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Vetor normal a partir da equação do plano

Transcrição de vídeo

RKA - Neste vídeo, vamos estudar como chegar a um vetor normal ao plano dada a sua equação. Primeiro, vamos lembrar algumas coisas sobre o plano. Temos aqui os três eixos do espaço "r3". Vou desenhar um plano qualquer. Aqui está. Lembrando que ele é infinito em todas as direções. E vou marcar algumas informações que vão ser muito úteis. Para começar, vou marcar um certo vetor, que eu vou chamar de vetor "n", que é o vetor normal ao plano, ele é perpendicular a qualquer vetor contido no plano. O vetor normal "n" vamos definir como sendo "ai", mais "bj" mais "ck". Vou marcar também um ponto conhecido sobre o plano. Este ponto vai ter as coordenadas "xp", "yp" e "zp", ponto “P”, vou chamar de ponto “P”. E eu vou marcar já o vetor com extremo em “P”. O vetor posicional em “P”. E vou chamar este vetor de vetor "P₁". Vamos chamar o ponto de "P₁" também. E o vetor vai se chamar vetor "P₁". Este vetor "P₁" vai ser composto por "xpi" mais "ypj" mais "zpk". "xp", "yp" e "zp" são as coordenadas do ponto "P₁", que está aqui. Vou marcar sobre o plano também um ponto qualquer chamado "P". Esse ponto "P" representa um ponto qualquer com as coordenadas "x", "y" e "z" quaisquer no plano. E então, existe um vetor com origem na origem do sistema, extremo "ip" que eu vou chamar de vetor "P". Este vetor "P" é composto por "xi" mais "yj" mais "zk". "x", "y" e "z" são as coordenadas do ponto "P" qualquer sobre o plano. Tendo o vetor "P" e o vetor "P₁" sobre o plano, o vetor que é a diferença entre os dois, que está aqui em azul, que é o vetor "P" - "P₁", está sobre o plano. Este azul é o vetor "P" - "P₁". Observe que a ideia é perceber o fato de que o vetor verde mais o vetor azul resulta no vetor amarelo. Por isso, o vetor azul é "P" - "P₁". O vetor "P" - "P₁", então, vai ser composto por (x - xp) i + (y - yp) j mais (z - zp) k. Agora, aqui tem algo extremamente importante. Se o vetor "P" - "P₁" pertence ao plano, então ele é perpendicular ao vetor "n". Conclusão, o produto escalar de "P" - "P₁" por "n" tem que ser zero. O produto escalar de dois vetores perpendiculares é sempre zero. Escrevendo aqui, o vetor "n" produto escalar com o vetor "P" - "P₁" tem que ser igual a zero. Vamos reescrever este produto vetorial com base nas componentes dos vetores. Vamos multiplicar a componente "a" do vetor "n" pelo "x" - "xp" do vetor "P" - "P₁" e assim por diante para obter o produto escalar desses vetores. Começando, nós teremos "a" multiplicando "x" - "xp". Já vou distribuir. Então, eu vou ter "ax" - "axp". Mais, agora a segunda componente, "b" pelo "y" - "yp". Vou distribuir. Teremos "by" - "P" multiplicando "yp". Finalmente, a terceira componente, então é +"cz" - "czp". Este é o resultado do produto escalar entre os vetores "n" e "P" - "P₁" e isso tem que ser igual a zero. O que eu vou fazer agora é deixar de um lado da igualdade o "ax" + "by" + "cz", e do outro lado da igualdade, o restante. Teremos então "ax" + "by" + "cz" igual ao - "axp", passa para o outro lado fica +"xp". Estou adicionando "axp" dos dois lados. "axp", - "byp" fica + "byp" - "czp" fica + "czp". Vamos voltar à equação do plano. Vamos lembrar que a equação do plano é "Ax" + "By" + "Cz" igual a "D". Neste caso, vemos que estas duas expressões são bastante análogas. Este "a" é exatamente este "A", este "b" é este "B" e este "c" é sim, este "C". Veja que eles multiplicam "x", "y" e "z". E tudo se encaixa perfeitamente, porque "axp" + "byp" + "czp" é simplesmente o número, já que o "xp", "yp" e "zp" são as coordenadas do ponto conhecido do plano. Então, o "D" é o resultado disso tudo. Ora, temos aquilo que queríamos. Veja, as componentes do vetor normal ao plano eram "a", "b" e "c". O vetor normal era "ai" + "bj" + "ck". Voltando para cá, sabemos que esse "A" maiúsculo está representando nesse momento o "a" minúsculo, o "B", o "b" e "C", o "c". Em outras palavras, daqui, dada a equação de um plano, automaticamente nós temos a equação, ou melhor dizendo, nós temos o vetor normal ao plano. Ele seria o "ai" + "bj" + "ck". Exatamente o "a", o "b" e o "c" que vêm da equação do plano. Mais uma coisa, este "D" não influencia para determinar o vetor normal? Não influencia, porque esse "D" só indica, modificando este "D" nós simplesmente modificamos a posição do plano, não a inclinação dele. De maneira que, seja qual for o "D", o plano pode estar, por exemplo, mais para cima ou mais para baixo. Entretanto, a inclinação dele é a mesma. Portanto, ele continua perpendicular a um certo vetor normal. De modo que isso é suficiente para determinar o vetor, dada a equação do plano. Note, também, que qualquer que seja o "xp" "yp" "zp", que são as coordenadas do ponto conhecido, o ponto dado do plano, ele vai resultar um número aqui no "D", que não vai também influenciar na determinação do vetor normal. Vamos tomar um exemplo numérico?Vamos supor que temos um certo plano cuja a equação é -"3x" + a raiz quadrada de "2y" +"7z" igual a π. Qual é o vetor normal a esse plano? Um vetor normal a este plano? Seria o vetor "n" -"3i" + raiz quadrada de "2j" +"7k". E pronto, está determinado vetor normal ao plano. Observe que sendo π ou qualquer outro número, pode ser "e", pode ser 100, isso não importa, isso não altera a direção do plano. Portanto, também não altera qual é o vetor normal ao plano. Espero que você tenha percebido bastante a utilidade dessa informação e nós vamos utilizá-la no próximo vídeo em que determinaremos a menor distância entre qualquer ponto no espaço "r3" e o plano. Até lá.