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Intuição/comparação entre produto vetorial e produto escalar

Transcrição de vídeo

neste vídeo vamos estudar novamente o produto escalar e também o produto vetorial e fazer algumas comparações algumas análises vamos começar retomando que o produto escalar de um vetor a por um vetor b o produto ponto é pode ser obtido por meio o equivalente a norma de a multiplicada pela norma db multiplicado pelo cosseno detecta sendo o teto o ângulo formado entre os setores a e b então por exemplo aqui se eu tiver o vetor os setores a e b um su por aqui o vetor a está aqui o vetor b está aqui o ângulo formado entre eles estaria aqui com isso também nós podemos é descobrir o resolver para o concelho detecta descobrir o ângulo teta simplesmente isolando o conselho de teto e escrevendo cosseno de teta seria igual a o produto escalar de apoio b dividido pelo cumprimento de 1 x 1 eo cumprimento tanto outro e na sua calculadora você tem a operação inversa do conselho que é o arco cosseno conselho - uma aparece na calculadora e você consegue obter o ângulo formado entre os dois vetores ou seja o teto seria o arco cosseno de toda essa expressão acima e isso pode ser calculado para quantas dimensões quantos componentes tiver cada vetor se tiver 100 componentes mesmo que seja muito difícil visualizar não é necessário você conseguir visualizar para determinar o ângulo entre eles porque você consegue calcular o produto escalar entre eles e o produto entre os seus cumprimentos existe uma expressão que é relativamente semelhante que envolve o produto vetorial de dois vetores a norma do vetor obtido pelo produto vetorial dos vetores a e b é igual a norma do ar multiplicada pela norma do b multiplicado pelos e no do ângulo teta formado entre eles nós vamos trabalhar com essas duas idéias e fazer algumas comparações lembrando que aqui o produto vetorial só é definido em r 300 também nós vamos trabalhar com um produto escalar para vetores em r 3 de maneira a poder trabalhar com isso vai ser feito de maneira um pouco intuitiva mas você vai poder ter umas análises interessantes existe um vídeo bem semelhante na playlist de física que você também pode assistir e pode ajudar bastante você eu vou desenhar novamente aqui dois vetores a e b e vamos estudar aqui o que que é o módulo de avisos o cosseno de teta vamos lembrar que o cosseno de um ângulo aparece facilmente ou é facilmente visível em um triângulo retângulo e é isso que eu vou preparar aqui bem o cosseno detecta que aparece aqui no produto escalar de vetores aparece aqui nesse triângulo retângulo bem facilmente visível veja só o comprimento do vetor a é a norma é o módulo dele do vetor a o cumprimento desse lado do triângulo hipotenusa é um módulo a norma do vetor a e este segmento que estou marcando em azul é o cateto adjacente ao ângulo teta no triângulo retângulo que você vê desenhado aqui bem você se lembra lá da trigonometria que o cosseno de teta é igual cateto adjacente atleta dividido pela e por ter usa neste caso aqui o cosseno de teta é igual ao cateto adjacente até tá dividido pelo cumprimento do vetor a eu posso então simplesmente multiplicar os dois lados pelo primeiro o diário teria então cumprimento de a vezes o cosseno de teta igual ao cateto adjacente ao ângulo teta quero dizer que este segmento cumprimento deste segmento é o comprimento do vetor a multiplicado pelo cosseno do ângulo teta este segmento que você vê em azul vamos juntar agora ao produto escalar dos vetores aib o produto escalar dos vetores a e b é dado pela norma de a multiplicada pela norma db multiplicada pelo conselho de teta então a o produto escalar já por b é igual voltando um pouquinho o a norma de a multiplicada pelo cosseno de teta é o que nós temos aqui abaixo é o cateto adjacente ao ângulo teta então aqui sem muito rigor eu posso dizer que seria então igual o módulo do setor b multiplicado pelo cateto adjacente atleta nesse triângulo que seria esta parte que eu fiz em azul claro aqui o que isso significa significa que o produto escalar de a por b pode ser entendido como o módulo de b multiplicado pela entre aspas a parte do vetor a que tem a mesma direção do vetor b a parte do vitor ao vetor a stack projetado sobre o vetor b que é a parte que lhes é nós vemos em azul claro aqui abaixo isso que eu chamei aqui de cateto adjacente ao ângulo teta é exatamente a sombra que o vetor a faz sobre o vetor b se eu jogasse luz perpendicularmente de cima para baixo à sombra seria a sombra do ar sobre o bê que a projeção de área na direção b seria dado então pelo essa por essa parte que eu pintei em azul claro aqui uma outra consequência que nós podemos examinar aqui é a seguinte se você tiver um ângulo bem pequeno entre os dois vetores então por exemplo se eu tivesse aqui o vetor b e o vetor a formando com ele o ângulo entre aspas pequeno por exemplo algo assim sei que seria victor a a projeção do vetor ar sobre o vetor bc ou ligar o extremo do vetor a perpendicularmente aqui no vetor b a sua projeção seria maior aqui e isso significa que nós teríamos um produto escalar maior o maior produto escalar entre a e b quando o ângulo formado aqui é menor a projeção do ar no bê tem um tem uma participação maior neste setor se nós diminuíssemos mais ainda este ano chegando a zero ou seja se os dois vetores tivessem a mesma direção o produto escalar seria nada mais nada menos que a multiplicação dos cumprimentos dos dois vetores por outro lado e se nós tivéssemos vetores perpendiculares por exemplo neste desenho que eu teria vamos analisar primeiro essa situação perturba estaria aqui e o vetor a estaria quase entre aspas quase perpendicular ou seja foi no ângulo próximo de 90 graus a projeção do vetor a sobre o vitor b seria algo a projeção estaria aqui seria bem pequena de maneira que quando eles fossem pelo que você observa quando a formação 90 graus com o bebê a projeção de ar sobre o bebê seria zero e de fato produto escalar entre dois vetores perpendiculares nós já sabemos que zero então o fato de que o produto escalar de um vetor por outro seja o produto das suas normas multiplicados ou multiplicado pelo cosseno do ângulo formado entre eles significa o pode ser interpretado como o produto o produto das partes dos vetores que tem a mesma direção quando digo que partes entre aspas relacionado à idéia de cumprimento então é isso que o o produto escalar de dois vetores quer dizer o quanto eles estão entre aspas se movendo ou indo na mesma direção vamos olhar um pouco então agora para o produto vetorial e o ângulo formado entre os vetores como podemos interpretar isto primeiro vamos lembrar que a norma de a produto vetorial por b é igual à norma de a vezes a norma db vez sus e no do ângulo formado entre os vetores vamos tentar interpretar por meio de um desenho tenho aqui por exemplo um vetor que eu vou chamar de b1 outro vetor aqui chamando de a o ângulo teta formado entre eles está aqui e os e no de teta oceano de teta lembra cateto oposto dividido pela hipotenusa lembrando um pouquinho da trigonometria se eu fechar aqui o triângulo retângulo com streaming a ver já estamos no extremo dia em a e depois em relação ao be poderia fazer de outras formas isto é vamos lembrar então da trigonometria oceno do ângulo teta é igual o cateto oposto ao ângulo teta dividido pela medida da hipotenusa de novo nesse triângulo retângulo a hipotenusa é estar aqui na direção do vetor a o cumprimento da hipotenusa é justamente a norma do vetor a de maneira que ao escrever aqui oceano de teta novamente eu tenho cena de teta igual ao cateto posto ao ângulo teta dividido pela norma de a se multiplicar os dois lados pela norma de eu tenho assim a norma de a vezes os e no teta é igual cateto oposto ao ângulo tenta trazendo para cá este aqui em azul e é justamente o cateto gosto ao ângulo teta ea medida dele é a norma de a vezes os e no teta trazendo esta ideia aqui para a para esta relação à norma de ar multiplicado então pelo senado de teta é igual na hora de a x centel cateto oposto ao ângulo teto então posso reescrever isso aqui como o a norma db multiplicado pelo cateto oposto ao ângulo teta nesse triângulo que eu desenhei aqui em baixo fazendo o raciocínio análogo com o que fizemos agora pouco em relação ao produto escalar aqui nós temos que o produto a norma do produto vetorial de apb é igual a norma db q é um dos vetores multiplicado pelo cateto oposto ao ângulo tenta que nada mais é que entre aspas a parte do outro vetor que o ac que é perpendicular ao b a norma do produto vetorial de app é igual ao tamanho do bebê a norma cumprimento do b multiplicado pela parte do ar entre aspas falando que é perpendicular ao bebê mais uma vez comparando com o produto escalar no produto escalar a escalar com b é obtido multiplicando o comprimento do vetor b pela parte do aqui tava estava na mesma direção que o be ou seja com as duas componentes entre aspas se movimentando junto agora aqui no produto vetorial não nós estamos multiplicando o cumprimento do vetor b pela parte do aqui é justamente perpendicular a ele você pode analisar isso por exemplo numa situação em que os dois vetores são perpendiculares se os dois vetores forem perpendiculares 90 graus entre eles a e b o módulo tua o produto vetorial com b é igual à norma de a pela norma db pelos e no de 90 graus ora você sabe que o selo de 90 graus é um então aqui eu e cena de 90 graus é o maior valor possível para os e no oceano é no máximo vale no máximo de ouro para no máximo 1 e aqui nós temos então o maior valor possível para o produto escalar o time o produto vetorial de dois vetores é imaginando que nós possamos variar o ângulo o maior valor do produto vetorial de dois vetores então é quando o ângulo entre eles um ângulo de 90 graus isso mostra que de acordo com o que nós estudamos antes que o o produto vetorial está relacionada à ideia de o quanto à parte de um movimento assim entre aspas perpendicularmente ao outro isso aparece é no valor máximo quando o ângulo entre eles é um ângulo reto ângulo de 90 graus quando que isso acontece no produto escalar ou seja quando o produto escalar é máximo quando o ângulo 1 a 0 quando setores são lineares quando os dois têm a mesma direção porque o cosseno disseram que o maior valor possível para o oceano ou seja o produto escalar é maximizado quando o ângulo entre os dois vetores é zero porque o cosseno do ângulo formado entre eles a 1 então esta parte aqui não precisa aparecer e o maior valor possível porque senão um e isso acontece quando quando os dois vetores são lineares ou seja quando os dois vetores tem a mesma direção que por exemplo seria o a eac o bê analisando de maneira semelhante se tiver dois vetores lineares que a e b o ângulo entre eles naturalmente é zero se o ângulo entre eles é zero a norma dia produto vetorial kombi vai multiplicar oceano de zero que a 0 então está zero ou seja não existe perpendicularidade entre eles porque o ângulo é zero não existe nada perpendicular entre will be neste caso neste mesmo momento o produto escalar é máximo que é obtido pelo cumprimento de a multiplicado pelo comprimento tb de maneira análoga quando temos um ângulo de 90 graus o produto escalar entre a e b é o mínimo que é zero porque o conselho de 90° zero assim nós podemos estudar estas ideias mantendo é em vista a o que temos em termos intuitivos porque muitas vezes nós ficamos nos é aprofundando em fórmulas indefinições e em rigores e à parte intuitiva vai ficando de lado vamos olhar uma outra situação que vale muito a pena esta situação envolve o produto vetorial vamos por aqui dois vetores a e b e vamos trabalhar com a área do paralelogramo que podemos formar aqui completando da seguinte forma vamos transportar o vetor ar paralelamente para o extremo do vetor b conseguiríamos algo talvez assim é a mesma coisa do b vamos transportar paralelamente ao b até o extremo aqui no doha formando assim então um um paralelogramo como nós podemos obter então a área desse paralelogramo aqui para isso nós sabemos que precisamos saber a altura do paralelogramo que é tem que ser perpendicular a um dos lados ou melhor dizendo perpendicular à dois lados paralelos aqui vamos chamar dh altura e nós já sabemos que a área do paralelogramo é a o comprimento da base que nesse caso é o comprimento do vetor b do modo que eu montei multiplicado pela altura mas o que é a altura neste caso primeiro vamos marcar aqui o ângulo formado entre os setores chamado teto é que nós estamos estudando até agora se você voltar um pouquinho atrás quando nós estudamos aqui esta idéia você vai ver que a altura é o cateto oposto ao ângulo teta então a altura aqui nesta situação o h vai ser nada mais nada menos que a norma de a multiplicada pelo senado do ângulo teta é o que nós temos aqui que foi estudado aqui vamos então reescrever a área do paralelogramo nós teríamos a norma de b x no lugar da altura eu vou escrever então a norma de a multiplicada pelos e no do ângulo teta finalmente então a área deste para lograrmos hora norma de aves norma de vezes e no teta voltando atrás um pouquinho nós sabemos que isso não é nada mais nada menos que a norma do produto vetorial entre os dois setores ou seja a norma de a produto vetorial por b temos aqui uma outra idéia de uso do produto vetorial de dois vetores ele a área do pará lo gramo que nós podemos compor projetando ou transladando um vetor ao extremo do outro sempre paralelamente o paralelogramo formado ali tem área que é obtida pela norma do produto vetorial entre os dois setores que deram origem a ele espero que com esse vídeo tenha sido possível você ter uma idéia um pouco mais intuitiva de aplicação de sentido e de comparação entre o produto escalar o produto vetorial entre dois vetores até o próximo vídeo