If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:18:53

Transcrição de vídeo

pior estudamos a desigualdade de cal schwartz que diz que se tivermos dois vetores xy não luz pertencentes à rn então o módulo do produto escalar deles é menor que o igual à do produto armas dos dois essa desigualdade é uma ferramenta muito importante em outros momentos da matemática inclusive agora que vamos estudar a desigualdade triangular também temos que se x é é igual a y x escalar então o produto o módulo do produto escalar dos vetores x e y é igual o produto das normas dos dois vetores e vice versa é que a cei somente se vamos estudar então o que acontece aqui com a norma da soma de dois vetores elevada ao quadrado lembrando que x mais y dois setores somados resultam em um outro vetor ea norma desse novo vetor elevada ao quadrado é igual a vamos lembrar uma ou outra informação de um outro vídeo que é o fato de que norma de um vetor ao quadrado é igual ao produto escalar do vetor por ele mesmo usando essa informação aqui nós podemos escrever aqui então a norma de x mais y é o vetor ao quadrado norma quadrado é igual produto escalar do x mais y por ele mesmo ou seja x mais y é um vetor escalar produto ponto escalar aqui produtos calar x mais y nós estudamos que é a propriedade distributiva vale para o produto escalar então isto pode ser reescrito como eu vou usar aqui uma cor preta atacar o x e um y daqui veja tudo isso multiplica x mais y então posso pensar no x produto não é multiplica produto escalar x produto com o x mais y x mais y mas o y agora que o y produto com o x mais y também continuando a usar a propriedade distributiva aqui eu tenho que vale o x o produto com o x mas o xis aqui produto com y x produto com y mas aqui mais a mesma coisa só que agora para o y então y produto com o x mas o y um produto com y y produto com o y muito bem nós sabemos que também vale comutativo seja se modificar a ordem no produto escalar eu não modifico o produto além disso é o vetor produto escalar com ele mesmo resulta na norma dele ao quadrado então ac x produtos calar com x resulta na norma de x ao quadrado mais x escalar com yy escalar coches a propriedade comutativa garante que temos duas vezes o produto escalar de x por y mas lembrando que produtos que ela resulta no número real então x calarco yy escala com x ao mesmo número adicionado então duas vezes aquele número e finalmente y escalar com y resulta na norma de y ao quadrado nesse momento vamos a uma observação e aqui nós vamos poder usar a desigualdade kausch fours só vamos é observar o seguinte na desigualdade kausch shorts nós temos o módulo de x produto escalar com y e aqui não temos o módulo mas temos uma informação importante x escalar com y veja isto pode resultar negativo e x pode ser o xk a corrupção pode resultar no número negativo mas comparando isto com o módulo de x escalar com y se isto for negativo isto vai ser positivo então x escalar com y é sempre menor que o igual modo dele mesmo certo se x escalar com y é menor que o igual ao módulo dele mesmo e o módulo de x calarco y é menor que o igual ao produto das normas de x e y que essa sim é é a desigualdade shorts conclusão então é que x escalar com y é menor que o igual às ao produto das normas de x por y vamos usar isso aqui em baixo então agora nós sabemos que x calarco y a menor que eu igual o produto das normas de x pela norma de y é o que estava exatamente em cima então o que nós tínhamos aqui o x a norma de x mais y ao quadrado é igual a esta expressão toda então a norma de x mais y elevada ao quadrado vai ser menor que o igual a a norma de x ao quadrado mais duas vezes eu vou substituir o produto escalar de x por y pelo produto das normas de x o y mas a norma de y ao quadrado eu fiz então foi substituir o produto escalar de x por y pelo produto das normas então o que eu tenho aqui em cima é menor que o igual ao que eu tenho aqui embaixo então uma norma de x mais y é o vetor da norma dele ao quadrado é menor que igual a esta expressão toda bem observe claro que temos garantido aqui que são todos os números positivos porque a norma de vetor é positivo ao quadrado positivo e assim por diante ora aqui nós podemos perceber uma outra coisa norma de x é número norma de y em número e assim por diante e nós podemos ver que temos aqui um trinômio quadrado perfeito norma de x ao quadrado mais duas vezes a norma de x pela y mais a norma de y ao quadrado então posso transformar tudo o que eu tenho aqui simplesmente em norma de x mas norma de y tudo ao quadrado temos mais algo a fazer como eu só tenho números positivos envolvidos aqui por causa das normas se extrair a raiz quadrada dos dois lados eu não tenho problema com sinais negativos e terá a desigualdade se mantém e eu vou ter do lado esquerdo simplesmente x mais y um vetor estamos falando de vetores é norma de x mais y menor que o igual a norma de x mas a norma de y a norma a soma de dois vetores é menor que o igual à soma das normas dos dois vetores isto é extremamente importante na matemática e recebe o nome de desigualdade triangular a desigualdade triangular chama-se desigualdade triangular por ter a ver é claro com a figura triângulo embora neste momento possa não parecer vamos olhar graficamente para isso um pouquinho e vai facilitar a compreensão vamos supor que eu tenho o meu ver torches aqui este é o x o vetor y aqui não vai ficar na posição padrão mas podemos estudar lo aqui está o ator y lembrando que eu estou aqui supondo que xy estão em r 2 é só para dar um exemplo poder visualizar melhor para obter a soma dos dois vetores nós teríamos um novo um novo vetor aqui este vetor em branco é o vetor que representa x mais y o que a desigualdade triangular diz é que o cumprimento deste victor é menor que é igual ao cumprimento desse vetor adicionado ao cumprimento deste vetor qual seria o caso extremo em que o módulo ou a norma de x mais y é igual à norma de x mas a norma de y seria no caso em que por exemplo nós tivéssemos os dois vetores na mesma direção por exemplo aqui o vetor x ac o vetor x e aqui poxa y neste caso o x mais y un seria exatamente do mesmo tamanho do mesmo comprimento do cumprimento de x mas o comprimento de y diferente desse outro caso que estava estudando aqui e neste caso aqui a desigualdade triangular se torna uma igualdade a norma de x mais y é igual à norma de x mas a norma de y esta situação aqui como é que fica na rua a matemática ali de trás vamos voltar um pouquinho voltando aqui exatamente neste ponto nós decidimos pela desigualdade de cal x-force que isto é menor que o igual a isso aqui muito bem quando que ele é igual nós já vimos lá atrás que quando um vetor é a multiplicação do outro por um escalar vamos voltar aqui ao lado e escrever que o x seja igual ao certo escalar multiplicado pelo y hora ando aqui a hess este momento a escrever x produto escalar com y equivale então a escrever equivale a escrever a no lugar de x eu tenho cmy produto escalar com y claro estamos considerando aqui que o seu número real positivo porque lá na desigual de shorts não nos importamos muito com isso porque ela estava em um módulo mas aqui não então vamos considerar que se é positivo bem se x calar com y negócios e y escalar com y isto tudo aqui se torna aos se multiplicado pelo y escalar com y o que é igual ser multiplicado pela magnitude pela norma de y ao quadrado y produto com y é norma dele elevada ao quadrado está um número positivo portanto se só faz sentido ser positivo de maneira que teríamos o x e um y com a mesma direção e o mesmo sentido nesta situação já que estamos com ser positivo sem dúvida nenhuma nós temos condições para afirmar que o módulo de x produto com y é igual ao próprio x produto que um y já que este produto vai ser positivo e o módulo também o será resumindo tudo isso se os x é igual a um constante multiplicando y constante positivo isso quer dizer o quê que o x e um y ontem a mesma direção e o mesmo sentido que é o que eu tinha no desenho agora lá embaixo agora mesmo veja só o x e y com a mesma direção e o mesmo sentido neste caso a soma dos dois vetores a norma da soma dos dois setores então a soma das normas dos vetores voltando aqui na nossa expressão nós estaremos numa situação que esta parte é igual a esta o que quer dizer que o sinal de desigualdade não seria mais neste caso específico os e na desigualdade seria um sinal de igualdade quando x e um y são um múltiplo por meio de escalar do outro então esta igualdade acontece quando o x é igual a serviço y sem do c1 escalar positivo bem nos casos que não são extremos então temos aqui a desigualdade triangular dizendo que um lado do triângulo é sempre menor que o igual perdão um lado do triângulo é menor que a soma das medidas dos outros dois lados do triângulo por isso desigualdade triangular nós fizemos aqui exemplos em r 2 estamos aqui em r 2 apenas duas dimensões mas isso tudo que está escrito vale para r de qualquer dimensão por exemplo r 100 que os vetores tem 100 componentes cada um resultado muito importante não só por causa da liminar mas também não acha planeado e este resultado nos vai ajudar a estudar a idéia de ângulos entre vetores tiveram ângulo aqui nós podemos lutar e não só em 2006 mas em rn em qualquer dimensão em qualquer quantidade dimensões nós podemos usar essa desigualdade para trabalhar com a idéia de ângulos entre vetores é o que veremos mais adiante até o próximo vídeo