Introdução ao produto vetorial

RKA2MP - Nós já estudamos o fato de existirem duas formas de fazer o que se chama de multiplicação de vetores, de obter o produto entre vetores. Existe o produto escalar, também conhecido como produto ponto, e existe também o que vamos estudar agora, que é o produto vetorial ou produto cruz. Mas o produto vetorial, nós só tratamos em R³. O produto escalar é menos limitado porque ele pode ser tratado em Rⁿ, em qualquer dimensão. O produto vetorial nós temos só em R³. Nós vimos também que o produto escalar de um vetor por outro resulta em um escalar, em um número real. Entretanto, o produto vetorial de dois vetores em R³ vai resultar em um novo vetor. E esse novo vetor é ortogonal aos outros dois vetores com os quais estamos efetuando o produto vetorial. Vamos definir, então, o produto vetorial e poder estudar com mais calma. Vamos considerar dois vetores "a" e "b" em R³. O vetor "a" tem as componentes a₁, a₂, a₃ e o vetor "b" tem as componentes b₁, b₂, b₃. A forma como se define o produto vetorial de "a" por "b", indicado por uma cruz (por isso também se chama "produto cruz"), lembrando que o resultado é um novo vetor, esse resultado tem que ter três componentes. Estamos em R³, vamos obter um novo vetor em R³. E o cálculo que se faz para obter as componentes é bastante interessante. Para a primeira componente, nós usamos as outras duas dos dois vetores, multiplicando-as da seguinte maneira: a segunda componente do primeiro multiplicando pela terceira componente do segundo: a₂ vezes b₃. Menos... E agora o contrário: a terceira do primeiro multiplicando a segunda componente do segundo. Ou seja, a₃ vezes b₂. Para a segunda linha, nós vamos ter: vamos usar a primeira e a terceira componente dos dois vetores. Mas, aqui, cuidado: nós vamos fazer o a₃ vezes o b₁ e, depois, o contrário. a₃ vezes b₁ menos a₁ vezes b₃. Para a terceira e última linha, vamos usar as duas primeiras, fazendo a₁b₂ menos a₂b₁. Isto parece bastante estranho, mas nós vamos analisar um pouco mais. Vamos ver aqui um exemplo. Vamos obter o produto vetorial de dois vetores dados. Vamos supor que eu tenha aqui um vetor com as componentes 1, -7 e 1. Produto vetorial com o vetor de componentes 5, 2 e 4. Isto vai ser igual a um novo vetor, obtido do mesmo modo que acima. Vamos ver, então. a₂b₃ - a₃b₂ aqui na primeira linha. Então, a₂ vezes b₃ é -7 vezes 4. Menos a₃b₂: 1 vezes 2. Isto para a primeira componente do resultado. Agora, na segunda linha: a₃b₁ - a₁b₃. a₃b₁: 1 vezes 5. Menos a₁b₃: 1 vezes 4. E, finalmente, a₁b₂ na última linha. a₁b₂: 1 vezes 2. Menos a₂b₁: -7 vezes 5. Vamos efetuar estes cálculos e chegar ao vetor que resulta do produto vetorial destes dois. -28 - 2 resulta em -30. 5 - 4 resulta em 1. 2 - (-35) vai ser 2 + 35, então, 37. Este novo vetor que obtivemos aqui no resultado do produto vetorial é normal, é ortogonal aos outros dois vetores dados que usamos para efetuar o produto vetorial entre eles. Este novo vetor é ortogonal a "a" e "b". De maneira que, se desenharmos uma possível representação para os vetores "a" e "b", vamos dizer que nós tenhamos aqui o vetor "a" e aqui o vetor "b". O vetor que é o produto vetorial de ambos estaria, por exemplo, aqui, perpendicular aos dois, perpendicular ao "b" e perpendicular ao "a". Este é o vetor "a x b". Observe que, tendo "a" e "b", tendo dois vetores, nós definimos um plano e o vetor "a x b" é normal a esse plano, é perpendicular a "tudo" neste plano definido por "a" e "b", como nós estudamos em vídeo anterior. Bem, mas há infinitos vetores perpendiculares a "a" e "b" aqui, ao plano definido por "a" e "b". Como é que eu vou fazer para saber a direção e o sentido corretos do vetor definido pelo produto vetorial entre "a" e "b"? Existe para isso uma regra, chamada "regra da mão direita". Na regra da mão direita, você posiciona o dedo indicador alinhado com o primeiro vetor, o primeiro vetor da operação. Veja: neste caso, o primeiro vetor é o "a". E você gira sua mão "para dentro", no sentido de fechar o seu punho, sentido ao seu próprio corpo, de maneira a chegar no outro vetor, que seria o "b". Nesse giro, o seu dedão vai ficar perpendicular aos outros vetores. de maneira que, na direção e no sentido para o qual aponta o seu dedão você tem o produto vetorial de "a" por "b". Outra forma de você olhar é apontar ou alinhar o dedo indicador com o primeiro dos dois vetores. Observe que a ordem é importante: aqui seria o vetor "a". E o dedo médio, o segundo dedo, você deixa alinhado, você o dobra de maneira que fique alinhado com o segundo vetor, do produto vetorial, que neste caso é o vetor "b". Ao alinhar desta forma, automaticamente o seu dedão vai indicar se para cima ou para baixo, em relação a esse plano definido por "a" e "b", está o sentido do produto vetorial de "a" por "b". Vale aqui fazer um lembrete: que dois vetores "a" e "b" são ortogonais se, e somente se, o produto escalar, o produto ponto entre "a" e "b", é zero. Esta é a definição de vetores ortogonais. Lembre-se de que a diferença de vetores ortogonais e perpendiculares é que, na ideia dos vetores ortogonais, podemos usar o vetor zero. Ou seja, quando falamos do produto vetorial de dois vetores, também incluímos a possibilidade de que o vetor zero esteja ali. Com essa ideia, então, vamos provar que o produto vetorial de "a" por "b" realmente é ortogonal aos vetores "a" e "b" dados. Vamos repetir aqui esta expressão e estudá-la um pouco. O que eu vou fazer agora é pegar o produto vetorial de "a" por "b" e obter o produto escalar com o vetor "a", que é o a₁, a₂, a₃. Vamos ver o que acontece. Neste caso aqui, vamos desenvolver o produto escalar. Vamos ter a primeira componente daqui multiplicando a primeira componente daqui. Ou seja, a₂b₃ multiplicando a₁ fica a₁a₂b₃, já vou usar a comutatividade e a distributividade também, menos a₃b₂ vezes a₁, que ficaria a₁a₃b₂. Mais... Agora vamos para a segunda componente: a₃b₁ vezes a₂ ficaria a₂a₃b₁, mais... menos a₁b₃ vezes a₂ Vai ficar: menos a₁a₂b₃. Mais... Agora a terceira componente. a₁b₂ por a₃ fica a₁a₃b₂. Menos, agora, a₂b₁ por a₃, que fica a₂a₃b₁. Bem, este produto escalar pode ser simplificado. Vamos ver aqui. a₁a₂b₃. Evidentemente, vai cancelar com o -a₁a₂b₃ aqui. -a₁a₃b₂ cancela com +a₁a₃b₂. E, fatalmente, o +a₂a₃b₁ com o -a₂a₃b₁ cancela também. Tudo isso realmente resultou em zero, como era esperado porque, já pela definição, estávamos dizendo que o vetor "a x b" é perpendicular, ou melhor dizendo, é ortogonal ao "a" e ao "b". Pelo menos ao "a", nós verificamos que realmente é. Vamos fazer a mesma coisa para verificar com o vetor "b". Eu copiei aqui e preparei o mesmo procedimento, mas agora para o produto escalar entre o resultado do produto vetorial e o vetor "b". Vamos ver o que nos espera aqui. Vamos efetuar o produto escalar. A primeira componente com a primeira componente: a₂b₃ por b₁ vai ficar a₂b₁b₃. Menos a₃b₂ por b₁, que dá a₃b₁b₂. Mais a segunda componente agora: a₃b₁ por b₂, então, a₃b₁b₂. Já estou colocando em uma ordem padrão para facilitar. Menos a₁b₃ por b₂, então, menos a₁b₂b₃. Mais a terceira componente: a₁b₂ por b₃, a₁b₂b₃ Menos a₂b₁ por b₃ então, a₂b₁b₃. Vamos partir para a simplificação. Logo de cara, a₂b₁b₃ vai cancelar com -a₂b₁b₃ aqui do final. Na sequência, sem muita dificuldade, -a₃b₁b₂ com +a₃b₁b₂ em seguida. Por último, o -a₁b₂b₃ com o +a₁b₂b₃ resulta no tão esperado zero. Então, de fato, o produto vetorial é ortogonal, também, ao vetor "b". Com isso, podemos concluir que, de fato, o produto vetorial é perpendicular, ou melhor dizendo, é ortogonal aos dois vetores envolvidos. Você pode analisar a álgebra que tem aqui na definição e trabalhar bastante com ela e verificar que, de fato, esta construção está muito bem feita. Essa ideia de produto vetorial é muito útil em situações próprias da matemática, mas também é muito útil no seu curso de física. Com certeza, você já deve ter trabalhado com isso lá também. Espero que isso tenha ajudado. Até o próximo vídeo!