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Demonstração da desigualdade de Cauchy-Schwarz

Transcrição de vídeo

vamos considerar que temos dois vetores x e y com ele componentes isto é pertencendo a rn e que não são luz não luz diferentes do vetor zero nós queremos aprovar uma desigualdade muito importante que diz que o módulo do produto escalar ou do produto ponto dos vetores x e y é menor que o igual a o produto tado cumprimento da longitude o da norma do vetor x pela norma do vetor y e dentro disso nós temos que o módulo do produto escalar de x por y seja igual a o módulo o valor absoluto de x ou a norma de x multiplicado pela norma de y ou c e somente ser um vetor é um escalar multiplicado pelo outro por exemplo x igual a uma constante real x y veja que é 6 somente c&a tudo isso nós damos o nome de desigualdade the clowns ii lars vamos demonstrar que essa desigualdade é verdadeira e para isso vamos precisar de uma função o chamar de pdt igual à definida por a norma de bater o número real multiplicando o vetor y - o vetor x que o resulta em um projetor a norma do vetor que resulta de tudo isso elevada ao quadrado é a função que eu vou usar vale a pena lembrar aqui que isso tudo vai ser um número real maior que igual a zero vamos fazer uma recordação de que a norma de um certo vetor verde qualquer do vetor qual quer ver é obtida pela raiz quadrada da soma dos quadrados das suas componentes então venham ao quadrado mas reduz ao quadrado mas exceter até o vn ao quadrado e de fato isso só pode dar um resultado numérico maior que o igual a zero mas temos outra informação importante a norma de um vetor ver também pode ser obtida se elevada ao quadrado como produto escalar do v por ele mesmo isto provamos nos vídeos anteriores usando então o que temos aqui em verde nós podemos reescrever a função aqui a forma de definir a função teríamos pdt igual à veja tudo isso que está aqui é um vetor cuja norma está elevada ao quadrado a norma de um vetor ao quadrado a produto escalar dele por ele mesmo ora então aqui nós podemos reescrever tudo que está aqui como o vetor tv exibe sono - x produto escalar com ele mesmo te y - x reescrevemos a função aqui nós demonstramos também nos vídeos anteriores as propriedades associativa comutativa e distributiva que existem no produto escalar e nós vamos fazer uso delas agora para desenvolver essa expressão que está aqui em verde a começar aqui o try para multiplicar o try ok muito análogo com que fazemos em números então vamos ter te y por ty produto escalar depois o t só um produto escalar com x - o x ur y agora olhando pro vetor xis aqui temos um - não podemos esquecer - o x por ty de novo aqui - o x produto ty e finalmente aqui - o x por - o x lembrando que temos menos um multiplicando xis aqui fazendo os devidos arranjos assim como analogamente fazemos com os números nós teríamos então mais o x escalar com o próprio x esta primeira parte amarelo graças à propriedade associativa graça propriedade comutativa que nós já estudamos tanto para tanto para números quanto para o produto escalar pode ser descrita como y produto escalar com y e depois multiplicado pelo t multiplicado pelo t portanto ter o quadrado lembrando que tem um número real neste outro trecho aqui nós temos menos um certo número real porque isso aqui é resultado de um produto escalar e aqui o mesmo número real de maneira que nós vamos ter menos duas vezes x escalar com y vezes o t por fim há que o mais x escalar com o próprio x vamos lembrar que tudo isto é maior que o igual a 0 voltando porque foi assim que definimos a função pdt e o resultado desta conta equivalente a esta é maior que o igual a zero agora você deve estar se perguntando por que eu escolhi essa função para o pdt e na outra vamos analisar para facilitar vamos reorganizar um pouquinho aqui vamos rescrever o pdt de outra forma vamos considerar que esta parte aqui vai ser chamada de a portanto pdt começa aqui por a vezes o t quadrado vamos considerar que esse menos dois que multiplica x escalar y vai se chamar b então aqui teríamos menos b existe e finalmente o x escalar com x vamos combinar que vai se chamar se de maneira que teremos aqui então mais c desta forma definimos o pdt de maneira mais simples nós sabemos que o anão é zero porque o é produto escalar de dois vetores nulos o vetor por ele mesmo na verdade então agora nós vamos calcular vamos obter o valor da função p em be sobre a 2a a quando teve a liberdade sobre dois anos vamos trabalhar com isso um pouco dessa forma então colocando b sobre dois anos lugar do termo será qa vezes o t quadrado te quadrada tudo isso ao quadrado então vamos lá o bê ao quadrado e denominador 4 porque os dois ao quadrado e ao quadrado - agora o bê que multiplica o tt nós estamos usando como bes sobre a 2a mas se você não envolve te fica simplesmente se vamos só lembrar que tudo isso é maior que igual a zero para qualquer valor de t portanto aqui também vamos simplificar um pouquinho a expressão então o p em betim sobre 2 a 1 lembrando que eu troquei o ter peso besa ao quadrado com aqui podemos cancelar vamos ter então simplesmente b ao quadrado sobre quatro a menos aqui o bê por b sobre 2a teremos b ao quadrado sobre dois a mais se podemos observar que dá para fazer algo mais aqui esta função em b sobre 2 a 1 vai ser igual a aqui neste nessa fração eu posso simplesmente trocar veja multiplicarem-se numerador e denominador 2 e eu teria então aqui o 2b quadrado e ao invés de 2 a 1 eu passaria a ter quatro a multiplicar numerador denominador pelo mesmo número não altera a fração ficam equivalentes então eu tenho aqui frações com denominadores iguais dominadores são iguais eu posso efetuar essa subtração então bem ao quadrado - 2b quadrado fica menos um bico quadrado sobre 4 a 1 mas os e melhorei esta parte é bom continuando já que tudo isso aqui é maior que o igual a zero vamos trabalhar agora com essa expressão que temos aqui bel 4 - b ao quadrado sobre quatro a mais e é maior que o igual a zero e isto significa que você é maior que o igual ou menos b quadrado sobre quatro passando pra lá fica bem ao quadrado sobre 4 a 1 ou melhor dizendo adicionei aos dois lados da desigualdade o bico quadrado sobre 4 a 1 eu vou agora multiplicar os dois lados da desigualdade por 4 a 1 mas atenção multiplicar por quatro a quem era ou a ua é o resultado do y escalar com y isso dá sempre um número positivo de maneira que eu ao multiplicar os dois lados por 4 a 1 o sentido da desigualdade permanece o mesmo muito bem ao multiplicar os dois lados da desigualdade pelo 4 a 1 nós vamos obter do lado esquerdo 4 a ser maior que o igual a aqui o 4 havia cancelar com a multiplicação por 4 a 1 b ao quadrado então só um lembrete se 14 a fosse um número negativo isso faria com que o sentido da desigualdade ficasse invertido ao invés de maior ou igual passaria ser menor que o igual a mas não é o caso 4 a 1 é positivo então a desigualdade se manter como está nós trabalhamos um pouco com a b c e agora vamos retomar o que deu origem ao bc que é o que realmente nos interessa vamos lembrar que o ael y escalar com y o bê amy é duas vezes o x escalar com y se x escalar com x vamos receber ver isso tudo desta forma nós vamos ter então quatro vezes o a no lugar do ar eu vou colocar então e y produto escalar com ele mesmo y um produto escalar com ele mesmo vezes você agora o que era mesmo ser x escalar com x 1 x escalar com x entre parênteses quatro vezes avc é maior que o igual a b ao quadrado quem era b b era duas vezes parênteses x escalar com y então nós vamos ter aqui o bê que vai ser elevada ao quadrado duas vezes o x escalar com y vamos continuar disse vendo aqui lembrando de que valem aquelas propriedades que já estudamos então aqui pela associatividade eu posso tirar estes parentes e melhor ainda eu posso me lembrar de que um vetor produto escalar com ele mesmo resulta na norma dele ele falou quadrado ou seja a nokia o número real pode esquecer norma de y ao quadrado y escalar com y vezes a mesma coisa acontece ali com xx escalar com x nos dá a norma de x elevada cuadrado e nós sabemos que isto tem que ser maior que o igual a esta expressão o2 ao quadrado fica quatro vezes e aqui o x escalar com y é o número real se eu fizer ele vezes ele mesmo podemos escrever como ele elevada ao quadrado podemos jair simplificando mais coisas naturalmente o 4 ac positivo cancela com 4 ac que também multiplica tudo bem aqui e você já tem evidências de que eu posso extrair a raiz quadrada dos dois lados da igualdade e cancelar os quadrados de maneira que do lado esquerdo da igualdade nós vamos ter a norma de y pela norma de x enquadrada canseira roda quadrada é tudo positivo maior que o igual a o produto escalar de x e y claro aqui em módulo porque aqui sim o x escalar com y pode ser algo negativo quando levamos ao quadrado vai ficar positivo raiz quadrada vai ficar positivo então na volta que precisamos considerar o valor absoluto de x escalar y neste momento temos aquilo que queríamos isto que está escrito aqui é a desigualdade de cache shores demonstramos então a primeira parte daquilo que queremos demonstrar mostrar que é verdadeiro que a norma de y vez a norma de x é maior que igual ao módulo do produto escalar desses dois vetores mas temos a segunda parte agora nós vamos então retomar que o x é igual alguns calar se multiplicando y de maneira que se inscrever mos o módulo do produto escalar de x e y vai ser a mesma coisa que escrever o módulo de no lugar do xv escrever se multiplicando y escalar com y pelas propriedades que já estudamos isso aqui é igual ao módulo de cedo do do número real multiplicando o módulo do produto escalar de y por y mas ora o que era mesmo módulo do y escalar y voltando lá atrás você vai lembrar que o módulo ou melhor dizendo o produto escalar de ypy é nada mais é que a norma de y elevada ao quadrado neste momento bar que a norma de y ao quadrado é ela fez ela mesmo então aqui temos módulo de ser multiplicando pela norma de y que multiplica norma de y lembra que a norma de y é um número real e agora uma idéia é importante aqui nós vamos fazer uso de uma informação que eu sugiro que você demonstre muito facilmente por meio da definição da norma do cálculo da norma do vetor é o fato de que o módulo desse módulo de número é multiplicado pela norma do victor é igual a norma do vetor obtido por cerveja y veja como se eu colocasse os e pra dentro da norma que esta conta que este pedaço a mesma coisa que isto sugestão demonstra pra você mesmo é extremamente simples então isso é igual a isso multiplicado pela norma de y ora nós já sabemos que servir exibição quem é mesmo voltando aqui ser visitado é o x então basta que escrevamos ac x norma de x vezes norma de y resumindo tudo o que fiz vamos aqui estamos dizendo que quando o x é o múltiplo escalar do y isto significa que isto aqui é válido ou seja o módulo do produto escalar de x por y é igual à norma de x multiplicada pela norma de y é o que tu obtivemos aqui se localizar tudo isso a desigualdade de cochicho ars diz que o módulo do produto escalar de dois vetores é menor que o igual a o produto das normas dos dois vetores isso nós demonstramos não numa primeira etapa e o módulo do produto dos dois vetores é igual o produto da norma dos 26 somente ser um é uma combinação linear do outro que é o que provamos por último a desigualdade de cochicho ars é muito útil ao provar outros resultados mais adiante em várias áreas da matemática espero que você tenha percebido então a utilidade disso nós vamos continuar estudando até o próximo vídeo