Transposição de uma matriz

eu tenho matrizes a pm porém ela tem emilinha cn colunas e eu vou escrever os termos dela em termos gerais da seguinte maneira há um tempo da primeira linha primeira coluna a 12 primeira linha segunda coluna até o final onde eu tenho tema que está na primeira linha é mesma coluna a segunda linha nós vamos ter a 21 segundo a minha primeira coluna a 22 segunda linha segunda coluna até o fim da linha onde nós vamos ter o tema a 2 n segunda linha na mesma coluna podemos prosseguir até que chegamos a linha m e aqui nós vamos ter a m1 linha m primeira coluna à m2 tema que está na linha m segunda coluna vamos até o final e assim nós temos o tema que está na linha m coluna ele esta é a nossa matriz a adm linhas iene colunas agora vou definir a matriz transposta de a matriz transposta vou escrever dessa forma a com um t sobre escrito o que vem a ser a matriz transposta já é uma matriz em que eu vou trocar todas as linhas pelas colunas então vou ter uma matriz a transposta dn linhas por amy colunas antes eu tinha amy linhas iene colunas agora eu tenho e nelinha cm colunas como é que vai ser essa matriz eu vou trocar minhas linhas pelas colunas a primeira linha passa a ser a primeira coluna a ram vai estar aqui a primeira linha a primeira coluna mas a 12 500 estava na primeira linha segunda coluna agora vai ocupar a segunda linha e primeira coluna estou trocando linha por coluna e assim eu vou fazendo até chegar o termo a um n isso faz sentido porque agora eu cheguei na linha n porque eu tenho e nem linhas agora essa linha quando fizemos a transposição vai ficar assim a 21 a 22 até o final até chegarmos em há dois anos você pode ficar um pouco confuso com essa notação aqui por tudo que nós já vimos até aqui a gente sempre tem dito que o primeiro número em indicar linha o segundo número indica coluna mas quando nós fazemos a transposição esses códigos não precisam ser interpretados de maneira tão literal assim nós podemos inverter o significado como assim antes nós tínhamos é a 21 significava segunda linha primeira coluna agora a gente pode dizer que aqui nós temos o tema que está na primeira coluna e segunda linha é importante que você tenha em mente que nós estamos falando de linhas que estão sendo trocadas por colunas então logo seguindo esse raciocínio essa linha m se transformará em coluna m da seguinte forma aqui eu terei a m1 e m2 vamos até o final até chegarmos no termo a eml muito bem então esse termo é esse tema esse termo é esse termo esse é esse acredito que você entendeu ideia então é isso que é uma matriz transposta às vezes quando usamos termos gerais e números pode parecer um pouco confuso isso acontece em outras provas em outras demonstrações e na transposição de matrizes também não é diferente mas vamos pensar nessa matriz com temos que são números e vamos transpor essa matriz aí você vai ver que não vai ficar difícil e comecemos com dois por dois eu vou definir a matriz b antes nós tínhamos a matriz agora temos a matriz bem eu vou usar cores diferentes aqui é matriz b vai ser a matriz 1234 a primeira linha temos 12 na segunda linha 34 e como será a matriz transposta db a matriz b transposta é só trocar mos as linhas pelas colunas então a matriz b transposta vai ficar um dois três quatro nós trocamos as linhas pelas colunas mas nós podemos interpretar isso de outra forma também antes da primeira coluna que eram três agora é a primeira linha 13 ea segunda coluna que era 24 agora é a segunda linha 24 vejamos um outro exemplo é ao invés de fazermos um na matriz dois por três ou três por três vamos ver um exemplo que seja um pouco mais desafiador acho que isso vai deixar as coisas um pouco mais claras então vamos definir uma matriz se então nós temos a matriz e nos fazer uma matriz grande a matriz 4 por 31 a atriz bem grande e na primeira linha nós vamos ter 10 - um na segunda linha vamos ter 2 7 -5 a terceira linha vamos ter quatro - 32 e na última linha nós vamos ter menos 13 e 0 essa é a nossa matriz essa é a nossa matriz e e como será transposta da matriz e à matriz ser transposta será uma matriz 3 por 4 é basicamente vai ser a matriz e com linhas trocadas por colunas e colunas trocadas por linhas não será dessa forma que a primeira linha vai se transformar na primeira coluna 10 - 11 a segunda linha vai se transformar na segunda coluna 27 - 51 a terceira linha vai se transformar na terceira coluna então nós vamos ter quatro - 32 e finalmente a quarta linha vai se transformar na quarta coluna - 1130 essa é a matriz ser transposta agora que fizemos isso vejamos o que acontece por exemplo com menos 5 na matriz e ele ocupava a segunda linha e terceira coluna chamada transposta ele está ocupando a segunda coluna terceira linha vamos ver outro número - 3 - 3 ac ocupa terceira linha segunda coluna mas na transposta o mesmo - 3 ocupa a terceira coluna segunda linha é isso que faz a transposição troca de linha por coluna um fato interessante acontece se tomarmos a matriz transposta de uma matriz transposta como assim o que acontece se tomarmos a matriz transposta descer e fizemos uma nova transposição isso aqui vai ser igual ao que para irmos da matriz se até transposta de ser nós trocamos todas as linhas por colunas e todas as colunas por linhas se quisermos fazer uma nova matriz transposta repare bem esse termo aqui antes ele ocupava a segunda linha e terceira coluna na primeira transposição ele passou a ocupar a segunda coluna e terceira linha se quisermos uma nova matriz transposta esse termo ele voltar a ocupar a segunda linha e terceira coluna então a transposta da transposta dc é a própria matriz e nós precisamos lembrar que quando fizemos a primeira transposição nós trocamos linhas por colunas e agora se fizermos uma nova transposição essa troca vai ser feita novamente então é isso espero que tenha sido útil