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Mostrando que transposição de A x A é inversível

Transcrição de vídeo

eu tenho uma certa matrizes aqui uma matriz a que vai ser uma matriz n por calma acrescentou que tem linha ficar colunas mas não vai ser uma matriz qualquer vai ser uma matriz em que todas essas colunas aqui você linearmente independente então eu vou ter uma matriz já que vc é um aqui vai ser a 2 e todas os vetores colunas dessa matriz são vetores que serão linearmente independente eu voltei até o vetor cá porque são caco alunos que todos eles você realmente independente então vou escrever isso aqui a1 a2 e todos os vetores colunas dessa matriz até o ventura carros são vetores linearmente independente mas o que isso é que significa isso implica que a única solução para a equação x 1 vezes há um mais x 2 vezes a 2 mas todo esse caminho até chegarmos no xk vezes a carregou a 0 a única solução para a situação aqui são todos esses valores de che ser iguais a zero então todos esse xis aqui todos esse xis aqui todos eles têm que ser iguais a zero isso que o que implica ele ser linearmente independentes ou noutro maneira da gente escrever dizer que essa matriz aqui vezes o vetor x que vai ser o elemento x 1 x 2 e todos eles até x cá e se essa matriz vezes esse vetor xytex egov 80 são todos esses elementos a quiche serem iguais a zero isso aqui é uma outra forma de escrever essa equação aqui nós já vimos isso várias vezes então nós podemos escrever que a única solução às temos que a única solução para a equação da má crisa vezes o vetor x é igual 2010 é o vetor x e é igual a zero ou uma outra maneira de dizer isso é que tudo isso é que vem do fato desses vetores como no saque ser linearmente independente assim a gente pode dizer que a independência linear das colunas a independência minea das colunas com base que a gente pode dizer que a única solução preocupação da batizada pelo everton x 1 a 0 é o vetor x é igual a zero nós podemos dizer que quando a gente tem vetores linearmente independente o espaço nulo da materializar é igual ao vetor zero ou podemos definir esse conjunto apenas como o retorno isso é que tudo é apenas uma revisão agora ele porque nós não sabemos as dimensões então sei que pode não ser uma matriz quadrada mas não sabemos se tudo isso aqui necessariamente é invertido ou não mas talvez nós possamos construir uma matriz invertido com ela bem vamos estudar então é transposta de aves a matriz a nós temos aqui a matriz já transposta vezes a matriz a nós sabemos que as dimensões da matriz avô cn por cá então as dimensões da transposta de árvores e cá por ele ea matriz transposta de avisa matrizaria e ter dimensões cá por cá então o que nós podemos dizer é que essa matriz do produto na matriz transposta de aves a materializar vai ser uma matriz quadrada logo um bom lugar para começar mas pela matriz divertindo então vamos ver se isso é verdadeiramente invertido mas não sabemos absolutamente nada de a tudo que nós sabemos é que os gestores começam linearmente independentes vamos ver então se a transposta vezes é invertido então eu quero ver se o produto dessas matrizes aqui é um produto invertido e para mostrar que invertida se podemos mostrar que todas as colunas ou linearmente independente então saberemos que inverti viveu então se eu tenho uma matriz quadrada digamos que eu tenho uma matriz quadrada hoje com essa assimetria essa matriz quadrada ela vai ter as colunas linearmente independente então as colunas delas começam linearmente independentes eu lembra as colunas de energia independente todas elas vão estar associadas às colunas principais comer centrais quando você coloca a matriz na forma escalonada reduzida por linha então se você tem uma matriz quadrada cá por casa significa que a forma escalonada reduzida dessa matriz vamos clonados reduzida por linha dessa matriz será k colunas vai ter cá colunas e será uma matriz com dimensões que há por cá ser uma matriz quadrada com dimensão de ficar por cá e só há uma matriz quadrada cá por caco carlinhos centrais que é a matriz identidade há matrizes identidade conca com dimensão cá quando você faz algo para reduzir a fome escalonada e você consegue uma crise de identidade e significa que essa matriz aqui é uma matriz inverti gil significa que essa matriz vai ser uma matriz é invertir quando eles deixados aqui pro final do vídeo mas só quero mostrar aqui nós já sabemos que sim é uma matriz quadrado eu quero streck das matrizes a concluídas linearmente independente a matriz transposta de a visa materializar também vão ter como os linearmente independente já que só tem uma matriz quadrado com comune a mente independente isso não indica forma escalonada reduzida da matriz vai ter cá colunas e vai ser uma atriz de identidade o que vai dizer que tudo isso aqui vai ser invertido então vamos ver se eu consigo mostrar que as colunas desses caras aqui são linearmente independente vamos dizer que eu tenho um vetor ver que esse vetor ver pertença o espaço nulo da matriz a transposta vezes a matriz a o que significa que se eu fizer a matriz a transposta vez a matriz às vezes o vetor b e sei que vc é igual ao vetor zero agora o que vai acontecer se multiplicar ambos os lados dessa equação para transporte desse cara aqui então vou querer fazer ver transposto desse cara vezes vê transposto de sicca e você pode ver isso como o produto entre o vetor batres ou em geral se você tomar um vetor linha vez do vetor coluna é essencialmente um produto escalar então do lado direito dessa equação aqui o que você vai ter vai ser o vetor zero que vai ser o vetor zero agora o que o lado esquerda que vai ser mas já vimos isso antes então se você tem o transporte do vetor mesa transposta nós podemos ver isso aqui como podemos ver isso como transporte de um vetor você pode vê lo como um fator lima você também pode visualizar como é triste como dizer que vê uma matriz fica por um então ver transporte vai ser uma matriz um por cá tomou já vimos isso que vai ser igual ao produto invertido ou a transposta nego vai ser agora transposta do produto invertido ou se nós tomamos o produto dessas duas coisas e é transposta dela que é a mesma coisa que tomamos o produto invés dos transportes de ambas essas duas matrizes aqui então dados aqui nós podemos substituir esse produto que por a vez do vetor ver transposta e isso aqui vai ser vezes o vetor a ver vezes produto aqui isso vai ter que ser igual ao vetor zero agora o que isso bem quando nós temos o produto entre o vetor transposto o outro vetor isso aqui é um vetor neai o vetor e viu um vetor matriz a um vetor otan que o produto vetorial então muita gente tem o vetor y transposto vez um vetor y isso é a mesma coisa que o vetor y vezes esse vetor y é mesma coisa então isso aqui é a mesma coisa que materializava everton de vezes a matriz a vez de victor victor chegou a ver vezes a ver o lado direito aqui vê-se gol que bem esse lado direito aqui vai ser igual a zero na realidade e fazer uma correção aqui quando eu tenho um motor v vetor zero o vetor ver vai ter cá elementos e o vetor zero também tem k elementos e quando eu tomo esse produto do vetor transposto vezes o vetor zero eu vou fazer cada elemento do ventura que vezes cada elemento do vetor zero é composto por 10 então isso é que esse produto que o vetor ver o vetor zero vai me dar ao escalar 0 não sei que vai ser como o skala 0 não me chegou vetor zero quero deixar isso bem claro quero esclarecer isso aqui porque caso não fosse assim não faria sentido então desse lado direito aqui quando multiplica o vetor zero vezes é transposta dever fica apenas o número zero e não vetor zero então nós podemos dizer que quando nós temos a ver vezes haver esse é igual a zero ou podemos dizer que a magnitude é que o cumprimento do vetor ave ao quadrado é igual a zero agora só existe um vetor que tem comprimento 10 que é o vetor zero não terei um outro vetor que vai ter comprimento 0 então o que a gente pode dizer aqui é que esse vetor que à vezes vê a vezes vê vai ter que ser igual ao vetor zero mudança que deve ser colorida e tozé zero uma vez que o cumprimento desse vetor zero e agora nós começamos dizendo que vê o membro do espaço no buddha transposta de ar significa que vê pode ser qualquer membro do espaço no da transposição de ar só que a partir desse pressuposto verifica-se que ver também que seu membro do espaço no da matriz a porque a vezes o vetor ver é igual a zero então vamos escrever isso então se ver se vê um vetor que pertence ao espaço nulo da matriz transposto de a vezes a valorizar então ver pertence ao espaço lulu da matriz a agora o espaço lulu da nossa matriz a porque os vetores são independentes linearmente independente só possui um vetor ele só contém o vetor zero ou seja só pode acontecer uma coisa que só tem que haver apenas uma única entrada que se o vetor ver pertence o espaço no meio da matriz transposta para batizar então o vetor pertence o espaço no dia então nosso vetor ver vai ter que ser igual ao ver do zero agora uma outra maneira de dizer isso é que a gente tem um vetor ver que pertence ao espaço na matriz de transporte de aves a matriz da esposa de ar e esse vetor perdesse espaço número de matrizaria o que a gente pode dizer é que o espaço nulo da matriz a transposta vezes a materializar é igual o espaço no meio da matriz a rigor um único vetor que vai ser o vetor zero agora o que isso aqui nos diz isso nos diz que a única solução que a única solução pra a transposta de a vezes a vezes o vetor x qualquer igual a 0 a única solução para essa equação vamos escrever aqui a única solução para isso a única solução é o vetor x ser igual a zero seria golpe do zé porque o espaço no da matriz transporte vezes a matizar é o mesmo que o espaço no dia e só tem um vetor lá e esse vetor é o vetor zero e o espaço no entanto vencer solução para isso então se uma única solução para o espaço nulo é essa aqui isso significa que as colunas significa que as colunas da matriz a transposta vezes a materializar são colunas linearmente independentes você poderia escrever basicamente todas as cobranças lineares das colunas por peso das entradas de xixi nós na verdade fizemos isso aqui nós fizemos isso aqui bem aqui no início esse é o mesmo argumento usado aqui então se todas as colunas são linearmente independência e eu disse que todas as colunas primeiramente independente uma matriz a transposta vezes matrizes a em suas colunas de realmente independentes e uma matriz quadrada é uma matriz quadrada por definição isso veio da definição nós podemos dizer que a matriz transposta vezes a batizar o melhor vamos dizer que a forma escalonada reduzida por linha da matriz transposta de a pesquisa batizar vai ser igual a matriz identidade de dimensão carné isso aqui me disse então isso me diz que a matriz transposta de a vezes a batizar é em invertigo isso é em artigo que é um resultado bastante coerente eu comecei como atriz que não era qualquer matriz era uma matriz que possuía colunas linearmente independente então não era apenas uma matriz qualquer uma matriz que possuía dimensões um pouco estranhas e que não era necessariamente uma matriz quadrada mas que eu poderia construir uma matriz quadrada usando transposta essa matriz poderia construir uma matriz quadrada usa transposta dela e que agora nós sabemos que tem colunas linearmente independente e que é uma matriz quadrada também e portanto é uma matriz em inverti viveu paramos por aqui hoje até breve no próximo vídeo