Demonstração: relação entre o produto vetorial e o seno de um ângulo

RKA1JV - Nos últimos vídeos, andamos tratando sobre produtos de vetores. Inclusive, sobre o produto vetorial de dois vetores o que resulta em um novo vetor. E nós vamos estudar, agora, a relação entre isso e o seno do ângulo formado entre os vetores. Lembrando que o produto vetorial é tratado em R₃. Para isso, nós vamos precisar nos lembrar do produto escalar, porque ele vai nos ajudar a chegar a algumas conclusões importantes. Vou colocar aqui do lado o lembrete de que o produto escalar entre dois vetores "a" e "b" é igual à norma, ou módulo, comprimento do "a" multiplicado pela norma do "b" multiplicado pelo cosseno do ângulo θ formado entre os vetores "a" e "b". A nossa ideia é usar esta informação e mais a definição de produto vetorial entre dois vetores "a" e "b". E tratar da outra informação importante que é o seguinte: tendo o produto vetorial de dois vetores "a" e "b", a norma desse vetor obtido é igual à norma do "a" multiplicada pela norma do "b". Multiplicada pelo seno do ângulo formado entre os dois vetores. Você já pode perceber que é bem simples lembrar que, no produto escalar, nós temos o cosseno do ângulo entre os vetores. No produto vetorial, temos o seno do ângulo entre os vetores, mas nós vamos, agora, tratar de demonstrar esta segunda informação a partir do que temos na primeira aqui. E na definição de produto vetorial. Para começar a demonstração, nós vamos trabalhar com a norma do produto vetorial de "a" por "b". Lembre-se que "a" vetorial "b", o produto vetorial de "a" por "b" resulta num novo vetor, a norma dele elevada ao quadrado vai ser o início do nosso trabalho. Para trabalhar com isso, vamos fazer um lembrete aqui ao lado de que a norma de um certo vetor qualquer ao quadrado resulta em um produto escalar do vetor por ele mesmo. O que também é igual à soma dos quadrados de suas componentes. Se o vetor "x" tem os componentes, x₁, x₂, etc, então, o produto escalar dele por ele mesmo, que é a norma dele ao quadrado, resulta em x₁² + x₂² até o xₙ². Nós temos que neste produto vetorial, vamos lembrar que temos apenas três componentes. E estamos trabalhando em R₃. E nós vamos escrever a soma dos quadrados das três componentes deste vetor que é o produto vetorial de "a" por "b". A primeira componente desse vetor é a₂b₃ menos a₃b₂. elevada ao quadrado. Mais a segunda componente que está aqui, também elevada ao quadrado. E ainda mais a terceira componente elevada ao quadrado que é esta linha. Nós vamos precisar desenvolver isso para ver o que temos e poder melhorar um pouquinho. Isto vai ficar bastante extenso, mas veja que é um trabalho simples e repetitivo. Vamos trabalhar primeiro, então, com esta parte, o quadrado da diferença de dois termos. Lembre-se faça o primeiro elevado ao quadrado, o que quer dizer o (a₂b₃)², ou simplesmente, a₂²b₃², menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo. Ou seja, 2a₂b₃ vezes a₃b₂, mais o segundo termo que é o (a₃b₂)² , a₃²b₂². Isto é o desenvolvimento dos primeiros parênteses. Mas, agora vamos lá, para a segunda parte, mais, aqui, vou fazer em vermelho. O primeiro termo ao quadrado a₃²b₁², menos duas vezes o primeiro vezes segundo, que é a₃b₁. vezes a₁b₃, mais o segundo termo que é (b₁b₃)². Já desenvolvendo de b₁²b₃². Mais, agora, por último, estes parênteses. Primeiro termo ao quadrado, a₁²b₂² menos duas vezes o primeiro que é b₂ vezes o segundo a₂b₁, mais o segundo termo quadrado a₂²b₁². Temos o desenvolvimento de todos esses parênteses. Vamos ver como melhorar um pouquinho mais isso na linha seguinte. Nós vamos agora fatorar colocando em evidência o a₁², onde houver a₁², depois o a₂², onde houver, e a₃² onde houver. Colocando o a₁² em evidência, vamos ver onde temos a₁². Aqui o a₁², multiplicando b₂² e temos aqui o a₁² multiplicando o b₃². Então a₁² em evidência, entre parênteses, b₂², mais b₃². Mais. Agora vamos colocar o a₂² em evidência, a₂² em evidência. Multiplica, vamos localizar a₂² tem aqui e a₂² temos aqui também. Colocando em evidência a₂² fica multiplicando o b₁² daqui e o b₃² deste outro termo. b₁² mais b₃². Finalmente, colocando o a₃² em evidência, b₁², mais o b₂². Era possível colocar a₁², a₂², a₃² em evidência, nós já fizemos. Vou colocar o -2 em evidência multiplicando estas outras partes de cada termo, o a₂b₃, a₃b₂, mais aqui a₃b₁, a₁b₃, mais a outra parte aqui a₁b₂, a₂b₁. Vamos deixar isso aqui reservado por um momento. E vamos trabalhar com outra coisa. Lembrando que esta expressão gigantesca que temos aqui é o resultado da norma do produto vetorial de "a" por "b" elevado ao quadrado. Vamos agora olhar um pouco para a informação que temos sobre o produto escalar. Lá em cima, nós lembramos que a norma de "a" multiplicada pela norma de "b", multiplicada pelo cosseno do ângulo formado entre os dois vetores é igual ao produto escalar de "a" por "b". Para chegar a algo que possa nos relacionar com as igualdades aqui acima, nós vamos elevar os dois lados desta igualdade ao quadrado. Isto tudo ao quadrado seria igual a isto tudo ao quadrado. Reescrevendo, nós teríamos aqui a norma de a² multiplicando a norma de b², multiplicando cosseno de θ². Lembre que posso escrever cosseno ao quadrado de θ. Igual ao escalar de "a" por "b" multiplicado por ele mesmo. Lembre que o produto escalar é um número real, então, elevado ao quadrado, é ele vezes ele mesmo. Vamos desenvolver um pouco isso. Lembrando que o produto escalar de "a" por "b", sendo a₁, a₂, a₃ as componentes do "a", e b₁, b₂, b₃ as componentes do "b", é igual ao a₁ multiplicado pelo b₁, mais o a₂ multiplicado pelo b₂, mais o a₃ multiplicado pelo b₃. Isso é o produto escalar de "a" por "b". Nós estamos elevando isso quadrado, ou seja, multiplicando isso por ele mesmo. Agora vamos desenvolver isso, vai dar um pouco de trabalho, mas não é tão difícil. Vamos usar um pouquinho também do cálculo mental. Eu vou ter que naturalmente usar a distributividade aqui, a₁b₁ multiplica por a₁b₁, aqui nós temos a₁²b₁². Então a₁²b₁² mais o a₁b₁ multiplica pelo a₂b₂, a₁, b₁, a₂, b₂, mais, o a₁b₁, multiplica o a₃b₃, então a₁, b₁, a₃, b₃. Mais, agora, vamos lá, o a₂, b₂ multiplica todo mundo lá do outro parêntese. a₂b₂ vezes a₁b₁ mais a₂, b₂, a₁, b₁, mais a₂b₂ multiplica por a₂b₂, é só elevar ao quadrado. Mais o a₂b₂ multiplicando a₃b₃. Mais, agora tudo de novo, vai ficar pequeno o espaço aqui. o a₃b₃ tem que multiplicar todo mundo lá também. Vamos direto ao assunto, a₃b₃ multiplicado por a₁b₁, mais a₃b₃ multiplicando a₂b₂, mas o a₃b₃ multiplicando ele mesmo que eleva ao quadrado. a₃²b₃². E vamos agora simplificar, nem coube na tela, ficou uma expressão bem grande. Vamos aqui agrupar o que pode ser agrupado. a₁²b₁² não tem nenhum termo semelhante, então, vamos colocar somente a₁²b₁² aqui. Se você observar, não podem ser agrupados aqueles que estão elevados ao quadrado. Então já vou colocar aqui o a₂²b₂², aqui já foi. E mais o a₃²b₃² que está lá no final. Vamos observar uma outra coisa que acontece aqui. o a₁b₁, a₂b₂ aparece novamente aqui, então, eu posso colocar mais duas vezes o a₁b₁, a₂b₂. A mesma coisa vai acontecer com a₂b₂, a₃b₃ e a mesma coisa com a₁b₁, a₃b₃ que aparece aqui e também aparece aqui. Então, eu posso colocar o 2 em evidência, multiplicando todos aqueles que aparecem duplicados. Aqui, a₁b₁, a₂b₂, mais a₁b₁, a₃b₃, mais a₂b₂, a₃b₃ que são aqueles que aparecem duas vezes. Então já coloquei o 2 em evidência. Consegui reduzir um pouco a escrita dessa expressão que estava bastante extensa. Após desenvolver todas essas expressões, uma coisa fica bem clara aqui. Nesta expressão aqui abaixo, este termo é o oposto deste aqui na expressão acima. Isso significa que trabalhando com as duas, podemos chegar a algum lugar. E que nós vamos fazer? Vamos adicionar a de cima com a de baixo e simplificar. Vamos organizar o raciocínio aqui. Eu quero adicionar esta expressão aqui a esta expressão aqui. Lembrando que eu quero trabalhar com o módulo do produto vetorial e o ângulo formado entre os vetores. O que eu vou fazer é lembrar que esta expressão daqui de cima é o resultado deste cálculo. E a expressão aqui de baixo é o resultado deste cálculo. De maneira que eu vou escrever o módulo do produto vetorial ao quadrado mais o módulo de a² vezes o módulo de b², vezes cosseno ao quadrado do ângulo entre eles é igual a esta expressão grande mais a outra de baixo. Vamos efetuar a norma de "a" produto vetorial por "b" ao quadrado adicionada à norma de a² multiplicada pela norma de b². Multiplicada pelo cosseno ao quadrado do ângulo θ formado entre os dois. Isso vai ser igual a adicionar, vamos retomar. Adicionar esta expressão toda com esta expressão toda. Já vamos começar simplificando. Ao adicionar a de cima com a de baixo, este termo todo cancelaria com este. Já nem vou copiar. Eu vou copiar esta parte mais esta outra parte a₁², estou copiando aqui de cima, multiplicando b₂² mais b₃², mais o a₂² que multiplica b₁² mais b₃², mais o a₃² que multiplica o b₁² mais o b₂². Mais. Agora, esta outra parte aqui. Vou escrever aqui abaixo a continuação, essa expressão continua aqui. Mais a₁²b₁² mais a₂²b₂², mais a₃²b₃², Continuando, vou reescrever aqui embaixo. Se você observar, nós temos algo importante aqui. a₁² aqui se repete aqui e podemos colocá-lo em evidência. Teríamos a₁² que multiplica b₂² mais b₃², mais b₁², colocando em uma ordem mais interessante. b₁² mais b₂², mais b₃². Mais. Agora já deu para perceber que vai acontecer parecido com os outros. o a₂² que aparece aqui e se repete aqui, vamos colocar em evidência a₂² multiplica o b₂², mais o b₁², e mais o b₃². Colocando na ordem: b₁² mais b₂², mais b₃², e já é possível ver o que vai acontecer ali quando eu colocar o a₃² em evidência. a₃² aparece aqui e aqui. colocando em evidência, então, a₃² multiplica b₁², mais b₂², mais b₃². Agora acontece algo mais interessante ainda. Isto que está entre parênteses é um fator comum, pode ser colocado em evidência. Vamos escrever, então esta expressão toda igual a, vou colocar em evidência o b₁², mais o b₂², mais o b₃². Isso multiplica, daqui vem o a₁², mais o a₂² e mais o a₃². Voltando um pouquinho, temos algo bastante interessante. Isto aqui é exatamente a norma de "b", do vetor "b", elevado ao quadrado. Se você voltar lá atrás, produto escalar do vetor por ele mesmo, com três componentes vai dar isso aqui. Multiplicando aqui, a mesma ideia. A norma do vetor a². Lembre-se de que estamos interessados nisto aqui, na norma de "a" vetor b². Vamos "passar", vamos subtrair dos dois lados, este termo todo e melhorar um pouquinho essa expressão. Estamos perto do final. Passando isso tudo aqui para o outro lado, nós vamos ter a norma ao quadrado do "a" vetor "b", igual à norma de b² multiplicando a norma de a² menos todo este outro termo aqui que "passou para o lado de lá". A norma de um vetor ao quadrado é um número multiplicando o outro, podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação. Este fator aqui é comum nos dois termos. E eu posso colocá-lo em evidência. Nós teremos aqui, reescrevendo, a norma de a² multiplicando a norma de b², em evidência, multiplica, deste termo nós temos 1, que é o fator que o multiplica, menos, deste termo temos o cosseno ao quadrado do ângulo. Muito bem, lembrando um pouquinho lá da trigonometria, vamos fazer uma observação aqui. Você se lembra de que seno ao quadrado do ângulo mais cosseno ao quadrado do mesmo ângulo resulta sempre em 1. Então o seno ao quadrado de um ângulo é igual a 1 menos o cosseno ao quadrado desse ângulo. Este pedaço é igual a este. Eu vou substituir 1 menos cosseno ao quadrado do ângulo por seno ao quadrado do ângulo. Teríamos, então, a norma de "a" produto vetorial por b² igual à norma de a² vezes a norma de b² vezes isso tudo, eu vou trocar por seno ao quadrado do ângulo. Ok, já estamos bem perto de onde queremos chegar. Falta só finalizar, agora só falta extrair a raiz quadrada dos dois lados. O que quer dizer cancelar esses expoentes 2, e teríamos finalmente que: a norma de "a" produto vetorial por "b" é igual à norma de "a" multiplicando a norma de "b", multiplicando seno do ângulo formado entre eles. Que era exatamente o que queríamos demonstrar lá no começo. E chegamos ao fim da demonstração. Essa é uma demonstração importante. Espero que você tenha compreendido bem. Nosso estudo continua. Até o próximo vídeo!