Definição de um plano em R3 com um ponto e vetor normal

RKA - Você já deve ter visto em um programa de matemática que permite a análise em três dimensões. Ou deve ter estudado já o plano em “R³”. Nós vamos agora estudar a equação do plano em “R³”, em três dimensões. Eu preparei aqui os eixos. Temos aqui os eixos “x”, “y” e “z”. E com eles vamos trabalhar para analisar o plano. Mas, como vamos fazer isso? Bem, eu fiz aqui uma representação do plano. Esta aqui é uma ideia de um plano. Podemos dizer que este é um plano que vamos chamar de plano alfa. Lembrando que o plano é infinito em todas as direções. O que está aqui é uma representação dele apenas. E a ideia é que nós possamos tomar, ou melhor, poder descrever matematicamente um ponto qualquer deste plano por meio de uma equação. Esse ponto, naturalmente, tem as coordenadas “x”, “y” e “z”. E o nosso objetivo é poder trabalhar com isso de maneira geral. E para isso nós vamos escrever, então, a equação do plano. A equação do plano pode ser escrita de mais de uma forma. E nós vamos olhar para este formato “Ax + By + Cz = D” “A”, “B”, “C” e “D” são números reais. “x”, “y” e "z" são as coordenadas de um ponto qualquer do plano. Para escrever essa equação, nós vamos precisar de duas informações. Uma é conhecer um ponto, um certo ponto, do plano que nós vamos chamar um ponto com as coordenadas “x₀”,“y₀” e “z₀” que devem ser conhecidas. E vamos precisar também de um vetor que seja normal ao plano e eu vou representar, poderia representar este vetor em qualquer posição. Normalmente nós representamos a partir da origem do sistema, mas eu vou representar o vetor “n”, que é normal ao plano, é perpendicular ao plano, com extremo no ponto “x₀”, “y₀” e “z₀” que nós já conhecemos. O vetor “n”, então, é o vetor normal, entre aspas, usando termos bastante imprecisos. O vetor “n” é perpendicular a "tudo" no plano. Esta ideia de que “n” é um vetor normal "tudo" no plano, quer dizer que se eu tomar o vetor qualquer que esteja sobre completamente contido no plano, ele vai ser perpendicular a “n”. Por exemplo, se eu tomar um vetor "a" qualquer aqui. Esse vetor "a" eu posso deslocar aqui, extremo com extremo, e nós vamos verificar que eles "a" e "n" são perpendiculares. Qual é a consequência disso? O produto escalar de "n" por "a" é igual a zero. Lembre-se que o produto escalar de dois vetores perpendiculares é sempre 0. E eu vou justamente usar essa ideia para poder escrever a equação do plano. Vamos primeiro nos lembrar de uma coisa. O ponto aqui “x₀”, “y₀” e “z₀” é o extremo de um certo vetor, com essas coordenadas “x₀”, “y₀”, “z₀” que eu vou chamar de vetor “x₀”. “x₀” é esse vetor com origem na origem do sistema e extremo no ponto “x₀”, “y₀”, “z₀”. Então esse vetor “x₀” é dado por “x₀”, pelas coordenadas “x₀”,“y₀”, “z₀” Este é o vetor conhecido por, inicialmente, eu conheço este ponto do plano, eu sei as coordenadas dele. Da mesma forma, eu vou usar um outro vetor aqui com extremo em “x”, “y” e "z", que representa um ponto qualquer do plano. Esse vai ser o vetor que eu vou chamar, simplesmente, de vetor “x”. Observe “x₀” e “x” ambos têm origem na origem do sistema e extremo, o “x₀” no ponto conhecido e o “x” extremo em um ponto qualquer do plano. Bem, dessa maneira se eu adotasse uma outra vista, por exemplo, olhando, se eu ficasse em pé aqui no chão do plano “xy”, olhando para o plano, para origem, eu enxergaria uma visão aqui achatada do plano. Estou olhando, por exemplo, aqui de lado para o plano de maneira que, se aqui fosse a origem do sistema eu teria o vetor “x₀” aqui, esse vetor seria o vetor “x₀” e o outro vetor que é o “x” estaria ligando a origem a qualquer outro ponto do plano, o plano aqui, a superfície do plano está aqui em branco. O vetor que eu estou destacando agora, aqui, em verde, é exatamente o vetor “x - x₀” que está inteiramente contido no plano. Portanto, é perpendicular ao vetor “n” que é normal. Aqui no plano o que eu teria seria isso aqui. O “x - x₀” seria este vetor que eu desenhei agora “x - x₀”. Ele está inteiramente contido no plano e portanto é perpendicular ao vetor "n" normal. Vamos, então, usar essas informações para trabalhar e o que eu vou escrever aqui em primeiro lugar é que o vetor “x - x₀” é perpendicular ao vetor “n”. Qual é a informação que nós temos na verdade? É, então, que o produto escalar do vetor “x - x₀” por “n” tem que ser igual a zero. O produto escalar de dois vetores perpendiculares resulta em zero. Para trabalhar com isso, vamos definir aqui também um vetor “x”. Na verdade, como já estava lá no desenho acima, com as coordenadas “x”, “y” e “z” que determinam coordenadas no plano. E vamos definir também o vetor “n”. O vetor “n”, vai ser o vetor com as coordenadas “n₁”, “n₂” e “n₃”. Vamos trabalhar com essas informações e o produto escalar entre eles sendo 0. Vamos, então, usando a notação matricial reescrever aqui o “x - x₀”. Isto significa o “x” é “x”, “y” e "z". E o “x - x₀”, então vai ser “x”, vetor “x - x₀” vai ter as coordenadas “x - x₀”, “y - y₀” e “z - z₀”. Estou fazendo o produto escalar disto com o vetor normal “n”, cujas coordenadas nós já definimos como “n₁”, “n₂” e “n₃”. Sabemos também que este produto escalar tem que ser igual a zero. Neste momento, nós podemos trabalhar um pouco mais algebricamente. Lembre-se da definição de produto escalar que é multiplicar cada coordenada de um vetor pela coordenada do outro somar com a multiplicação da segunda coordenadoria de um vetor, vetor pela segunda do outro e assim sucessivamente. Então, neste caso aqui, nós teríamos “x - x₀” vezes “n₁”, mais o resultado desse produto escalar seria, “x - x₀” vezes “n₁” mais “y - y₀” vezes “n₂” mais “z - z₀” vezes “n₃”. E isso tudo tem que ser igual a zero. Pode parecer meio estranho, mas isso aqui já está muito, muito próximo, ou já está, digamos, do formato Ax + By + Cz = D Lembrando que “x₀”, “y₀” e “z₀” são valores conhecidos. Usando um pouco de álgebra aqui, você chega rapidamente neste formato. Isto fica bem mais fácil analisando um exemplo. Vamos tomar aqui o vetor “n”. Vetor “n” sendo dado pelas coordenadas (1, 3, - 2). (1, 3, - 2). É o vetor normal ao plano cuja a equação queremos conhecer. Vamos admitir aqui que o vetor “x₀” tem as coordenadas (1, 2 e 3), (1, 2 e 3). Tem as componentes (1, 2 e 3). E naturalmente o vetor “x”. O vetor “x” é o que representa de maneira genérica, e ele é escrito com as componentes “x”, ”y” e "z". Vamos colocar estas informações nesta equação e ver o que aparece. E para isso vou repetir os passos acima. Quero dizer, o produto escalar de “n” por “x - x₀” nos vai levar a esta linha. Bem, vamos lá o “x - x₀” seria, então, x - 1, y - 2, z - 3. z - 3. Isto produto escalar com o vetor “n” que é normal ao plano, que é dado por (1, 3, -2). Este produto escalar tem que ser igual a zero. Bem, a partir daqui nós chegamos a 1 vezes “x - 1”, 1 vezes “x - 1”, mais 3 vezes “y - 2”, 3 vezes “y - 2”, mais -2 vezes “z -3”. Então, aqui eu já vou pôr -2, “z - 3” tem que ser igual a zero. Usando a distributividade e arrumando, aqui teremos “x - 1 + 3y - 6 - 2z + 6 = 0.” Naturalmente, o “-6” e o “+6” , aqui, vão se cancelar, de maneira que vai sobrar “x”, eu vou separar as letras “+3y” “- 2z”, esse -1 passando para lá, fica +1, 0 + 1 = 1. Esta equação está exatamente naquele formato “Ax + By + Cz = D”. Você tem aqui. Esta é a equação desse plano. Veja então, nós tínhamos conhecidamente o vetor normal ao plano e um ponto que pertence ao plano que queremos estudar. Definimos um vetor genérico cujo extremo está em um ponto qualquer do plano, é justamente isso que vai representar para gente. Um produto escalar desses dois vetores tem que ser zero. Algebricamente nós, então, chegamos a equação do plano. Tudo isto que nós fizemos, aqui, pode ser resumidamente feito a partir desta fórmula que você tem aqui em cima. Vamos ver. “x” permanece “x”, menos o “x₀”, é o número conhecido 1, o "x - 1", vezes o “n₁”, ”n₁” é a primeira componente do “n” que é 1, mais “y - y₀”, "y - y₀" é o 2. 2 vezes o “n₂” que é 3. mais “z” menos o “z₀”, “z₀” é o 3, então “z - 3” vezes o “n₃”, que era o - 2. Isso tudo igual a zero. Se você observar, é exatamente o que temos aqui, o desenvolvimento seria o mesmo e evidentemente que chegaríamos na mesma equação deste plano. E, dessa forma, então, podemos trabalhar um pouquinho com a matemática tridimensional, em particular com a equação do plano. E você viu que conhecendo um vetor cujo extremo está em 3 nas coordenadas de um ponto, que sabemos que está no plano, então isso tem que ser uma informação conhecida. E as coordenadas do vetor normal ao plano, nós podemos escrever a equação do plano neste formato aqui. Isto vai ser muito útil em muitas situações matemáticas mais adiante. Até o próximo vídeo!