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Transcrição de vídeo

o que queremos estudar neste vídeo é como calcular a distância como obter a distância mínima de um ponto há um certo plano mas primeiro vamos nos lembrar de algumas coisas dão certo plano nós temos com relação a ele um vetor perpendicular à todos os seus setores vamos chamar esse vetor de vetor n e vamos dizer que ele é definido por ai-1 mais bj mais seca vamos considerar também um certo ponto pelo um aqui no plano esse ponto com as coordenadas xp y psp e o que nos dá a possibilidade de colocar um vetor de posição de origem na origem do sistema e extremo no ponto 1 e este vetor que eu vou chamar de vetor e um vetor p 1 este vetor p 1 e então por chip e mais yp j mas e p cá esse é o vetor de um que eu marquei aqui vamos lembrar também que a equação do plano pode ser dada por a x + b y mais cz igual à de e mais ainda lembrar que o vetor normal o plano pode ser obtido simplesmente por a e mais bj mais se cá ou seja o ao beijos e da equação do plano nos dão albicy do vetor normal e vamos nos lembrar de outra coisa o de como nós vimos no vídeo anterior é o a xp mais b yp mais se z pe abc são componentes do vetor normal ao plano e xp y psp são as coordenadas desse ponto conhecido no plano vamos trabalhar com um ponto fora do plano digamos que por exemplo este ponto aqui com as coordenadas x 0 y 00 nós conseguimos ali também determinaram vetor com origem na origem do sistema e extremo no ponto em questão que nós estamos aqui localizando fora do plano este ponto não pertence ao plano nós queremos determinar a mínima distância deste ponto até o plano que significa pensar na distância desse ponto perpendicularmente ao plano para conseguir chegar a isso vamos começar estudando aqui o vetor que ligam certo ponto do plano e vou escolher o ponto pelo conhecido com o vetor que determinamos agora com extremos em x 0 são 100 que estaria aqui este vetor laranja vai ser chamado de vetor efe efe observe que o vetor efe é o vetor efe é o vetor vermelho - o vetor verde aqui porque o verde mas o f resulta em vermelho então já efetuando a subtração das componentes dos dois vetores o vetor f vai ser igual então a x 0 - xp e mais y 0 - yp j mas zezé 0 zp cá a distância que nós queremos calcular é esta aqui a distância mínima distância entre este ponto eo plano formando naturalmente 90 graus com qualquer vetor do plano então aqui se você observar o vetor efe é uma é a hipotenusa deste triângulo retângulo que nós temos aqui ea distância que nos interessa saber é este cateto aqui vamos chamar de de essa distância que queremos vencer e sabemos naturalmente que existe um certo ângulo teta aqui o ângulo tetaki formado entre o vetor f ea distância de que nós queremos conhecer vamos usar um pouco da trigonometria para chegar a algumas conclusões olhando então para o ângulo teta é fácil você lembrar que o cosseno dele é o cateto adjacente ao ângulo cateto adjacente ao ângulo ea distância de que nós queremos calcular dividido pelo poder usa que é o cumprimento do vetor efe multiplicando os dois lados por heath nós chegamos à conclusão que o comprimento df vezes o cosseno do ângulo teta é igual à distância te procurada e o que podemos afirmar sobre o ângulo teta bem o ângulo teta é o ângulo formado entre o vetor f e o vetor que contém a distância procurada que é perpendicular à todos os vetores do plano contínuo do plano então a direção de the é necessariamente a mesma direção do vetor normal embora magna jucá magnitude deles não sejam a mesma nós temos aqui uma expressão que lembra um pouco o produto escalar vetores e para chegar até ele eu vou multiplicar e dividir este lado aqui da igualdade pelo mesmo número e que o número vai ser esse vai ser a magnitude do vetor normal.no ou seja vou colocar aqui magnitude dn multiplicando pela magnitude df vezes o cosseno teta e dividir isso tudo pela magnitude de n vejo multiplicar e dividir pela magnitude n isso tudo igual à de o numerador desta expressão exatamente produto escalar do victor normal pelo vetor efe então nós temos aqui reescrevendo a expressão nós temos n produto escalar com heath dividido pela magnitude dn igualdade vamos então escrever aqui o produto escalar dn por f de interpretar o produto escalar dele por heath vamos nos lembrar do que está aqui acima que o vetor n tem as componentes os coeficientes da equação do plano então aqui nós temos abc como os componentes do vetor n e do vetor efe nós temos todos aqui efetuando o produto escalar pela sua definição vão multiplicar o apelo x 0 - xp e eu já vou distribuir ou seja vou ficar com a que multiplica x 0 - aqui multiplica a xp mas agora o bebê eu vou te pego pelo y 0 - yp então bny 0 - b yp mas da mesma forma para o c c que multiplica a 0 - e que multiplica z e completando a igualdade anterior aqui nós vamos nós precisamos dividir isto pela magnitude do vetor n e nós já estudamos anteriormente que a magnitude de um vetor é obtida pela raiz quadrada pela raiz quadrada da soma dos quadrados das suas componentes estão aqui a nota a magnitude do vetor n então a raiz quadrada do ao quadrado mais de ao quadrado mas seu quadrado vamos reorganizar aqui conseguir simplificar um pouquinho mais então essa expressão toda em primeiro lugar é igual ao de a distância que nós estamos procurando é a distância que nós estamos querendo escrever então aqui temos de igual e voltando a expressão aqui está ali acima eu vou reorganizar assim eu vou organizar o a que multiplica x 0 mas o bê que multiplica y10 mais você que multiplica os 0 - parentes então já foi e se esse e esse agora eu estou colocando menos em evidência e eu vou ter aqui o ac multiplica o xp mas o bê que multiplica o yp mas os e que multiplica o sep tudo isso dividido pela raiz quadrada já quadrado mais bem quadrado mas seu quadrado e nesse momento vamos relembrar uma coisa que foi estudada no vídeo anterior e que eu já coloquei aqui como uma um resuminho bem rápido na equação do plano de d é exatamente a xp mais byd mais csp o que você está vendo aqui então entre parênteses é o de então posso reescrever trocando esta parte por de reescrever então toda expressão posso trocar esta parte simplesmente por d e eu consigo aqui obter a distância de um ponto à mesma distância de um ponto ao plano conhecendo a equação do plano e conhecendo óbvio as coordenadas desse ponto cuja distância eu quero conhecer para compreender melhor nada mais interessante do que é um pequeno exemplo vamos supor que eu tenho aqui um plano alfa cuja equação é x -2 y + 3g igual a 5 esse é o plano e queremos saber a distância do ponto 231 suas coordenadas do ponto até o plano este seria o ponto com as coordenadas x epson 00 mas nós vamos simplesmente colocar essas informações nesta fórmula aqui e ter o resultado neste caso a distância vai ser igual a precisamos para preencher aqui o à vezes o x 0 o a quem é oa é o 11 é o coeficiente do x tão vezes quem é o x 0 é a primeira coordenada do ponto então vezes dois mas o bê que é - 2 - 2 vezes o y 10 que é o 3 mais os e que é três vezes o zero que é o 1 tudo isso dever menos - o de quem é o de é o 5 - 15 tudo isso dividido pela raiz quadrada a escuadra da de um ao quadrado mas menos dois ao quadrado mais três ao quadrado ao quadrado mas meu quadrado mais seu quadrado fazendo aquelas contas bem simples nós temos aqui dois - 6 + 3 - 5 isso vai nos dar seis negativo sobre a raiz quadrada aqui é um mais 455 mais 9 14 -6 sobre a raiz quadrada de 14 seria a distância deste ponto ao plano da ntu espero que você tenha visto isso como bastante útil e aplique em outras situações envolvendo distâncias de ponta planos até o próximo vídeo