If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:19:50

Visualizações de espaço nulo à esquerda e espaço linha

Transcrição de vídeo

olá pessoal pronto para mais um vídeo no último vídeo a gente tinha essa matriz a a2 por três aqui ea gente descobriu todos os subs passos associados a ela descobrimos o espaço no holo o espaço coluna descobrimos o espaço nulo e o espaço coluna da sua transposta é que a gente pode chamar de espaço no lado esquerda o espaço linha que é essencialmente os espaços gerados pelas linhas vou tentar colocar tudo isso num lugar só porque agora que eu fique está tudo meio espalhada aqui no nosso quadro né e tentar visualizar melhor os seus carinhos principalmente para a gente ver como eles se relacionam um com o outro tudo bem vamos então copiar aqui essa matriz o copiá-la e colar aqui embaixo vamos ver se eu acho os elementos-chave do último vídeo é por exemplo que nosso espaço coluna que é esse rapazinho aqui eu também vou jogar lá pra baixo vamos lá aqui nosso espaço coluna é esse vetor zero 24 vamos escrever aqui espaço coluna diá que mais que a gente tem aqui também temos o espaço nulo à esquerda de anã que é o espaço gerado por este 3121 vamos lá espaço na esquerda que também pode ser encarado como espaço no muro da matriz transposta e como a gente viu ele é o espaço gerado pelo vetor zinho 21 que mais a gente acha lê lá tá faltando um espaço no local espaço num o pato ac espaço nulo são esses dois vetores vizinhos de r 3 também copiar e colar aqui copiado pronto o espaço nulo são esses dois setores vizinhos no r31 está faltando aqui agora só espaço linha né o espaço coluna da minha transposta ataque também só copiar e colar copiando e eu acho que a gente já pegou todo mundo e agora está todo mundo aqui vamos ver se a gente consegue visualizá los e vamos tentar representá los aqui quando eu pego a minha transformação zinha te aplicado no vetor zinho x do r31 é essa minha transformação é essa matriz a vezes o x que a gente tem a gente tem uma transformação cujo domínio é o r3 né não 3 colunas aqui e o contra o domínio vamos ver se multiplicam matriz dois por três vezes um vetor três por um o resultado é um vetor zinho dois por um portanto o condomínio vai ser o r2 ok então vamos apresentar aqui embaixo é temos aqui o onde vai ser meu r 3 que é meu domínio domínio aqui vai tal nosso r 2 aqui é meu contra o domínio e agora vamos ver o que acontece quando eu multiplicaria utilizar quando eu aplico a minha transformação o vetor vai sair daqui vai ser associado a um vetor zinho aqui que primeiro que é o meu espaço coluna de ar no espaço coluna de ar o espaço gerado pelo vetor zinho 2 - 4 é então é um sub espécie sudoeste dois afinal isso aqui é um vetor sim duas dimensões não só para realizar nosso espaço coluna o espaço gerado pelas colunas de ar porém percebo é que todas essas colunas são múltiplas dessa eu posso pegar qualquer uma das três para gerar o espaço né e como a gente pode ver aqui é um rapaz não erre dores então vamos anotar meu espaço coluna de ar é um sub espaço do r2 vamos ver quem mais aqui há um substrato do r2 o espaço numa esquerda também um espacinho do r2 o espaço na esquerda também os hubs passo do r2 veja o espaço no lado esquerda é um espaço no lugar transposta também há um substrato aço do r2 então vamos representá los graficamente é show ganhar um pouco de espaço aqui vamos desenhar o r2 r 2 e pode ser muito bem representado aqui então vamos começar com o espaço coluna como o nosso espaço coluna vai ser representado o vetor em 2004 é representada aqui ó 12 - 1 - 2 - 3 - quatro então aqui é mais ou menos aqui está o nosso vetor zinho 2 - 4 que é o espaço gerado por ele o espaço gerado por eles são todos os múltiplos desse vetor poderia falar que é as combinações lineares que a gente consegue aqui mas se só tem um vetor acaba sendo os múltiplos dele então acaba sendo essa retinha aqui ó essa tinha que tem a direção do nosso vetor olha só que legal pessoal nessa reta que é uma representação geométrica do espaço coluna de ar vamos representar agora o espaço coluna à esquerda de ar ou então é o espaço coluna da transposta já que a gente viu no último vídeo que são a mesma coisa bom o espaço nulo à esquerda já é 21 12 já está aqui um pra cima esse aqui mais ou menos esse vetor zinho o que eu vou fazer agora é todas as combinações lineares aqui como um vetor só o máximo que eu posso fazer é multiplicar pelo monte de escalar não vai acabar dando uma retina ea reta que representa o espaço gerado por esse vetor ótimo vamos nomear né que é o espaço nulo de a transporta não é a mesma coisa do espaço na esquerda de a só pra você não esqueceu vamos escrever o espaço nuno à esquerda que da de há já que eu falei aqui dependendo do da transposta de anã eu posso escrever esse cara aqui também dependendo a transporta de a eu posso falar que isso aqui é o espaço linha espaço linha de a transporta afinal as linhas da transposta de a são as colunas da matriz a olha só pessoal esses dois espaços aqui eles parecem ser ortogonais um ao outro né parecem ter um ângulo aqui de 90 graus certo é que a gente faz mesmo para conferir isso é só fazer o produto interno o produto escalar tartá vamos então efetuá lo mas pra isso é pra fazer esse produtinho vou tentar fazer isso de forma geral neodi é como eu escreveria um vetor qualquer desse espaço coluna de anã aqui embaixo vão pensar num vetor zinho ver um que pertence ao espaço coluna diá veja que quando a gente desenhou a gente falou que era uma reta gerada por esse vetor então um cara que está no espaço coluna de ar ele vai ser com certeza o meu ver um vai ser igual a um número será uma constante é 11 vezes o vetor zinho 2 - 4 o que eu sei que é um rapaz do espaço coluna de a escrita em termos gerais do mesmo jeito eu posso escrever um v2 é um v2 pertencente ao espaço nulo à esquerda de anel espaço do lula é transposta diá e ele vai ser aqui o meu ver dois vai ser igual a uma constante c2 qualquer vezes o vetor que gera esse espaço que no caso é 21 então uns e 2 vezes 21 na virilha qualquer vetor do meu espaço coluna pode ser representado assim qualquer do meu espaço lá esquerda pode ser apresentado assim bom agora vamos fazer o produto escalar desses dois carrinhos aqui vou guardar esse espaço porque vai acontecer na e3 então vou pegar aqui um pouquinho aqui em baixo para fazer esta continha então vamos lá que é ver um produto escalar 11 vendedores é igual ser um vetor zinho 2 - 4 produto interno c 2014 junho 21 quem já viu como que a gente faz nesse tipo de caso não é só pegar o seu 1 vezes você 2 que multiplica o produto interno produto escalar entre 2 - quatro produtos calar aqui com o vetor 21 e o que vai ser isso vai ser ser um vezes c 2 x 2 vezes 24 somado com menos quatro vezes menos um a menos quatro então quatro mais menos quatro isso aqui dá zero pessoal então toda essa continha aqui o resultado é 0 e óleo eo legal da gente ter feito isso de uma forma genérica é que a gente verificou que qualquer vetor zinho do meu espaço coluna vai ser ortogonal a qualquer dorzinha do espaço na esquerda de a ok pessoal isso foi um caso especial da nossa matriz né mas eu já vou te garantir que isso vai acontecer em toda a matriz o espaço coluna né é o complemento ortogonal ao espaço na esquerda da matriz ou o espaço nulo da matriz transposta ok isso sempre vai acontecer essa perpendicularidade um é complemento ortogonal do outro certo vou fazer uma demonstração desse resultado sim mas provavelmente vai ser no próximo vídeo ou no posterior mas aqui dá pra ver direitinho que isso acontece na verdade vamos então para o próximo carro é o nosso caso aqui do r31 né o comercial tem um espaço no dia a dia o espaço gerado preciso dois vetores vizinho sakineh falando dois rapazes vai ser um pouco mais difícil de desenhar mas o que é o espaço gerado por dois vetores de r 3 isso é ser um plano r 3 só que o plano r3 não é algo tão assim fácil de desenhar então vou fazer de forma mais geral aqui né vai ser uma coisa mais ou menos assim um plano zinho e r3 votá la preenchida pra gente ter uma ideia melhor então isso aqui tem um plano a r 3 aqui é o espaço nulo de a é que é gerado por esses dois vetores vizinhos só para ilustrar um pouquinho melhor aqui ó então esses dois setores estariam assim mais ou menos né dois vetores vizinhos ele geraria todo o plano inclusive continuando em todas as direções qualquer vetor zima esse plano seria gerado por esses dois vetores por uma combinação linear deles ok então vamos para esse rapaz que é o espaço linha de ao então pode chamado do espaço coluna da matriz transposta primeiro chute mostrar uma coisinha interessante aqui que vai acontecer qualquer relação desse vetor zinho com esses dois vetores não parece meio óbvio para está muito escancara aos olhos recife vetor zinho aqui ele é ortogonal ambos esses vetores aqui quer ver pessoal vou pegar e fazer o produto escalar entre esse e esse vetor aqui lá 2 - 1 - 3 é hora produto interno o produto escalar com meio 10 quando eu faço esse produto interno produto escalar aqui vai ficar igual a duas vezes meio 1 - 1 vezes 1 - 1 - três vezes 00 esse resultado aqui é igual a zero então esses vetores são ortogonais agora vou fazer o produto escalar diz rapaz com esse rapaz descendo 2 - 1 - 3 produto escalar com três meios 0 e 1 vamos ver o resultado é o resultado é duas vezes três meios é 3 - 1 200 menos três vezes 1 - 3 o resultado aqui também deu zero então esses dois vetores vizinhos são ortogonais entre si bom pessoal e o fato desse vetor zinho ser ortogonal ambos os vetores aqui significa que ele vai ser ortogonal a qualquer um vetor gerado pela combinação linear deles já tentar mostrar isso para você aqui embaixo então olha lá vamos dizer que eu tenho um vetor zinho v3 aqui que ele é um elemento do meu espaço no día né se é um elemento do espaço no diário é uma combinação desse rapaz com esse rapaz é que são os dois vetores que geram espaço no día ok o pessoal se ele pertence ao espaço no dia a jogar um pouco de espaço aqui significa que ele pode ser representado por uma combinação linear esses dois vetores ou seja é um a vezes meio um ok amado com bebê vezes três meios 0 e 1 ok também ok então que será que vai acontecer se eu pegar o meu ver três e fazer o produto escalar com qualquer um dos elementos do espaço linha de a mais que o espaço linha de a mesmo é o espaço coluna dá a transposta será o espaço gerado por esse rapaz aqui ou criar aqui mais ou menos como vai ser vou pegar então ver 4 e 4 que é um membro do meu espaço linha de a o espaço coluna da transposta portanto meu ver 4 ele pode ser inscrito como sei lá um de que multiplica a matrizes tinha 2 - 1 - 3 ok feito isso vamos voltar pra cá que será o meu ver três produto escalar com v 4 ou seja um membro do espaço no día produto escalar com o membro do espaço linha de a bora fazer continha né então isso escalar com isso vai ser a vezes meio 10 + b vezes três meios 01 cóssio tudo por fazer o produto escalar com de vezes 2 - 1 - 3 bom pessoal a gente já sabe todas as propriedades do produto escalar é então a gente pode distribuir esse cara aqui então aqui vai ficar a de vezes e meio um sincero o duto escalar com 2 - 1 - 3 que somado com bedê vezes 360 um produto escalar com 12 - 1 - 3 mas olha só pessoal essas duas continhas já estão feitas aqui em cima e vai dar zero então isso aqui é zero isso aqui é zero ou seja se eu pego qualquer membro do espaço linha entre a matriz e faça o produto escalar com um membro do espaço nulo da matriz o resultado é 0 e são ortogonais uns aos outros vamos lá pra cima para representar melhor isso aqui né vimos ali embaixo que qualquer membro do espaço linha da minha matriz é perpendicular ortogonal ao espaço no nosso espaço linha que é é uma reta 93 gerada por esse setor zinho aqui e tem que ser ortogonal a esse plano então esse aqui uma reta é uma reta que continua aqui continua aqui pra baixo né e vai ser o tribunal a todos os vetores vizinhos do plano está aqui nosso espaço espaço linha tea é que a mesma coisa do espaço coluna de a transposta final as colunas da transposta são as linhas da matriz original só para lembrar esse plano aqui né é o nosso espaço no día que também pode ser chamado de espaço no a esquerda à esquerda de a transporta né eu não usei essa nomenclatura no vídeo anterior mas só que é simétrico né se se o espaço lulu da transposta é um espaço na esquerda de ar então o espaço nulo à esquerda transposta espaço no día não faz sentido olha só alguns fatos interessantes que a gente consegue tirar daqui né o espaço linha de a é o horto o now ao espaço no dia a assim como o espaço linha de a transporta é ortogonal espaço nulo da atriz bosta como então podemos falar equivalente mente né que o espaço coluna de a transposta é ortogonal espaço nulo à esquerda já transporta assim como o espaço coluna de ar é ortogonal ao espaço nulo à esquerda de a e no próximo vídeo a gente vai ver que isso não é só uma coincidência a gente vai ver que isso sempre vai acontecer ele se dizia que esse cara que representa é o o conjunto de vetores é o espaço gerado pelas linhas já vai ser sempre o togo na ao espaço no luti a né e assim como esse tipo de complemento ortogonal sempre vai acontecer ok pessoal até o próximo vídeo tcheco