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Transcrição de vídeo

se a distância entre o plano à x -2 y mais é igual à de e o plano que contém as retas x - y sobre dois gual y - 2 sobre três gols -3 sobre quatro e x - 2 sobre três golpes on -3 sobre quatro igual z - 45 e raízes sei se a distância entre os planos r 16 então o módulo de de ddd é bom vamos analisar a situação trata se então de dois planos não se fala na distância entre os dois planos podemos deduzir que os dois planos são paralelos porque se eles não fossem paralelos eles interceptariam ea distância entre eles lembre se de que falamos sempre distância entendendo como distância mínima essa distância 0 de maneira então que vamos tratar com planos paralelos vou fazer um esquema aqui para visualizar aqui estariam dos planos digamos que seja o plano cuja actuação está dado ali e aqui o outro plano ambos paralelos essas duas retas que foram dadas aqui vamos supor que esta que represente uma certa reta azul estaria aqui no no plano verde digamos e essa outra reta aqui vamos representá la cor de rosa estaria também aqui no plano verde como é que nós vamos tratar as distâncias uma idéia interessante e uma informação necessária é tratar da equação do plano verde porque já que ele é paralelo a este outro plano cuja equação é a x -2 y mais igual à de as equações dos planos terão várias semelhanças depois de tratar das equações do plano podemos tomar um ponto qualquer aqui neste plano verde e usando a idéia de distância de ponta plano saber tratar da distância entre os dois planos aqui para começar o trabalho é bom uma boa ideia é tratar de dois vetores que estejam no plano verde e do produto vetorial entre eles porque o produto vetorial entre dois vetores é um novo vetor que é perpendicular a ambos e isso pode nos ajudar com o vetor normal os planos e que vai nos dar muitas pistas a respeito do que procuramos vamos então localizar alguns pontos do plano verde e olhando por exemplo para a equação da reta azul eu posso por exemplo supor valores de xyz que façam com que as igualdades sejam verdadeiras por exemplo bem fácil x forum x forum esta fração que resultem 0 então o xi e y teria que ser dois para resultar também 0 eo z teria que ser 13.123 pertence ao plano verde mas ainda lhe pertence à reta azul ou localizar um outro ponto vamos supor que eu queira que é cada fração seja igual a 1 para que isso aconteça o x teria que ser 3 porque 3 - 12 sobre 2 a 1 o x teria que ser 31 y teria que ser cinco 5 - 23 sobre 31 eo z teria que ser 7 vou pegar uma reunião pouco agora da reta cor de rosa é bem fácil se nós pensarmos em igualar a 0 bush seria 2 o y 3 g 4 então os o ponto 2 34 também pertence ao plano verde mais precisamente a reta cor de rosa vamos usar esses três pontos para localizar vetores no plano verde e trabalhar com eles vamos definir então vetor a o vetor a a partir destes dois primeiros pontos e para isso basta fazer a subtração por exemplo das coordenadas dos dois pontos são três - 12 pra a brisa pra coordenada a primeira coordenada então teremos dois e mais 5 - 23 então 3j mais 7 - 344 cá eu peguei os dois pontos da reta azul então esse vetor está sob alerta azul por exemplo fazer aqui em vermelho o vetor estaria por exemplo aqui eu posso escolher o dois dos outros pontos aqui para criar um vetor b e eu vou escolher aqui o primeiro eo último veja que está cada um em uma reta o vetor bc orientam 2 - 1 2 e 3 - 2 dá um tom mais um j mais quatro - 31 cá e seria o vetor b esse setor b está também sobre o plano poderíamos por exemplo localizá lo aqui e amarelo - então achar o produto vetorial de a por be porque o produto vetorial já por be vai ser um vetor perpendicular os dois se os dois estão no plano então vai ser um vetor normal o plano para fazer a conta vamos montar aquele determinante na primeira linha e j captores unitários na segunda linha os componentes de a que são 234 e na terceira linha os do b 21 vamos calcular esse determinante você pode escolher o método por exemplo multiplicando aqui a diagonal principal etc terá você vai chegar à - e mais 2 j - cá e isso é exatamente um vetor normal aos planos aos dois planos já que eles são paralelos por exemplo representa tudo aqui é um vetor normal ao plano verde já que nós estávamos partindo dele temos agora informações para construir para escrever a equação do plano e para fazer isso nós precisamos lembrar que o produto escalar entre vetor normal e qualquer vetor do plano tem que ser igual a zero porque lhes são peculiares agora para escrever equação do plano nós precisamos também lembrar que nós vamos usar um ponto qualquer um ponto qualquer por exemplo um ponto aqui este ponto tem as coordenadas x y z genéricas para o plano e podemos marcar e construir um vetor a partir de um ponto conhecido até esse ponto vetor por exemplo vamos supor que a partir deste ponto melhor dizendo que o partido x y z até este ponto então este vetor laranja que vai ter as coordenadas x - 3 e mais y menos cinco y - 5 j mas z - 7z menos 7 k o produto escalar do vetor normal com este vetor que nós sabemos que pertence ao plano e xyz são coordenadas de um ponto qualquer do plano isto tem que ser igual a zero com isso nós conseguimos escrever a equação do plano mas nós já temos o vetor normal vetor normal está aqui então vamos efetuar o produto escalar de menos e menos e mais 2 j - kaká que é o n produto escalar com o que nós temos aqui acima isso tem que ser igual a zero efetuando então a primeira componente daqui - um multiplicam os x menos três daqui - um vezes - três só inverter fica 3 - x mas agora o 2 da segunda componente multiplica aqui então dois y menos dez já estou distribuindo eo menos um que multiplica que a mesma coisa ali multiplicando 07 simplesmente vai inverter vamos ter mais 7 - e isso tem que ser igual a zero finalmente separando aqui nós temos - x + 2 y - e estou separando as letras dos números resolvendo 3 - 10 - 7 com mais 70 então já tudo se cancela temos isso aqui é igual a zero esta é a equação do plano verde e esta equação do plano b nos dá pistas para adequação do plano a porque se eles são paralelos o coeficiente a duches o o do y e 200 são os mesmos nos dois planos o que muda é o de que é esse número que indica a translação de um plano em relação ao outro para facilitar a escrita que vamos multiplicar os dois lados da igualdade pelo menos um ficaríamos com x -2 y mais e igual a zero é equivalente vamos adotar esta como a equação do plano verde e finalmente então transportando isto para o plano cor-de-rosa aqui o actor sentido x vale 1 x 1 - 2 y veja que coincide confere menos dois ep's ou mais usei também aqui o mais uns e também confere igual à de já sabemos que a equação desse plano é esta vamos então à distância entre os planos para poder chegar ao valor de d o que nós sabemos é que se eu tomar um ponto qualquer do plano verde e nós temos aqui pelo menos já três pontos do plano verde é marcados precisamos saber a distância dele até o outro plano e já sabemos a distância entre os planos vamos justamente usar aquela fórmula que foi deduzida em vídeos anteriores para a distância de um ponto há um plano e obter o que nós precisamos aqui só lembrando então a distância de um ponto há um plano é igual a vamos tomar este ponto 123 aqui como referência à distância deste ponto os programa esteja aqui até o outro plano bem para fazer isso nós temos que pegar na equação do plano o coeficiente do x e multiplicar pela coordenada x do ponto 1 vezes um que dá um mas o coeficiente do y que é menos 2 x pela segunda coordenada pelo menos quatro mais consciente 12 que é um multiplicado pela terceira coordenada que dá 3 tudo isso - o de que é o de que nós temos aqui que é justamente o que nós estamos procurando de isso tudo sobre a raiz quadrada a escuadra da da soma dos quadrados dos coeficientes que estão aqui então um ao quadrado que é um mas menos dois ao quadrado que é 4 mais um quadrado de novo ali para o sion vamos fazer essa conta e nós sabemos que a distância entre os planos é raiz quadrada de 6 está dado no enunciado que diz a distância entre o plano e outro é a raiz quadrada de 6 então raiz quadrada de seis é igual a vamos resolver essa conta aqui 1 - 4 - 3 mais 30 sobra simplesmente aqui - de no denominador um mais 455 mais 16 raiz quadrada de 6 multiplicando os dois lados pela raiz quadrada de 6 temos seis igual a menos de ou seja a partir daqui nós concluímos que o de igual a menos seis como o enunciado pediu o módulo de de então o módulo de de é igual simplesmente eis o problema então está resolvido espero que você tem achado isso interessante até o próximo vídeo