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Definição de um plano em R3 com um ponto e vetor normal

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você já deve ter visto em um programa de matemática que permite a análise em três dimensões ou deve ter estudado já o plano em r 3 nós vamos agora estudar a equação do plano em r 3 em três dimensões eu preparei aqui os eixos temos aqui os eixos x y e z e com eles vamos trabalhar para analisar o plano mais como vamos fazer isso bem eu fiz aqui uma representação do plano esta que é uma idéia de um plano podemos dizer que este é um plano que vamos chamar de plano alfa lembrando que o plano é infinito em todas as direções o que está aqui é uma representação dele apenas ea idéia é que nós possamos tomar ou melhor poder descrever matematicamente um ponto qualquer neste plano por meio de uma equação esse ponto naturalmente têm as coordenadas x y e z e nós o nosso objetivo é poder trabalhar com isso de maneira geral e para isso nós vamos escrever então a equação do plano a equação do plano pode ser escrita de mais de uma forma e nós vamos olhar para este formato à x + b y mais cz igual à de a b c e d são números reais x y e z são as coordenadas de um ponto qualquer do plano para escrever essa equação nós vamos precisar de duas informações uma é conhecer um ponto um certo ponto do plano que nós vamos chamar um ponto com as coordenadas x 0 y 0 e 0 que devem ser conhecidas e vamos precisar também de um vetor que seja normal ao plano e eu vou representar poderia representar este vetor em qualquer posição nome de nós representamos a partir da origem do sistema mas eu vou representar o vetor n que é normal ao plano é perpendicular ao plano com extremo no ponto x 0 y 100 que nós já conhecemos o vetor e no então o vetor normal entre aspas usando termos bastante precisos o vetor n é perpendicular à entre aspas tudo no plano esta ideia de que n é um vetor normal entre aspas a entre aspas tudo no plano quer dizer que se eu tomar o vetor qualquer um que esteja sobre completamente contido no plano ele vai ser pedir khullar a eni por exemplo se eu tomar um vetor a qualquer aqui esse vetor a eu posso deslocar aqui extremo com extrema nós vamos verificar que eles ea eni são perpendiculares qual é a consequência disso o produto escalar dn por a é igual a zero lembre se de que o produto escalar de dois vetores perpendiculares é sempre 0 e eu vou justamente usar essa idéia para poder escrever a equação do plano vamos primeiro nos lembrar de uma coisa o ponto aqui x 0 y 00 é o extremo de um certo vetor com essas coordenadas x 0 e y 00 que eu vou chamar de vetor x 0 x 0 esse vetor com origem na origem do sistema e extremo no ponto x 0 são 100 então esse vetor x 0 dado por 1 x 0 pelas coordenadas x 0 e y 100 o vetor conhecido por que te inicialmente eu conheço este ponto do plano c e as coordenadas dele da mesma forma eu vou usar um outro vetor aqui com extremo em x y z que representa um ponto qualquer do plano ser o vetor que eu vou chamar simplesmente de vetor x observe x 0 x ambos têm origem na origem do sistema e extremo x 0 no ponto conhecido eo x extremo num ponto qualquer do plano bem dessa maneira se eu adotasse uma outra vista por exemplo olhando se ficassem pequeno no chão do plano xy olhando para o plano para origem eu enxergaria uma visão aqui entre aspas achatada do plano estou vendo por exemplo que de lado para o plano de maneira que se aqui fosse a origem do sistema eu teria o vetor x 0 aqui esse vetor seria o vetor x 0 e o outro vetor que é o xis estaria ligando a origem a qualquer outro ponto do plano o plano a que a superfície do plano está aqui em branco o vetor que eu estou destacando agora aqui em verde é exatamente o vetor x - x 0 que está inteiramente contido no plano portanto é perpendicular ao vetor n que é normal aqui no plano o que eu teria seria isso aqui ó x - o x 0 seria este vetor que eu desenhei agora x - x 0 ele está inteiramente contínuo contido no plano e portanto é perpendicular ao vetor e normal vamos então usar essas informações para trabalhar e o que eu vou escrever aqui em primeiro lugar é que o vetor x - x 0 é perpendicular ao vetor n qual é a informação que nós temos na verdade então é que o produto escalar do vetor x - x 0 por n tem que ser igual a zero o produto escalar de 28 especulares resulta em zero para trabalhar com isso vamos definir aqui também o vetor x na verdade como já estava lá no desenho acima com as coordenadas x y z que determina o coordenadas no plano e vamos definir também o vetor n corretor n vai ser o vetor com as coordenadas n1 n2 n3 vamos trabalhar com essas informações e o produto escalar entre eles sendo 0 vamos então usando a notação matricial reescrever aqui o x - x 0 isto significa o x é x y z 1 x 6 x 0 então vai ser x factor x - reservas vai ter as coordenadas x - x 0 y - y10 z - e 0 estou fazendo o produto escalar disto com o vetor normal.no cujas coordenadas nós já definirmos como n1 n2 n3 sabemos também que este produto escalar tem que ser igual a zero neste momento nós podemos trabalhar um pouco mais algebricamente lembre-se da definição de produtos calar que é multiplicar cada coordenada de um vetor pela coordenada do outro somar com a multiplicação das da cor da 2ª coordenadoria vetor pela segunda do outro e assim sucessivamente então neste caso aqui nós teríamos x - x 0 vezes n 1 mas o resultado desse produto escalar seria x menos 10 vezes em nenhum mais y - y10 vezes n2 mais z - e 0 vezes n 3 e isso tudo tem que ser igual a zero pode parecer meio estranho mas isso aqui já está muito muito próximo já está digamos do formato a x + b y más cz igual à de lembrando que x 0 y 0 e 0 são valores conhecidos usando um pouco de álgebra aqui você chega rapidamente neste formato isto fica bem mais fácil analisando o exemplo vamos tomar aqui o vetor n setor n sendo dado pelas coordenadas 1 3 -2 1 3 -2 é o vetor normal o plano cuja a equação queremos conhecer vamos admitir aqui que o vetor x 0 tem as coordenadas 1 2 e 3 123 tem os componentes 123 e naturalmente o vetor x o vetor x é o que representa de maneira genérica e ele é escrito as componentes xyz vamos colocar estas informações nesta equação e ver o que aparece e para isso vou repetir os passos acima ela dizer o produto escalar dn por x - x 0 nos vai levar a esta linha bem vamos lá o x - x 0 seria então x - um y - 20 - 30 - 31 isto produto escalar com o vetor n que é normal o plano que é dado por 1 3 -2 este produto escalar tem que ser igual a zero tire daqui nós chegamos a 11 vezes x - 11 vezes x - um mais três vezes y - 23 vezes y - dois mais menos 2 vezes e menos três então aqui eu já vou pôr - 20 - 3 tem que ser igual a zero usando distributividade arrumando aqui teríamos x - 1 + 3g y - 6 - dois e mais seis igual a zero naturalmente o menos seis eo mais seis aqui vão se cancelar de maneira que vai sobrar x eu vou separar as letras mais três em y mais 13 y - dois e menos dois é esse - 1 passando pra lá fica mais 10 mais um é um esta equação está exatamente naquele formato à x + b y más cz igual à de você tem aqui esta é a equação desse plano veja então nós tínhamos conhecidamente o vetor normal o plano e um ponto que pertence ao plano que queremos estudar definimos um vetor genérico cujo extremo está em um ponto qualquer do plano justamente isso que vai representar pra gente um produto escalar esses dois setores têm que ser zero algebricamente nós então chegamos a equação a equação do plano tudo isto que nós fizemos aqui pode ser resumida a mente feito a partir desta fórmula que você tem aqui em cima vamos ver x permanece x - o x 0 é o número conhecido 11 x menos 11 vezes o n1n1 é a primeira componente do enem que é um mais y - y10 y - y10 é o 2 2 vezes o n 2 que é 3 + v - os 00 é o três tons e menos três vezes o n 3 0 - 2 isso tudo igual a zero se você observar é exatamente o que temos aqui é a de o desenvolvimento seria o mesmo e evidentemente que chegaríamos na mesma equação deste plano e dessa forma então podemos trabalhar um pouquinho com a matemática tridimensional em particular com a equação do plano e você viu que conhecendo um vetor cujo extremo está em 3 nas coordenadas de um ponto que sabemos que está no plantão isso tem que ser uma informação conhecida e as coordenadas do vetor normal o plano nós podemos escrever a equação do plano neste formato aqui isto vai ser muito útil em muitas situações matemáticas mais adiante até o próximo vídeo