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Intuição/comparação entre produto vetorial e produto escalar

Transcrição de vídeo

RKA - Neste vídeo vamos estudar novamente o produto escalar e também o produto vetorial e fazer algumas comparações, algumas análises. Vamos começar retomando que o produto escalar de um vetor "a" por um vetor "b", o produto ponto é, pode ser, obtido por meio ou equivalente à norma de "a" multiplicada pela norma de "b" multiplicada pelo cosseno de θ, sendo θ o ângulo formado entre os vetores "a" e "b". Por exemplo, aqui, se eu tiver o vetor os vetores "a" e "b", vamos supor aqui, o vetor "a" está aqui, o vetor "b" está aqui. O ângulo formado entre eles estaria aqui. Com isso, também nós podemos descobrir ou resolver para o cosseno de θ, descobrir o ângulo θ, simplesmente isolando o cosseno de θ, escrevendo: o cosseno de θ seria igual ao produto escalar de "a" por "b" dividido pelo comprimento de um multiplicado pelo comprimento do outro. Na sua calculadora você tem a operação inversa do cosseno, que é o arco cosseno, cosseno⁻¹, aparece na calculadora, e você consegue obter o ângulo formado entre os dois vetores. Ou seja, o θ seria o arco cosseno de toda essa expressão acima. E isso pode ser calculado para quantas dimensões, quantas componentes tiver cada vetor. Se tiver 100 componentes, mesmo que seja muito difícil visualizar, não é necessário você conseguir visualizar para determinar o ângulo entre eles, porque você consegue calcular o produto escalar entre eles e o produto entre os seus comprimentos. Existe uma expressão que é relativamente semelhante, que envolve o produto vetorial de dois vetores, a norma do vetor obtido pelo produto vetorial dos vetores "a" e "b" é igual à norma do "a" multiplicada pela norma do "b" multiplicado pelo seno do ângulo θ formado entre eles. Nós vamos trabalhar com essas duas ideias e fazer algumas comparações, lembrando que aqui o produto vetorial só é definido em "r3", então também nós vamos trabalhar com um produto escalar para vetores em "r3" de maneira a poder trabalhar com isso. Vai ser feito de maneira um pouco intuitiva, mas você vai poder ter umas análises interessantes. Existe um vídeo bem semelhante na playlist de física, a que você também pode assistir e pode te ajudar bastante. Vou desenhar novamente aqui dois vetores "a" e "b" e vamos estudar o que é o módulo de "a" vezes o cosseno de θ. Vamos lembrar que o cosseno de um ângulo aparece facilmente ou é facilmente visível em um triângulo retângulo, e é isso que eu vou preparar aqui. Bem, o cosseno de θ que aparece no produto escalar de vetores aparece nesse triângulo retângulo bem facilmente visível. Veja só. O comprimento do vetor "a" é a norma, é o módulo dele, do vetor "a". O comprimento desse lado do triângulo, que é a hipotenusa, é um módulo, a norma do vetor "a". E este segmento que estou marcando em azul é o cateto adjacente ao ângulo θ no triângulo retângulo que você vê desenhado aqui. Bem, você se lembra, da trigonometria, que o cosseno de θ é igual ao cateto adjacente a θ dividido pela hipotenusa. Neste caso, o cosseno de θ é igual ao cateto adjacente a θ dividido pelo comprimento do vetor "a". Eu posso então, simplesmente, multiplicar os dois lados pelo comprimento de "a". Eu teria, então, comprimento de "a" vezes o cosseno de θ igual ao cateto adjacente ao ângulo θ. Quero dizer que este segmento, o comprimento deste segmento, é o comprimento do vetor "a" multiplicado pelo cosseno do ângulo θ. Este segmento que você vê em azul. Vamos juntar agora ao produto escalar dos vetores "a" e "b". O produto escalar dos vetores "a" e "b" é dado pela norma de "a" multiplicada pela norma de "b" multiplicada pelo cosseno de θ. Então, o produto escalar de "a" por "b" é igual, voltando um pouquinho, a norma de "a" multiplicada pelo cosseno de θ é o que nós temos aqui abaixo, é o cateto adjacente ao ângulo θ. Então, aqui sem muito rigor, eu posso dizer que seria então igual ao módulo do vetor "b" multiplicado pelo cateto adjacente a θ nesse triângulo, que seria esta parte que eu fiz em azul claro aqui. O que isso significa? Significa que o produto escalar de "a" por "b" pode ser entendido como o módulo de "b" multiplicado pela "parte do vetor "a" que tem a mesma direção do vetor "b". A parte do vetor "a", ele está aqui, projetado sobre o vetor "b", que é a parte que nós vemos em azul claro aqui abaixo. Isso que eu chamei de cateto adjacente ao ângulo θ é exatamente a sombra que o vetor "a" faz sobre o vetor "b". Se eu jogasse luz perpendicularmente de cima para baixo, a sombra de "a" sobre "b", que é a projeção de "a" na direção "b", seria dado pelo essa parte que eu pintei em azul claro aqui. Uma outra consequência que nós podemos examinar é a seguinte: se você tiver um ângulo bem pequeno entre os dois vetores, por exemplo se eu tivesse o vetor "b" e o vetor "a" formando com ele o ângulo "pequeno", por exemplo, algo assim, isso aqui seria o vetor "a", a projeção do vetor "a" sobre o vetor "b", se eu ligar o extremo do vetor "a" perpendicularmente no vetor "b", a sua projeção seria maior aqui. E isso significa que nós teríamos um produto escalar maior, um maior produto escalar entre "a" e "b", quando o ângulo formado aqui é menor. A projeção do "a" no "b" tem uma participação maior neste vetor. Se nós diminuíssemos mais ainda este ângulo chegando a zero, ou seja, se os dois vetores tivessem a mesma direção, o produto escalar seria nada mais, nada menos, que a multiplicação dos comprimentos dos dois vetores. Por outro lado, e se nós tivéssemos vetores perpendiculares? Por exemplo, neste desenho, eu teria, vamos analisar primeiro essa situação. O vetor "b" estaria aqui e o vetor "a" estaria quase perpendicular, ou seja, quando for um ângulo próximo de 90 graus. A projeção do vetor "a" sobre o vetor "b" seria algo, a projeção estaria aqui, seria bem pequena. De maneira que quando eles fossem, pelo que você observa, quando "a" formasse 90 graus com o "b", a projeção de "a" sobre "b" seria zero. E de fato produto escalar entre dois vetores perpendiculares nós já sabemos que é zero. Então, o fato de que o produto escalar de um vetor por outro seja o produto das suas normas multiplicado pelo cosseno do ângulo formado entre eles significa, ou pode ser interpretado como, o produto das partes dos vetores que têm a mesma direção. Quando digo "partes", é relacionado à ideia de comprimento. Então, é isso que o produto escalar de dois vetores quer dizer, quando eles estão "se movendo" ou indo na mesma direção. Vamos olhar um pouco agora para o produto vetorial e o ângulo formado entre os vetores. Como podemos interpretar isso? Primeiro vamos lembrar que a norma de "a" produto vetorial por "b" é igual à norma de "a" vezes a norma de "b" vezes o seno do ângulo formado entre os vetores. Vamos tentar interpretar por meio de um desenho. Tenho aqui, por exemplo, um vetor que eu vou chamar de "b", um outro vetor chamando de "a". O ângulo θ formado entre eles está aqui e o seno de θ lembra cateto oposto dividido pela hipotenusa, lembrando um pouquinho da trigonometria. Se eu fechar o triângulo retângulo com extremo em "a", veja, estou usando o extremo em "a", depois em relação a "b". Poderia fazer de outras formas isto. Vamos lembrar então da trigonometria. O seno do ângulo θ é igual o cateto oposto ao ângulo θ dividido pela medida da hipotenusa. De novo, nesse triângulo retângulo a hipotenusa está aqui na direção do vetor "a". O comprimento da hipotenusa é justamente a norma do vetor "a". De maneira que, ao escrever o seno de θ novamente, eu tenho seno de θ igual ao cateto oposto ao ângulo θ dividido pela norma de "a". Se eu multiplicar os dois lados pela norma de "a", eu tenho assim a norma de "a" vezes o seno θ é igual cateto oposto ao ângulo θ. Trazendo para cá, este aqui em azul é justamente o cateto oposto ao ângulo θ. A medida dele é a norma de "a" Vezes o seno θ. Trazendo esta ideia para esta relação, a norma de "a" multiplicada pelo seno de θ é igual, norma de "a" multiplicada pelo seno de θ é o cateto oposto ao ângulo θ. Então, posso reescrever isso como a norma de "b" multiplicada pelo cateto oposto ao ângulo θ nesse triângulo que eu desenhei aqui embaixo. Fazendo o raciocínio análogo com o que fizemos agora há pouco em relação ao produto escalar, aqui nós temos que o produto, a norma do produto vetorial de "a" por "b" é igual à norma de "b", que é um dos vetores, multiplicada pelo cateto oposto ao ângulo θ, que nada mais é do que "a parte" do outro vetor, que é o "a", que é perpendicular ao "b". A norma do produto vetorial de "a" por "b" é igual ao tamanho de "b", a norma, o comprimento de "b" multiplicado pela parte do "a", que é perpendicular ao "b". Mais uma vez comparando com o produto escalar. No produto escalar, "a" escalar com "b" é obtido multiplicando o comprimento do vetor "b" pela parte do "a" que estava na mesma direção que o "b", ou seja, com as duas componentes se movimentando junto. Agora, aqui no produto vetorial não. Nós estamos multiplicando o comprimento do vetor "b" pela parte do "a" que é justamente perpendicular a ele. Você pode analisar isso, por exemplo, numa situação em que os dois vetores são perpendiculares. Se os dois vetores forem perpendiculares, 90 graus entre eles, "a" e "b", o módulo de "a" produto vetorial com "b" é igual à norma de "a" pela norma de "b", pelo seno de 90 graus. Ora, você sabe que o seno de 90 graus é 1. E o seno de 90 graus é 1, é o maior valor possível para o seno. O seno de um ângulo vale, no máximo, 1. E aqui temos, então, o maior valor possível para o produto vetorial de dois vetores, imaginando que nós possamos variar o ângulo, o maior valor do produto vetorial de dois vetores, então, é quando o ângulo entre eles é um ângulo de 90 graus. Isso mostra que, de acordo com o que nós estudamos antes, que o produto vetorial está relacionado à ideia de o quanto a parte de um "movimenta" perpendicularmente ao outro, isso aparece no valor máximo quando o ângulo entre eles é um ângulo reto, um ângulo de 90 graus. Quando isso acontece no produto escalar? Ou seja, quando o produto escalar é máximo? Quando o ângulo é zero, quando os vetores são lineares, quando os dois têm a mesma direção. Porque o cosseno de zero é 1, que é o maior valor possível para o cosseno. Ou seja, o produto escalar é maximizado quando o ângulo entre os dois vetores é zero, porque o cosseno do ângulo formado entre eles é 1, então esta parte aqui não precisa aparecer. E o maior valor possível para o cosseno é 1. E isso acontece quando? Quando os dois vetores são lineares, ou seja, quando os dois vetores têm a mesma direção. Aqui, por exemplo, seria o "a" e aqui, o "b". Analisando de maneira semelhante, se eu tiver dois vetores colineares, aqui, "a" e "b", o ângulo entre eles, naturalmente, é zero. Se o ângulo entre eles é zero, a norma de "a" produto vetorial com "b" vai multiplicar o seno de zero, que é zero. Então, isso dá zero. Ou seja, não existe perpendicularidade entre eles porque o ângulo é zero. Não existe nada perpendicular entre "a" e "b" neste caso. Neste mesmo momento, o produto escalar é máximo, que é obtido pelo comprimento de "a" multiplicado pelo comprimento de "b". De maneira análoga, quando temos um ângulo de 90 graus, o produto escalar entre "a" e "b" é o mínimo, que é zero, porque o cosseno de 90 graus é zero. Assim, nós podemos estudar estas ideias mantendo em vista o que temos em termos intuitivos, porque muitas vezes nós ficamos nos aprofundando em fórmulas, em definições e em rigores e a parte intuitiva vai ficando de lado. Vamos olhar outra situação que vale muito a pena. Esta situação envolve o produto vetorial. Vamos supor, dois vetores "a" e "b", e vamos trabalhar com a área do paralelogramo, que podemos formar completando da seguinte forma. Vamos transportar o vetor "a" paralelamente para o extremo do vetor "b", conseguiríamos algo talvez assim, e a mesma coisa do "b". Vamos transportar paralelamente ao "b" até o extremo aqui do "a", formando assim um paralelogramo. Como nós podemos obter, então, a área desse paralelogramo? Para isso, precisamos saber a altura do paralelogramo, que tem que ser perpendicular a um dos lados. Ou melhor dizendo, perpendicular a dois lados paralelos, aqui vamos chamar de "h" a altura. E nós já sabemos que a área do paralelogramo é o comprimento da base que, nesse caso é o comprimento do vetor "b", do modo que eu montei, multiplicado pela altura. Mas o que é a altura neste caso? Primeiro vamos marcar aqui um ângulo formado entre os vetores chamado θ, que nós estamos estudando até agora. Se você voltar um pouquinho atrás, quando nós estudamos esta ideia, vai ver que a altura é o cateto oposto ao ângulo θ. Então, a altura nesta situação, o "h", vai ser nada mais, nada menos que a norma de "a" multiplicada pelo seno do ângulo θ. É o que nós temos aqui, que foi estudado. Vamos reescrever a área do paralelogramo. Nós teríamos a norma de "b" multiplicada por, no lugar da altura eu vou escrever a norma de "a" multiplicada pelo seno do ângulo θ. Finalmente, a área deste paralelogramo: ora, norma de "a" vezes norma de "b" vezes seno θ, voltando lá atrás um pouquinho, nós sabemos que isso é a norma do produto vetorial entre os dois vetores. Ou seja, a norma de "a" produto vetorial por "b". Temos aqui outra ideia de uso do produto vetorial de dois vetores. Ele é a área do paralelogramo que nós podemos compor projetando, ou transladando, um vetor ao extremo do outro, sempre paralelamente. O paralelogramo formado ali tem área que é obtida pela norma do produto vetorial entre os dois vetores que deram origem a ele. Espero que, com esse vídeo, tenha sido possível você ter uma ideia um pouco mais intuitiva de aplicação de sentido e de comparação entre o produto escalar e o produto vetorial entre dois vetores. Até o próximo vídeo.