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Transcrição de vídeo

em vídeos anteriores nós tratamos da mórmon ou dá ou do comprimento o módulo de um victor agora nós queremos olhar para o ângulo formado entre setores para isso vamos considerar então dois vetores a e b em rn não nulos não nulos e vamos estudar o que podemos chamar de ângulo entre setores vamos supor tem aqui o vetor a eac o vetor b conseqüentemente eu teria aqui aqui estaria o vetor a menos b lembre se de que há menos b a mais - b então você poderia inverter aqui o sentido e fazer a mais b que dá exatamente esse vetor que você vê aqui a idéia é estudar esse triângulo e tratar do ângulo e formado entre os vetores matematicamente para estudar esse ângulo de victor seu poder representar novamente esta situação por meio de um triângulo é normal zinho mais simples e com as medidas dos lados desse triângulo bom a medida do lado deste lado do triângulo é a norma que a à medida deste lado do triângulo a norma db e naturalmente à medida deste lado do triângulo é norma jean - b tem a primeira coisa que precisamos fazer a garantir que este triângulo exista para os vetores a e b arbitrários quaisquer então para isso vamos recorrer à desigualdade triangular foi estudada no vídeo anterior para verificar se triângulo sempre vai existir a desigualdade triangular nos diz que a medida de um lado de dodô de um triângulo tem que ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados do triângulo em outras palavras aqui por exemplo se eu for olhar para esse lado cuja medida é a norma de a nós precisamos nós nós precisamos garantir que a norma de a seja menor que a soma do das medidas dos outros dois lados do triângulo que a norma de bebê mas a norma jean - b a menos b é o que nós vamos chamar de condição de existência do triângulo isto olhando para o lado cujo cuja medida é a norma jean para o lado cuja medida norma db analogamente ele tem que ser menor que os outros dois lados que as medidas dos outros dois lados somadas e finalmente o terceiro lado que é dado pela norma de a menos b tem que ser menor que a soma dos outros dois vasos medidas dos outros dois lados que a norma de a mas a norma db estas três coisas têm que ser garantidas para que o triângulo exista para um vetor ayoví turbinam nulos quaisquer vamos checar então se nós fazemos estas condições de existência são condições de existência do triângulo para isso vamos usar uma informação importante que eu vou colocar aqui ao lado que é a magnitude da soma de dois vetores é sempre menor que o igual a a soma das normas dos dois vetores vídeo anterior nós demonstramos essa desigualdade que a desigualdade triangular vamos lá vamos começar pensando nesta primeira situação ali nós temos a norma do vetor a a norma do victor a é igual bem vamos escrever 1 a 1 é a mesma coisa que o a + b - a isso tudo a mesma coisa que a só estou escrevendo colocar parentes aqui muito bem ora se o ael mesma coisa que a norma de a mesma coisa que a norma de a + b - a isso que seria a soma de dois vetores isso tem que ser menor que o igual a estamos olhando aqui para a desigualdade triangular agora a norma do vetor a mas a norma do vetor be - a a norma do vetor a tem que ser menor que o igual a a norma deve durar mais a norma do vetor b - a bem uma coisa que eu não posso me esquecer aqui é que o a norma do vetor b - a é igual à norma de a menos b a norma módulo b - haia - b seriam teriam a mesma norma mesmo módulo porém com os sentidos opostos com esta conclusão ou seja a norma de a é menor que igual a norma de a mais a norma de bi - a nós garantimos que esta condição de existência esteja satisfeita claro aqui estamos falando menor que o igual porque temos a possibilidade de que o alho b sejam um múltiplo do outro por um escalar e aqui nós estamos considerando dois setores em que isso não ocorre vamos analisar depois como lidar quando isso vai ocorrer vamos olhar para a segunda desigualdade então a norma db vamos estudar a norma db a norma db sem dúvida nenhuma é igual a norma do b mas há menos b é isso que eu estou estou escrevendo aqui é a mesma coisa do que simplesmente b vem usando a desigualdade triangular isso tem que ser menor que o igual a norma db mas a norma de a menos b o que de novo nos garante que essa desigualdade está satisfeita lembrando que o fato de poder ser igual está relacionado a dois vetores com mesma direção e aí nós vamos estudar particularmente um pouco mais adiante ainda neste vídeo finalmente nós temos aqui esta outra situação em que precisamos garantir que a norma de a menos b seja menor que a norma jamais a norma db bem e escrevendo aqui há menos b que você vê aqui é a mesma coisa que o à mas o - b muito bem então a norma de a mais - b tem que ser menor que o igual a norma diá mas a norma do - b entretanto a norma do - b é a mesma coisa que a norma de bebê porque bem menos b são vetores que têm o mesmo comprimento por em si mesma direção e em sentidos opostos ou seja a norma entre eles é igual isso garante então a terceira condição de existência para esse triângulo para quaisquer a e b arbitrários vamos seguir adiante e olhar então definitivamente para os ângulos entre os setores eu vou desenhar aqui novamente um certo vetor a um certo vetor b e aqui nós vamos ter naturalmente o vetor a menos b eu já redesenhei ao lado o mesmo triângulo de maneira mais simplificada eu posso tirar as setas porque estou interessado agora só nos comprimentos e esse nesse triângulo vou identificar aqui então este lado a medida dele é a norma do vetor a neste lado a medida é a norma do victor b e neste outro lado a medida é a norma do vetor a menos o bê leva anos e definir o ângulo entre os vetores neste triângulo nós sabemos por exemplo que aqui temos um ângulo teta é a definição comum de ângulo que temos na geometria plana transportando do deste triângulo comum para a situação dos vetores nós definimos este ângulo como o ângulo formado quando tados os dois vetores converte-se colocados aqui no mesmo vértice formam-se dois lados de um triângulo eo terceiro lado do triângulo é o vetor diferença entre eles ou seja há menos b por exemplo nesse caso naturalmente estamos fazendo aqui um dos exemplos bem simples mas isso vale para qualquer quantidade de dimensões ou seja vale rn e para lhe dar então com esse ângulo vamos estabelecer algumas relações entre essas medidas todas que temos aqui para isso você vai precisar se lembrar da lei dos cossenos se você não se lembra nos vídeos sobre trigonometria você pode encontrá lá temos a demonstração a lei dos cossenos nos traz a seguinte informação dado um triângulo cujos lados medem a b e c esse lado médio por exemplo a este akhmed b e este a cmed c e entre o irb existe um ângulo de medida afeta a lei dos cossenos nos diz que o angu lado oposto o ângulo tetas e elevada ao quadrado é igual o quadrado do outro lado mais um quadrado do outro lado menos duas vezes o aviso b vezes o cosseno do ângulo formado entre baby esta lei é uma digamos extensão do teorema de pitágoras porque ele não depende de que o ângulo seja de 90 graus pode ser qualquer medida nós vamos então aplicar a lei dos cossenos neste triângulo que nós estamos estudando em aqui vamos lá como ângulo teto está aqui o lado oposto à ele é o lado correspondente ao vetor diferença então eu vou escrever a norma dia - b ao quadrado isto seria os e ao quadrado nesse o setor neste outro exemplo é igual à norma de ar ao quadrado mais a norma db ao quadrado menos duas vezes a norma de a vezes a norma db vezes o cosseno do ângulo teta com isso conseguimos relacionar os lados do triângulo que são as normas de vetores e o tal do ângulo teta que queremos conhecer com o qual queremos trabalhar mas é possível simplificar bem essa expressão e obter algo mais interessante nós sabemos que a norma de o vetor elevada ao quadrado corresponde ao produto escalar do vetor por ele mesmo então neste caso a menos que a norma de a menos de um quadrado corresponde ao produto escalar dia a menos b murá - b só que isso aqui e isso aqui são equivalentes vamos trabalhar um pouco em cima disso que escrever depois retomamos aquela expressão sabemos que a propriedade distributiva existe para o produto escalar de maneira que aqui eu tenho vetor a que multiplica esse outro vetor a então eu tenho a multiplica que o que dizer produto escalar a produto escalar com a a partir daqui agora o vetor a multiplica o vetor beac com menos multiplica produtos calar não é então - o vetor a escalar victor b agora o - b produto escalar com um ato - b escalar a efd finalmente o - beac com menos bem aqui vamos ter mais um bebê escalar kombi estou só olhando para isso aqui estou trabalhando em cima desta parte bem continuando nós vamos ter aqui a escalar com a significa norma de ar elevada ao quadrado aqui a escalar baby escalará temos propriedade comutativa no produto escalar então só mesma coisa então aqui temos menos duas vezes o a escalar b e finalmente do mesmo jeito de escalar b é a norma db elevada ao quadrado isso que escrevi fica bastante interessante no lugar desta expressão porque fica mais parecido com o que temos do outro lado da igualdade vamos reescrever tudo aqui para organizar melhor eu vou rescrever esta expressão mas no lugar da norma de a menos b ao quadrado eu vou colocar e isto tudo aqui vamos lá eu tenho aqui a norma de a ao quadrado menos duas vezes o produto escalar de a por b mas a norma db ao quadrado isto é o que era isto é igual a igual a tudo isto aqui então já escrevi aquela reacção à expressão ali em cima e agora vamos poder sempre ficar bastante coisa veja só norma de ao quadrado cancela que o nome de um quadrado subtrair dos dois lados a norma de ao quadrado norma de bell quadrado a mesma coisa subtrai dos dois lados sobra e este pedaço e este só que o menos dois multiplicando todo mundo aqui e do outro lado podemos cancelar o - 2 - 2 só para simplesmente uma informação que vai ser extremamente importante para nós o produto escalar dia por b é igual à norma de a multiplicada pela norma db multiplicada pelo costeiro do ângulo entre os setores a e b desta forma nós conseguimos trabalhar com este ângulo pode ser em qualquer dimensão em qualquer quantidade de menções embora seja claro muito difícil visualizar em r 100 por exemplo mas aqui nós sabemos já como estabelecer uma relação entre os vetores e o ângulo que se forma entre eles fica assim definido o ângulo entre os setores a e b observe que agora possível calcular o ângulo formado entre quaisquer dois ângulos dois vetores é através dessa fórmula 1 vamos ver o que acontece em algumas situações por exemplo o que acontece o que acontece se o a for igual a um certo escalar multiplicando o vetor b com este escalar aqui um número positivo se a é igual um constante positivo multiplicando b o ângulo entre eles é definido como zero porque a e b têm a mesma direção e o mesmo sentido por outro lado se o ato for igual constante negativo multiplicando b significa que eles têm a mesma direção em sentidos opostos de maneira que definimos aí nesse caso um ângulo de 180 graus entre eles temos também de são de vetores perpendiculares como você já deve esperar vetores perpendiculares são aqueles que formam entre si um ângulo de 90 graus ora mas o que deve acontecer quando voltarmos ali a definição de ângulo entre vetores veja o cosseno de 90 graus e 050 de 90 graus é zero a segunda parte da igualdade tudo vai ficar zero de modo que o produto escalar entre a e b será zero quando os vetores forem perpendiculares é sorriso esse é um resultado importante se temos dois vetores perpendiculares então produto escalar entre eles a 0 vale lembrar que tudo isso que estamos fazendo aqui não se definir para quando temos um vetor lulu vetor zero basta você verificar o que acontece se no lugar por exemplo do vetor a tivéssemos vetor zero lado esquerdo da igualdade ficaria 0 e no lado direito da igualdade a norma de aves a norma db daria também 0 então teríamos é igual a 10 vezes o cosseno do ângulo e o cosseno do ângulo seria 0 / 0 o que dá uma determinação ou seja não há como definir o ângulo entre o vetor nulo e outro vetor observa bem que o vetor no vetor zero produto escalar com outro vetor qualquer vai dar resultado 0 isso significa que o 0 eo a são peculiares porque afinal de contas o produto escalar entre eles resultou em 0 a resposta que não ângulo de vetores não se definir para quando e estamos tratando com retorno lu isso nos leva a tomar um pequeno cuidado com relação ao produto escalar de dois vetores 60 a condição de que temos dois vetores perpendiculares implica em um produto escalar resultando em zero e valida o contrário não o contrário só vai valer se eu tiver a bem claramente definido que os dois vetores envolvidos são nulos aí sim se dois vetores são nulos e o produto escalar entre eles a 0 então eles são perpendiculares observa então que a condição do produto escalar ser zero entre os setores não garante a pedir claridade esta condição sozinha não garante então quando nós temos uma situação em que o produto escala de dois vetores quaisquer 0 é o vetor lulu nós dizemos que eles são vetores ortogonais se temos simplesmente esta informação a escalar b igual a zero nós dizemos que os vetores a e b são ortogonais então naturalmente todos os vetores perpendiculares também são portugal mais do mesmo modo o vetor zero é ortogonal a qualquer outro setor inclusive a ele mesmo a 0 vetor zero produtos calar com o vetor zero vai dar zero por definição eles é o vetor zero então é ortogonal a ele mesmo inclusive está aqui ficando mais claro que existe uma dívida uma diferença entre as palavras perpendicular e ortogonal muitas vezes na ao longo do seu estudo e matemática você acreditou você imaginou que as duas palavras fossem significa sem a mesma coisa mas aqui estamos vendo que a distinção entre elas em matemática nós temos que ser muito precisos e cuidadosos com todas as palavras que nós usamos veja que nesse caso você pode falar de dois vetores ortogonais que não sejam perpendiculares porém não o contrário se falar de dois vetores perpendiculares eles serão ortogonais muito bem espero que você tenha aproveitado bastante que isso seja bastante útil para você na sua vida matemática estudamos o ângulo formado entre vetores vamos continuar com esse estudo que vejo no próximo vídeo até lá