valores aqui. E esses carinhas, esses x₁, x₂, x₃,... xn, são todos números reais, ok? Então, uma lista ordenada de números reais, é o que eu represento como o meu vetor x. Beleza? Então, tentando jogar o vetor aqui para a parte de função: digamos que eu tenha aqui um conjuntinho, eu chamo ele de "Rⁿ". E aqui um outro conjuntinho que eu posso chamar de "Rᵐ". E esse "m" pode ser um número igual ao "n", um número diferente de "n"... Isso aqui é um número e isso aqui é outro. Digamos que meu vetor x é um elemento do conjunto Rⁿ, e aqui no meu Rm eu tenho um elemento chamado vetor y, por exemplo. Se eu pegar e fizer uma associação desse elemento com este outro elemento, posso chamar essa associação de função "f". Para descrever melhor, aqui temos que a minha função f está definida no Rⁿ, como domínio, e leva para o Rᵐ, que é o meu contradomínio. Então, só para reforçar essa definição aqui: quando eu tenho essa flechinha entre dois conjuntos, significa que eu estou associando os elementos do conjunto da esquerda com os elementos do conjunto da direita. É o que a minha função faz, associa elementos daqui com os elementos daqui. Bom, provavelmente você já viu tudo isso no último vídeo, mas eu queria aproveitar esse para reforçar um conceito, porque a gente viu no vídeo passado a seguinte anotação: que a minha função f leva o elemento x ao elemento x². Então, para diferenciar essa flechinha dessa flechinha, com essa barrinha aqui atrás... Essa flechinha me fala que conjunto está sendo levado a qual conjunto, quem é domínio e quem é contradomínio. Já essa flechinha com a barrinha fala: "O meu elemento do domínio é levado para qual elemento do contradomínio? Qual regra eu vou usar para fazer a associação?" Então, essas são as diferenças das flechinhas. Aqui é sobre conjuntos, e aqui é sobre elementos. Então, acabamos de fechar esses parênteses aí. A direção em que eu estou indo, na verdade, é a seguinte: funções são simplesmente a associação de elementos entre conjuntos. Como os vetores são elementos de conjuntos, eu posso fazer funções envolvendo vetores. E eu meio que dei uma pincelada nesses conceitos aí no último vídeo, quando eu falei de função vetorial. Vamos pincelar de novo. Arrumando um pouquinho de espaço... Se o seu contradomínio é um subconjunto do meu Rᵐ, onde esse "m" é um número maior do que 1, você está falando de uma função vetorial. Então, se meu contradomínio é feito de vetores, ou seja, pares ordenados, ternas... qualquer conjunto ordenado de mais de um número, eu estou falando de uma função vetorial. Bom, acho que estou sendo um pouco abstrato demais aqui. Vamos pegar alguns vetorezinhos e colocar a mão na massa. Digamos que eu tenha uma função "f", onde eu pego os elementos x₁, x₂, x₃, e isso vai ser igual a... Vejamos: x₁ + 2 vezes x₂... E a segunda coordenada vai ser 3x₃. Eu acho que eu ainda não defini coordenadas formalmente para você, mas eu acho que fica bem fácil, bem óbvio, já que você tem um treinamento prévio de álgebra, né? Então, usando um pouquinho do aprendizado que a gente teve agora há pouco, posso falar que a minha função vai pegar elementos do R³... Temos 3 coordenadas aqui, então R³. E vai levar no R². Olha só, temos 2 coordenadas aqui. Então, o R³ é meu domínio, R² é meu contradomínio. Veja que isso aqui é uma tripla, ou então "terna", e aqui eu tenho o que a gente pode chamar de dupla, ou então "par". E eu posso escrever também na forma vetorial a minha função. Olha! Posso falar que f pega o vetor x₁, x₂, x₃, e vai levar ao vetor... Aqui a gente coloca a primeira coordenada, que é x₁ + 2 vezes x₂, e aqui 3 vezes x₃. Certo, pessoal? Vamos fazer aqui um exemplo numérico para ficar mais claro para vocês, vamos começar com um bem simples. Digamos que eu quero aqui a função do vetorzinho... 1 na primeira coordenada, 1 na segunda, 1 na terceira coordenada. Isso vai ser igual... Bom, aqui na primeira coordenada eu pego x₁ + 2 vezes x₂, então: 1+2, 3. E na segunda coordenada eu pego 3 vezes o x₃, então aqui também vai ser 3. Então, levou o vetor 1, 1, 1 e o vetor 3, 3. Vamos fazer um outro exemplo agora. Então, se eu pegar o vetor, vamos ver... 2, 4, 1. O que será que vai me retornar? Vamos lá: x₁, + 2x₂, então: 2 + 8 = 10. E 3 vezes o x₃ então, aqui: 3. Portanto, esse vetor 2, 4, 1 vai ser associado ao vetor 10, 3. E como será que eu posso visualizar esses carinhas? Arrumando um pouco mais de espaço... Bom, vetores em 3 dimensões nem sempre são muito fáceis de desenhar, mas vamos tentar fazer aqui para você. Digamos que eu tenho aqui meus eixos... Aqui os eixos. Esse aqui é o meu eixo x₁, esse aqui é o x₂, e esse aqui é o x₃. No x₁ eu tenho a coordenada 1. Então, aqui vem 1 unidade. No x₂ também, 1 unidade. E no x₃, 1 unidade. Então, vou plotar aqui no R³ o meu vetorzinho. Então, o vetor vem da origem até esse pontinho que eu tracei. Vai ser mais ou menos esse carinha aqui. Se eu pegar esse vetor, 2, 4, 1, vamos ver o que acontece. O x₁ é 2. O x₂ é 1, 2, 3... 4. Então, vai estar aqui e aqui... E ele sobe também 1 coordenada, sobe 1 unidade. Portanto, seria esse vetorzinho aqui. Então vamos fazer agora o contradomínio, que é o R², que é bem mais simples de representar. A gente está até bem acostumado com ele. Aqui está o nosso x₁, aqui está o nosso x₂. Primeiro, em amarelo, o 3, 3. Temos aqui 1, 2... 3. 1, 2, 3. Então, está aqui quem o 1, 1, 1 associa. Portanto, olha só que interessante, eu peguei aqui no meu domínio, o R³... Aqui é o meu contradomínio, o R². E minha função. Minha função levou esse vetorzinho 1, 1, 1 aqui a esse vetorzinho 3, 3. Foi isso o que minha função fez. Se a gente for olhar no vetor 2, 4, 1, ela vai levar para o outro vetor, que a gente vai desenhar agora: aqui já foi 3... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. E 3 na outra coordenada, então aqui mais ou menos. Está desenhado o vetorzinho 10, 3. Portanto, o que a gente pode dizer que aconteceu aqui foi que a gente pegou o nosso vetorzinho no R³ e ele foi associado a esse outro vetorzinho no R² pela nossa função f. E o que a gente vai fazer agora é meio que mudar alguns nomes. Vamos agora chamar essas funções de transformação. Tome cuidado para não confundir com a transformação de Laplace, com a transformada de Laplace que a gente viu nos vídeos de equação diferencial. Pois, naquele tipo de transformação, a gente tem funções como incógnitas, como variáveis a serem trabalhadas. Aqui não, aqui é diferente. Aqui o que a gente chama de transformação vão ser funções envolvendo vetores, funções vetoriais. Vamos escrever isso então, para a gente não esquecer: transformações vão ser funções... ...envolvendo vetores. Ok? Funções envolvendo vetores. E, em vez de a gente usar um "f" minúsculo para denotá-las, a gente vai passar a usar um "T" maiúsculo de transformação. Inclusive, o meu palpite do porquê eles chamam isso de transformação é porque, na álgebra linear, eu pego esse vetor e mudo para esse. Ou seja, esse vetorzinho aqui está sendo transformado nesse outro vetor. Então, por isso que eu acredito que eles chamam esse tipo de operação de transformação. E esse tipo de pensamento, esse tipo de conceito faz muito sentido, por exemplo, quando você está trabalhando com uma programação de videogame, quando você está programando um game e quer dar uma visão de certo objeto de um outro ângulo, você faz uma transformação dos vetores. Aí, eu poderia falar bastante sobre esse negócio de como as transformações são muito usadas no universo da programação gráfica, do videogame, mas o que eu quero fazer aqui é simplesmente te dar ideia da transformação. Porque isso é justamente uma função, e a gente só está trocando um pouquinho a anotação, em vez de colocar um efezinho, a gente vai usar um "T" maiúsculo. Então, por exemplo, a gente pode definir do mesmo jeito. Uma transformação do R³ no R², e essa transformação do x₁, x₂, x₃, vai levar no par, ou na dupla... Por exemplo, x₁ + 2x₂, 3 vezes x₃. Ok? Então, essa transformação levaria o vetor 1, 1, 1 no vetor 3, 3. Você pode se perguntar ou perguntar para mim "Então, por que todo esse trabalho? Por que ficar trocando f por T?" Estou fazendo isso porque, quando você pegar um livro de álgebra linear e tal, e aparecer esse "T" maiúsculo para você, você vai falar "Poxa, nunca vi isso! O que será que ele quer dizer?" E eu quero que você tenha na cabeça que, quando ele está falando de uma transformação, ele está essencialmente falando de uma função. Uma transformação é uma função, só que uma função vetorial. Ok? Espero que você tenha gostado, e até o próximo vídeo. Tchau, tchau.