Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:15:47

Transcrição de vídeo

nós já estudamos o fato de existirem duas formas de fazer o que se chama de multiplicação de vetores de obter o produto entre vetores existe o produto escalar produto escalar também conhecido como produto ponto e existe também o que vamos estudar agora que é o produto vetorial produto cruz a vetorial mas o produto vetorial nós só tratamos em r 3 o produto escalar é menos limitado porque ele pode ser tratado em rn qualquer dimensão o produto vetorial nós temos só em r 3 nós vimos também que o produto escalar de um vetor por outro resulta em um escalar em um número real entretanto o produto vetorial de dois vetores em r 3 vai resultar em um novo vetor e este novo vetor é ortogonal aos outros dois vetores com os quais estamos efetuando o produto vetorial vamos definir então o produto vetorial e poder estudar com mais calma vamos considerar dois setores a e b em r 3 o vetor a tem as componentes a 1 e a2 a3 e o vetor b tem as componentes de um de 2003 a forma como se define o produto vetorial de apb indicado por a produto vetorial com o bebê por uma cruz por isso produto cruz também chama lembrando que o o resultado é um novo vetor esse resultado tem que ter três componentes estamos em r 312 obter um novo vetor em r 3 que o cálculo que se faz para obter as componentes é bastante interessante para a primeira componente nós usamos as outras duas dos dois vetores multiplicando-as da seguinte maneira a segunda componente do primeiro multiplicando pela terceira componente no segundo a 2 vezes b 3 a 2 vezes b3 - aí agora o contrário a terceira do primeiro multiplicando a segunda componente do segundo ou seja há três vezes e dois para a segunda linha nós vamos ter vamos usar a primeira ea terceira componente dos dois setores mas aqui cuidado nós vamos fazer o a três vezes 1 b1 e depois o contrário a 3b 1 a 3 de 1 - a 1 e 3 a 1 e b3 para terceira e última linha vamos usar então as duas primeiras usando fazendo a 1 e 2 a 1 e b2 - o a2 b1 a 2b um isso parece bastante extremas nós vamos analisar um pouco mais vamos ver aqui um exemplo vamos obter o produto vetorial de dois vetores dados vamos supor que eu tenho aqui o vetor com as componentes 1 - 7 e 11 - 71 o produto vetorial com o vetor de compor 52 45 24 isto vai ser igual a um novo vetor obtido do mesmo modo e acima vamos ver então a 2b 3 - a três b2 aqui na primeira linha então a 2 fez b3 é menos sete vezes 4 - a 3 e 21 vezes 21 vezes 2 estuprar a primeira componente do resultado agora na segunda linha 3d 1 - 1 b 3 a 3 de 11 vezes 51 vezes 5 - a 1 de 31 vezes 41 134 e finalmente a 1 e 2 na última linha a 11 de 21 vezes 2 - a2 b1 - sete vezes cinco menos sete vezes cinco vamos efetuar esses cálculos chegar ao vetor que resulta do produto vetorial desses 20 - 28 - dois resultam em - 35 - 4 resultou em 12 - - vai ser mais 35 então dois mais 35 37 este novo vetor que o temos aqui no resultado do produto vetorial é normal é ortogonal aos outros dois vetores dados que usamos para efetuar o produto vetorial entre eles este novo vetor ortogonal a e b de maneira que se desenharmos uma para os setores a e b vamos dizer que nós tenhamos aqui o vitor a aqui o vetor b o vetor que é o produto vetorial de ambos estaria por exemplo aqui perpendicular aos 2 perpendicular ao b perpendicular ao a este é o vetor a produto vetorial kombi observe que entre oa ou tendo a e b tendo dois vetores nós definimos um plano e o vetor a produto vetorial com br é normal a esse plano é perpendicular entre aspas a tudo neste plano definido por a e b como nós estudamos em vídeo anterior bem mas há infinitos vetores perpendiculares a e b ac ao plano definido por a e b e como é que eu vou fazer pra saber a direção e um sentido corretos do vetor definido pelo produto vetorial entre a e b existe para isso uma regra chamada regra da mão direita na regra da mão direita você posiciona o dedo indicador alinhado com o vetor primeiro vetor o primeiro vetor da operação veja nesse caso o primeiro vetor é oa e você gira sua mão entre aços para dentro no sentido de fechar o seu punho sentido ao seu próprio corpo de maneira a chegar no outro vetor que seria o bb nesse giro o seu dedão vai ficar perpendicular aos outros vetores e então de maneira que no na direção do e no sentido para o copo do seu dedão você tem o produto vetorial de apoio b outra forma também de você olhar é apontar ou alinhar o dedo indicador com o primeiro dos dois vetores observe que a ordem é importante aqui seria victor a e o dedo médio segundo dedo você deixa alinhado com dobra ele de maneira que fique alinhado com o segundo vetor do produto vetorial que neste caso é o vetor b ao alinhar desta forma automaticamente o seu dedão vai indicar se para cima ou para baixo em relação a esse plano definido por a e b está o sentido do produto vetorial de apb olha e fazer um lembrete que dois vetores a e b são ortogonais ortogonais 6 somente c o produto escalar o produto ponto entre a e b 0 essa é a definição de vetores ortogonais lembre se de que a diferença de vetores ortogonais e perpendiculares é que na ideia de setores ortogonais podemos usar o vetor zero ou seja quando falamos do produto vetorial de dois vetores também incluímos a possibilidade de que o vetor zero esteja ali com essa ideia então vamos provar que a vetor b produto já afetaria aldea por b realmente down é realmente é ortogonal aos setores a e b dados vamos repetir aqui esta expressão estudar um pouco o que eu vou fazer agora então é pegar o produto vetorial de apoio b e obter o produto escalar com o vetor aqui é o a1 a2 a3 vamos ver o que acontece neste caso aqui vamos desenvolver o produto escalar vamos ter a primeira componente daqui multiplicando a primeira componente daqui ou seja a 2b 3 multiplicando um fica a 11 a 2 e 3 já o vôo usará como atividade ea distributividade também - o a3 de dois meses a um ficaria a um a três b2 mas agora vamos para a segunda componente a 3b um vezes a 2 caria a2 a3 de um mas - a unb 3 a 2 vai ficar - a 1 a 2 e 3 mas agora terceira componente a um de dois por três fica a um a três b2 - agora 2001 pela 3 fica a 2 a 3 de um bem este produto escalar então pode ser simplificado e vamos ver aqui a 1 a 2 e 3 evidentemente vai cancelar com menos um a 2b 3 ac - a 1 a 32 cancela com mais um a três b2 e fatalmente o mais a 2 a 3 de um com menos a2 a3 b1 cancelando também tudo isso realmente resultou em 10 como era esperado porque já pela definição estávamos dizendo que o vetor produto vetorial já por b é perpendicular melhor dizendo é ortogonal mauá e ao be pelo menos ao a nós verificamos que realmente é vamos fazer a mesma coisa para verificar com victor b eu copiei aqui e preparei o mesmo procedimento mas agora para o produto escalar entre o resultado o produto vetorial e o vetor b vamos ver o que nos espera aqui vem vamos fazer vamos efetuar o produto escalar então a primeira componente com a primeira componente a 2003 por b1 vai ficar a dois e 13 - a três b2 por b 1 a 3 e 1 de 2 mais segunda componente agora a três de um por b2 tão a3p 1 e 2 já estou colocando numa ordem padrão para facilitar - a unb 3 por b2 então - a 1 e b2 b3 mas a terceira componente é um de dois por b 3 a 1 e b2 b3 - a2 b1 para b3 então a2 e b1 b3 vamos partir para a simplificação logo de cara a 2 b1 b3 vai cancelar com a 2 b1 b3 aqui do final na sequência sem muita dificuldade - a 3 b1 b2 com mais a três b2 e seguida por último o - a 1 de 2003 com mais um de 2003 resulta no tão esperado 0 então de fato o produto vetorial é ortogonal a também ao vetor p com isso então podemos concluir que de fato o produto vetorial é perpendicular melhor dizendo é ortogonal aos dois vetores envolvidos e você pode analisar a álgebra que tem aqui na definição e trabalhar bastante com ela e verificar o que de fato essa construção está muito bem feita esta idéia de produto vetorial muito útil em situações próprias da matemática mas também é muito útil em no seu curso de física com certeza você já deve ter trabalhado com isso lá também espero que isso tenha ajudado até o próximo vídeo