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Vetor normal a partir da equação do plano

Transcrição de vídeo

neste vídeo vamos estudar como chegar a um vetor normal o plano dada a sua equação primeiro vamos nos lembrar algumas coisas sobre o plano temos aqui os três eixos do espaço r 3 vou desenhar um plano qualquer aqui está lembrando que a infinity todas as direções e vou marcar algumas algumas informações aqui que vão ser muito úteis para começar vou marcar um certo vetor que eu vou chamar de vetor n que é o vetor normal o plano ele é perpendicular à qualquer vetor contido no plano o vetor normal m vamos definir como sendo a e mas de j mas se ficar vou marcar também um ponto conhecido sobre o plano este ponto vai ter as coordenadas xx p yp zp ponto pê chama de ponto p e eu vou marcar já o vetor com extreme p setor posicional a equipe e vou chamar este vetor de vetor eu vou chamar o ponto de perguntar também e o vetor vai se chamar vetor e 1 este vetor p1 então vai ser com x xp e mais yp j mais zelo e p cá xp y psp são as coordenadas do ponto de um que está aqui o plano também um ponto qualquer chamado p o que representa um ponto qualquer com as coordenadas xyz quaisquer no plano e então existe um vetor com origem na origem do sistema extremo ip que eu vou chamar de victor p este vetor p então é composto por x e mais yj mais e cá xyz são as coordenadas do ponto p qualquer sobre o plano tendo o vetor p&o vetor pew sobre o plano o vetor que é a diferença entre os dois que está aqui em azul que é o vetor e menos de 1 está sobre o plano este azul é o vetor p - o p1 observe que a idéia é perceber o fato de que o vetor verde mais o vitor azul resulta no vetor amarelo por isso o vetor azul é o que menos de 1 o vetor e menos pelo então vai ser composto por x - xp e mais y - yp j mas semedo cp cá agora que tem algo extremamente importante se o vetor p - p1 pertence ao plano então ele é perpendicular ao vetor n conclusão o produto escalar dp - p1 por n tem que ser zero o produto escalar de dois vetores perpendiculares é sempre zero gee escrevendo aqui vetor n produto escalar com o vetor p - p 1 isso tem que ser igual a zero vamos receber ver então este produto vetorial com base nas componentes dos vetores vamos multiplicar a componente a do vetor n peluches - xp do vetor pe - p1 e assim por diante para obter o produto escalar desses vetores começando então nós vamos ter aqui o a multiplicando xv no xp já vou distribuir então eu vou ter a x - a xp mas agora a segunda componente o bê pelo y - yp o iva vamos ter b y - p multiplicando yp finalmente a terceira componente não é mais cz - czlt11 o resultado do produto escalar entre os setores e np - p1 e isso tem que ser igual a zero o que eu vou fazer agora é deixar de um lado da igualdade o ashes mais o bymk o ccz e do outro lado da igualdade o restante teremos então a x + b y más cz igual ao menos a xp entre aspas passa por outro lado fica mais chespirito adicionando a xp dos dois lados não é isso a xp - b yp mais byb eo - czpe mais sesipe vamos voltar a equação do plano vamos lembrar que a equação do plano é a x + b e y mais cz igual à de neste caso aqui vemos que estas duas expressões são bastante análogas este a é exatamente este a este bsb estes e é assim estes e vejo que se multiplicam x ou y e z e tudo aqui se encaixa perfeitamente porque a xp mas byb mais cp é simplesmente o número já que o xp y e z pensam as coordenadas do ponto conhecido do plano então o de é o resultado disso tudo ora temos aqui aquilo que queríamos veja as componentes do vetor normal ao plano eram abc o vetor namora aí mas bj mas secar hora voltando pra casa sabemos que esse a maiúsculo está representando nesse momento a minúsculo bebê e os céus e em outras palavras daqui dada a equação de 1 o plano automaticamente nós temos a equação ou melhor dizendo nós temos o vetor normal ao plano ele seria o a e mais o bê j mas o c k exatamente o awb se que vem da equação do plano mais uma coisa este de não influencia para determinar o vetor normal não influencia porque se de só indica a modificando este de nós simplesmente modificamos a posição do plano não a inclinação dele de maneira que seja qual for o de o plano pode estar por exemplo entre aspas mas pra cima mas para baixo entretanto a eliminação dele é a mesma portanto ele continua perpendicular há um certo vetor normal de modo que isso é suficiente para determinar o vetor da adequação do plano note também que qualquer que seja o xp y psp que são as coordenadas do ponto conhecido ponto dado do plano é ele vai resultar um número aquino de que não vai também influenciar na determinação do vetor normal vamos tomar um exemplo numérico vamos supor que nós temos aqui um certo plano cuja a equação é menos 3 x mais a raiz quadrada de 2 y +7 z igual ap qual é o vetor normal a esse plano um vetor normal a este plano seria o vetor n menos três e mais raiz quadrada de 2 j mais sete cá e pronto está determinado vetor normal o plano observe que aqui sendo pi ou qualquer outro número pode ser e pode ser sem isso não importa isso não altera a direção do plano portanto também não altera qual é o vetor normal o plano espero que você tenha percebido bastante a utilidade dessa informação e nós vamos utilizá-la no próximo vídeo e determinaremos a menor distância entre qualquer ponto no espaço r 3 eo plano até lá