Distância do ponto ao plano

RKA - O que queremos estudar neste vídeo é como calcular a distância, ou como obter a distância mínima de um ponto a um certo plano. Mas primeiro, vamos nos lembrar de algumas coisas. Dado um certo plano, nós temos com relação a ele um vetor perpendicular a todos os seus vetores. Vamos chamar esse vetor de vetor "n" e vamos dizer que ele é definido por "ai" + "bj" + "ck". Vamos considerar também um certo ponto "P1" aqui no plano. Esse ponto, com as coordenadas "xp" "yp" e "zp" e o que nos dá a possibilidade de colocar um vetor de posição com origem na origem do sistema e extremo no ponto "P1". E este vetor, que eu vou chamar de vetor "P1", vetor "P1", este vetor "P1" é definido, então, por "xpi" + "ypj" + "zpk". Esse é o vetor "P1" que eu marquei aqui. Vamos lembrar também que a equação do plano pode ser dada por "Ax" + "By" + "Cz" igual a "D" e, mais ainda, lembrar que o vetor normal ao plano pode ser obtido simplesmente por "Ai" + "Bj" + "Ck". Ou seja, o "A", o "B" e o "C" da equação do plano nos dão "a", "b" e "c" do vetor normal. Vamos nos lembrar de outra coisa. O "D", como nós vimos no vídeo anterior, é o "axp" + "byp" + "czp". "a", "b" e "c" são componentes do vetor normal ao plano. E "xp", "yp" e "zp" são as coordenadas desse ponto conhecido no plano. Vamos trabalhar com um ponto fora do plano? Digamos, por exemplo, que este ponto aqui, com as coordenadas "x0", "y0", "z0". Nós conseguimos ali também determinar o vetor com origem na origem do sistema e extremo no ponto em questão, que nós estamos aqui localizando fora do plano. Este ponto não pertence ao plano. Queremos determinar a mínima distância deste ponto até o plano, o que significa pensar na distância desse ponto perpendicularmente ao plano. Para conseguir chegar a isso, vamos começar estudando o vetor que liga um certo ponto do plano, eu vou escolher o ponto "P1" conhecido, com o vetor que determinamos agora com extremos em "x0", "y0" e "z0", que estaria aqui. Este vetor laranja vai ser chamado de vetor "f". "f". Observe que o vetor "f" é vetor "f" é o vetor vermelho menos o vetor verde. Porque o verde mais o "f" resulta em vermelho. Então, já efetuando a subtração das componentes dos dois vetores, o vetor "f" vai ser igual a (x0 - xp) i mais (y0 - yp) j mais (z0 - zp) k. A distância que nós queremos calcular é esta aqui. A mínima distância entre este ponto e o plano formando naturalmente 90 graus com qualquer vetor do plano. Então, aqui se você observar, o vetor "f" é a hipotenusa deste triângulo retângulo que nós temos. E a distância que nos interessa saber é este cateto. Vamos chamar de "D" essa distância que queremos conhecer e sabemos, naturalmente, que existe um certo ângulo θ aqui, formado entre o vetor "f" e a distância "D" que nós queremos conhecer. Vamos usar um pouco da trigonometria para chegar a algumas conclusões. Olhando, então, para o ângulo θ, é fácil você lembrar que o cosseno dele é o cateto adjacente ao ângulo, cateto adjacente ao ângulo é a distância "D" que nós queremos calcular, dividido pela hipotenusa, que é o comprimento do vetor "f". Multiplicando os dois lados por "f", chegamos à conclusão que o comprimento de "f" vezes o cosseno do ângulo θ é igual à distância "D" procurada. E o que podemos afirmar sobre o ângulo θ? Bem, o ângulo θ é o ângulo formado entre o vetor "f" e o vetor que contém a distância procurada, que é perpendicular a todos os vetores do plano, contidos no plano. Então, a direção de "D" é necessariamente a mesma direção do vetor normal, embora a magnitude deles não seja a mesma. Temos aqui uma expressão que lembra um pouco o produto escalar de vetores e, para chegar até ele, eu vou multiplicar e dividir este lado da igualdade pelo mesmo número. E que número vai ser esse? Vai ser a magnitude do vetor normal "n", ou seja, vou colocar: magnitude de "n" multiplicando pela magnitude de "f" vezes o cosseno θ, e dividir isso tudo pela magnitude de "n". Veja, eu mutipliquei e dividi pela magnitude de "n", isso tudo igual a "d". O numerador desta expressão é exatamente o produto escalar do vetor normal pelo vetor "f". Então, reescrevendo a expressão, temos "n" produto escalar com "f" dividido pela magnitude de "n" igual a "d". Vamos então escrever aqui o produto escalar de "n" por "f" para poder interpretar. O produto escalar dele por "f", vamos nos lembrar do que está aqui acima, que o vetor "n" tem as componentes, os coeficientes da equação do plano. Então, aqui nós temos "A", "B" e "C" como os componentes do vetor "n". E do vetor "f" nós temos todos aqui. Efetuando o produto escalar pela sua definição, vou multiplicar o "A" pelo (x0 - xp) e eu já vou distribuir, ou seja, vou ficar com "A" que multiplica "x0", menos "A" que multiplica "xp", mais agora o "B", que eu multiplico pelo (y0 - yp). Então, "By0" - "Byp". Mais, da mesma forma para o "C", "C" que multiplica "z0", menos "C" que multiplica "zp". Completando a igualdade anterior aqui, precisamos dividir isto pela magnitude do vetor "n". E nós já estudamos anteriormente que a magnitude de um vetor é obtida pela raiz quadrada, a rais quadrada da soma dos quadrados das suas componentes. Então, a magnitude do vetor "n", a raiz quadrada do "A²" mais "B²" mais "C²". Vamos reorganizar e conseguir simplificar um pouquinho mais. Essa expressão toda, em primeiro lugar, é igual ao "d", a distância que nós estamos procurando, é a distância que nós estamos querendo escrever. Então, aqui temos "d" igual, e voltando à expressão que está ali acima, eu vou reorganizar assim. Vou organizar o "A" que multiplica "x0" mais "Bb" que multiplica "y0", mais "C" que multiplica "z0" menos, abre parênteses. Então, já foi esse, esse e esse. Agora, estou colocando o "menos" em evidência e vou ter aqui o "A" que multiplica "xp", mais "B" que multiplica "yp", mais "C" que multiplica "zp". Tudo isso dividido pela raiz quadrada de "A²" + "B²" + "C²". E nesse momento vamos relembrar uma coisa que foi estudada no vídeo anterior e que eu já coloquei aqui como um resuminho bem rápido. Na equação do plano, "D" é exatamente "axp" + "byd" + "czp". O que você está vendo aqui entre parênteses é o "D". Então, posso reescrever trocando esta parte por "D". Reescrevendo, então, toda a expressão, posso trocar esta parte simplesmente por "D" e eu consigo aqui obter a distância de um ponto, a mínima distância de um ponto ao plano conhecendo a equação do plano e conhecendo, obviamente, as coordenadas desse ponto cuja distância eu quero saber. Para compreender melhor, nada mais interessante do que um pequeno exemplo. Vamos supor que eu tenho um plano α cuja equação é "x" -"2y" + "3z" = 5. Esse é o plano. E queremos saber a distância do ponto (2, 3, 1), são as coordenadas do ponto, até o plano. Este seria o ponto com as coordenadas "x0", "y0" e "z0". Nós vamos simplesmente colocar essas informações nesta fórmula e ter o resultado. Neste caso, a distância vai ser igual a, precisamos, para preencher aqui, do "A" vezes "x0". Quem é o "A"? O "A" é o 1, é o coeficiente do "x". Então 1 vezes, quem é o "x0"? É a primeira coordenada do ponto, então 1 vezes 2 mais "B", que é -2 vezes "y0", que é o 3, mais "C", que é 3 vezes o "z0", que é o 1. Tudo isso menos "D", que é 5. Menos o 5. Tudo isso dividido pela raiz quadrada, a raiz quadrada de 1² + (-2)² + 3². A² + B² + C². Fazendo aquelas contas bem simples, nós temos aqui 2 - 6 + 3 - 5. Isso vai nos dar 6 negativo sobre a raiz quadrada, aqui é 1 + 4 é 5. 5 + 9 = 14. -6, sobre a raiz quadrada de 14 seria a distância deste ponto ao plano dado. Espero que você tenha visto isso como bastante útil e aplique em outras situações envolvendo distâncias de pontos a planos. Até o próximo vídeo.