Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:18:09

Demonstração: relação entre o produto vetorial e o seno de um ângulo

Transcrição de vídeo

nos últimos vídeos andamos tratando sobre produtos de vetores inclusive sobre o produto vetorial de dois vetores o que resulta em um novo vetor e nós vamos estudar agora a relação entre isso e oceano do ângulo formado entre os vetores lembrando que o produto vetorial é tratado em r 3 para isso nós vamos precisar nos lembrar do produto escalar porque ele vai nos ajudar a chegar a algumas conclusões importantes vou colocar aqui do lado lembrete de que o produto escalar entre dois vetores a e b é igual à norma o módulo cumprimento do a multiplicado pela norma do b multiplicado pelo cosseno do ângulo teta formado entre os setores a e b a nossa ideia é usar esta informação e mais a definição de produto vetorial entre dois vetores ahb e tratar da outra de uma outra informação importante que é o seguinte tendo o produto vetorial de dois vetores a e b a norma desse vetor obtido é igual a norma do a multiplicada pela norma do b multiplicada pelo sino do ângulo formado entre os dois vetores ou seja pode perceber que é bem simples lembrar que no produto escalar nós temos o cosseno do ângulo entre os setores no produto vetorial temos oceano do ângulo entre os vetores mas nós vamos agora tratar de demonstrar esta segunda informação a partir do que temos na primeira aqui e na definição de produto vetorial para começar a demonstração nós vamos trabalhar com a norma do produto vetorial de apoio b lembra que a vetorial kombi produtor já por b resulta num novo vetor a norma dele elevada ao quadrado vai ser o início do nosso trabalho e para trabalhar com isso vamos fazer um lembrete aqui ao lado de que a norma de um certo vetor qualquer ao quadrado resulta em o produto escalar do vetor por ele mesmo o que também é igual à soma dos quadrados de suas componentes se o vetor x tem os componentes x 1 x 2 e terá então o produto escalar dele por ele mesmo que a norma dele ao quadrado resulta em x 1 o quadrado mais x 2 ao quadrado até o xv no quadrado nós temos que neste produto vetorial vamos lembrar que temos apenas três componentes estamos trabalhando em r 3 e nós vamos então escrever a soma dos quadrados das três componentes deste setor que é o produto vetorial já por bin a primeira componente desse setor é a 2003 - a três b2 elevada ao quadrado mais a segunda componente que está aqui também elevada ao quadrado o quadrado e ainda mais a terceira componente elevada ao quadrado que esta linha bem nós vamos precisar desenvolver isso para ver o que temos e poder melhorar um pouquinho isto vai ficar bastante extenso mas veja que é um trabalho simples e repetitivo vamos trabalhar primeiro então com esta parte o quadrado da diferença de dois termos lembre se faça o primeiro elevada ao quadrado o que quer dizer o a 2003 ao quadrado ou simplesmente a 2 quadrado e 3 quadrado menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo seja a dois de três vezes a três b2 mas o segundo termo que ela 32 elevada ao quadrado a 3 quadrado p2 quadrado e isto é é a de o desenvolvimento dos primeiros parentes mas agora vamos lá para a segunda parte mas aqui fazer em vermelho o primeiro termo quadrado a 3 quadrado de um quadrado menos duas vezes o primeiro eo segundo que é a 3 de 11 vezes a um p-3 mais o segundo termo que a b1 b3 quadrado já desenvolvendo de um quadrado b3 quadrado as agora por último estes parentes primeiro termo quadrado a um quadrado p2 quadrado menos duas vezes o primeiro que é um de dois pesos segundo a 2b um mais o segundo termo quadrado tão a 2 quadrado de um quadrado temos aí o desenvolvimento de todos esses parentes vamos ver como melhorar um pouquinho mais isso na linha seguinte nós vamos agora é faturar colocando em evidência o a um quadrado onde houver um ao quadrado depois o a2 ao quadrado de o velho a 3 ao quadrado onde houver colocando o a1 ao quadrado em evidência vamos ver onde temos a uma o quadrado aqui um ou quadrado mesmo multiplicando b2 ao quadrado e temos aqui um o quadrado multiplicando o b3 o quadrado então o quadrado em evidência entre parênteses b2 quadrado mais de três quadrados mas agora vamos colocar o a2 ao quadrado em evidência a 2 ao quadrado em evidência multiplica vamos localizar a 2 ao quadrado tem aqui e a2 ao quadrado temos aqui também então colocando em evidência dois ao quadrado fica multiplicando o bb1 ao quadrado daqui eo ip3 ao quadrado deste outro termo de uma quadrado mais de 3 ao quadrado finalmente colocando o a 3 ao quadrado em evidência de um quadrado mais o bedos ao quadrado do que era possível colocar a um quadrado a 2 em quadrado a 3 ao quadrado em evidência nós já fizemos então vou colocar o menos dois em evidência multiplicando estas outras partes de cada termo o a 2003 a 32 mas aqui o a3 de 1 a 1 e 3 mas a outra parte aqui há um de 2 a 2 b 1 vamos deixar isso aqui reservado por um momento e vamos trabalhar com outra coisa lembrando que esta expressão gigantes que temos aqui é o resultado da norma do produto vetorial já por bem levar ao quadrado vamos agora olhar um pouco para a informação que temos sobre o produto escalar lá em cima nós lembramos que a norma de a multiplicada pela norma db multiplicada pelo oceano do ângulo formado entre os dois setores é igual ao produto escalar de a urbe para chegar a algo que possa nos relacionar com a igualdade saque acima nós vamos levar os dois lados desta igualdade ao quadrado isto tudo ao quadrado ser igual a isto tudo ao quadrado e escrevendo nós teríamos aqui a norma de ar ao quadrado multiplicando a norma db ao quadrado multiplicando cosseno de teta ao quadrado lembra que possa servir com se no quadro de teta igual ao produto escalar de apoio b x ele mesmo lembra que o produto escalar o número real é levado ao quadrado ele fez ele mesmo vamos desenvolver um pouco isso lembrando que o produto escalar de apuro b100 do a1 a2 a3 as componentes do igp um de 2013 as componentes do b é igual a um multiplicado pelo b1 mais o a2 multiplicado pelo p2 mais o a3 multiplicado pelo b3 isso o produto escalar de apb nós estamos levando isso quadrados seja multiplicando isso por ele mesmo agora vamos desenvolver isso vai dar um pouco de trabalho mas não é tão difícil vamos usar um pouquinho também do cálculo mental eu vou ter que naturalmente usar a distributividade aqui a 1 b1 x 1 b1 aqui nós temos a um quadrado de um quadrado então a um quadrado de um quadrado mas o a1b um multiplica pelo 2002 então a 1 de 1 a 2 p2 mais o a1 de um multiplicou a 3 b3 então há um de 1 a 3 b3 mas agora vamos lá o a 2002 multiplica todo mundo lado outros parentes em 2002 são de um tão mais a 2b 2 a 1 de 1 mas a 2 p2 multiplica por a 2002 é só levar ao quadrado mas o 2 b2 multiplicam a 3 b3 mas agora tudo de novo vai ficar pequeno espaço aqui em doha 3 b3 só 3 b3 tem que multiplicar do mundo lá também vamos direto ao assunto a 3b 3 x 1 b1 mais a 3 b3 multiplicando a 2002 mas o a 3 b3 multiplicando ele mesmo que leva o quadrado a 3 ao quadrado petres ao quadrado e vamos agora simplificar nem clube na tela que ficou uma expressão bem grande vamos aqui agrupar o que pode ser agrupado a um quadrado de um quadrado não tem nenhum termo semelhante então vamos colocar somente a um quadrado de um quadrado aqui se você observar não podem ser agrupados aqueles que estão elevados ao quadrado então já vou colocar aqui o a2 quadrado b2 quadrado aqui já foi e mais o a3 quadrado b3 quadrado está lá no final vamos observar uma outra coisa que acontece aqui o a unb um a 2002 aparece novamente aqui então eu posso colocar mais duas vezes o a1 e b1 a 2002 a mesma coisa vai acontecer com a 2b 2 a 3 b3 e a mesma coisa com a 1 de 1 a 3 b3 que aparece aqui e também aparece aqui então eu posso colocar o 2 em evidência dois em evidência multiplicando todos aqueles que aparecem duplicados aqui o 1 b1 a 2 de 2 mais a 1 b1 a 3 b3 mas o a2 b2 b3 baa3 b3 que são aqueles que aparecem duas vezes então já coloquei os dois em evidência conseguir reduzir um pouco a escrita dessa expressão que estava bastante extensa após desenvolver todas essas expressões uma coisa fica bem claro aqui nesta expressão aqui abaixo este termo é o oposto deste aqui na expressão acima então isso significa que trabalhando com as duas podemos chegar a algum lugar e o que nós vamos fazer vamos adicionar ao de cima com a de baixo e simplificar vamos organizar o raciocínio aqui então eu quero adicionar é esta a expressão aqui a esta expressão aqui lembrando que eu quero trabalhar com o módulo do produto vetorial e o ângulo formado entre os vetores então o que eu vou fazer é lembrar que esta expressão daqui de cima é o resultado deste cálculo então ea expressão aqui de baixo é o resultado deste cálculo de maneira que eu vou escrever o módulo do produto vetorial quadrado mais o módulo de ar ao quadrado vez um modo de ver o quadro ficou sendo o quadrado do ângulo entre eles é igual a esta expressão zona mais a outra de baixo vamos efetuar a norma de a produto vetorial por bi ao quadrado adicionada à norma de ar ao quadrado multiplicada pela norma de bebê ao quadrado multiplicada pelo cosseno ao quadrado do ângulo teta formado entre os dois isso vai ser igual a adicionar vamos retomar adicionar é esta expressão tudo dá com esta expressão toda já vamos começar simplificando adicionará de cima com a de baixo este termo todo cancelaria com este ok então já nem vou copiar eu vou copiar esta parte mais esta outra parte a 1 ao quadrado stocco pena que de cima multiplicando de 2 ao quadrado mais bitrens ao quadrado mais o a2 ao quadrado que multiplica de um ao quadrado mais de 3 ao quadrado mais o a3 ao quadrado que multiplica o b1 ao quadrado mais o p2 ao quadrado mas agora é esta a ultrapar ti aqui eu vou escrever aqui abaixo a continuação essa essa expressão continua aqui mas há um quadrado de um quadrado mais a 2 quadrado de 2 quadrado mais a 3 quadrado b3 quadrado continuando a escrever aqui embaixo se você observar nós temos algo importante aqui hua um ao quadrado aqui se repete aqui e podemos colocá lo em evidência teríamos então a 1 o quadrado que multiplica b2 quadrado mais de 3 quadrado mais de um quadrado colocando uma ordem mais interessante de um quadrado mais b2 quadrado mais de 3 quadrado mas agora já deu pra perceber que vai acontecer parecido com os outros o a 2 quadrado que aparece aqui e se repete aqui vamos colocar em evidência a 2 ao quadrado multiplica o p2 quadrado mas o de um quadrado e mais o b3 quadrado colocando na ordem de um quadrado mais b2 quadrado mais de 3 quadrado e já é possível ver o que vai acontecer ali quando eu colocar o a3 ao quadrado em evidência a 3 ao quadrado aparece aqui e aqui colocando em evidência então a 3 ao quadrado multiplica de um quadrado mais b do escuadra dado mais b3 quadrado e agora acontece algo mais interessante ainda isto que está entre parentes é um fator comum pode ser colocado em evidência vamos escrever então esta expressão toda igual a vou colocar em evidência o p1 ao quadrado mais o b2 ao quadrado mas o b3 ao quadrado isso multiplica tac vem o a um quadrado a um quadrado mais o a2 quadrado e mais o a3 quadrado bem voltando um pouquinho temos algo bastante interessante isto aqui é exatamente a norma db do vetor b elevada ao quadrado traz produtos calar do vetor por ele mesmo com três componentes vai dar isso aqui multiplicando aqui a mesma idéia a norma do vetor a elevada ao quadrado lembre se de que estamos interessados listo aqui na norma de a victor b ao quadrado então vamos passar entre aspas não subtrair dos dois lados este termo todo e melhorar um pouquinho essa expressão estamos perto do final então passando isso tudo aqui para o outro lado nós vamos ter a norma ao quadrado do a vítor baía é igual a norma db o quadrado multiplicando a norma de ao quadrado - todo este outro termo aqui que entre aspas passou pro lado de lá a norma de um vetor ao quadradão número multiplicando o outro podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação então este fator aqui é comum nos dois termos e eu posso colocá lo em evidência nós teremos então aqui reescrevendo a norma de ar ao quadrado multiplicando a norma db ao quadrado em evidência multiplica deste termo nós temos um que é o fator que multiplica ele - deste termo temos o cosseno quadrado do ângulo com 100 no quadrado o ângulo muito bem lembrando um pouquinho lá da trigonometria vamos fazer uma observação aqui você se lembra de que senna o quadrado do ângulo mas cosseno ao quadrado do mesmo ângulo resulta sempre um então o oceano ao quadrado de um ângulo é igual a 1 - o cosseno quadrado desse ângulo então este pedaço é igual a este eu vou substituir 1 - coocenal quadrado do ângulo por cento ao quadrado do ângulo teríamos então a norma de a produtora alcon bial quadrado igual a norma de a ao quadrado vez a norma db ao quadrado fez isso tudo eu vou trocar por cena o quadrado do ângulo ok já estamos bem perto de onde queremos chegar certo falta só finalizar agora só falta então extrair a raiz quadrada dos dois lados o que quer dizer cancelar esses é esses poentes 2 e teremos finalmente que a norma de a produto vetorial por b é igual à norma de a multiplicando a norma db multiplicando seno do ângulo formado entre eles que era exatamente o que queríamos demonstrar lá no começo e chegamos ao fim da demonstração essa é uma demonstração importante espero que você tenha compreendido bem nosso estudo continua até o próximo vídeo