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Demonstração das propriedades do produto escalar do vetor

Transcrição de vídeo

neste vídeo vamos estudar algumas propriedades do produto escalar de vetores e algumas coisas você vai notar muito familiares porque você já usa com os números entretanto nós estamos aqui tratando de vetores não podemos assumir que nada é verdadeiro sem antes provar que é o que nós vamos fazer a primeira coisa que nós vamos provar é a comutatividade ou seja se eu tiver um vetor ver o produto escalar com o vetor w será que é igual a fazer o w produto escalar com véus seja se eu mudar a ordem no produto escalar eu tenho o mesmo resultado vamos verificar vamos supor que o vetor ver seja composto por ver um v2 até o vn e eu vou aplicar a ele produto escalar com o vetor w que têm os componentes w1 w2 etc terá até o wn que é o que você está vendo no primeiro membro da igualdade pela definição nós sabemos que isto resulta em ver um vezes w1 e são números reais nem precisa disso mas vê 2 vezes w2 mais ver 3d w3 até o vn resultado n vamos agora analisar o lado direito da igualdade que é wv vezes ver o vetor w que tem w1 w2 até o wn produto escalar com o vitor vê que é o ver um v2 até o vn e isso nós sabemos pela definição de produtos claro que vai resultar em w 11 vezes vê um mais w2 vezes v2 mas w3 vezes e 3 assim por diante até wn vezes vn o fato é que vê um vezes w1 é um número real multiplicado pelo outro o por outro w1 vezes vê um também a multiplicação de dois números reais e nós sabemos pela propriedade comutativa da multiplicação para números reais que viu um w um é igual a w1 v1 do mesmo jeito pra ver 2w 2 com w2 v 2 e assim por diante observe que esta igualdade nós sabemos porque conhecemos a propriedade comutativa mas para números reais é isso aqui são números reais não são vetores nós aqui quando tratávamos de vetores tínhamos que demonstrar o fato é que agora demonstrando que para todas as parcelas escrever um w não é a mesma coisa que dava no v1 e v2 w2 mesma coisa aqui w 2002 e assim por diante nós podemos então concluir que o v escalar com w que é o primeiro a primeira linha que é de fato igual ao wyk lar com v e assim nós demonstramos que de fato isso aqui é verdadeiro vamos agora analisar a distribuir vida diz do produto em relação à adição de vetores vamos tomar de novo setores vw e agora um outro vetor x e o que queremos mostrar é que o vetor ver adicionado ao vetor w eo resultado disto que é um vetor produto escalar com x é igual a o v escalar com o x mais acionado ao w escalar com x isso parece bastante familiar quando se trata de números entretanto aqui estamos nos ou melhor dizendo estamos no contexto dos vetores de maneira que temos que provar que esta igualdade é verdadeira ou mostrar que ela é falsa vamos fazer as contas primeiro vamos obter ver mais w ver mais wp pela definição da adição de vetores é o ver um mais w1 v2 mais w2 e assim por diante até o vn mais wn é esse o resultado de ver mais w que é um novo vetor vamos fazer o produto escalar deste resultado que era isso aqui peluches pela definição vai ser tomar o vetor fim mas w que é o ver um mais w1 v2 mais w2 e assim por diante a tvn mais wn e efetuar o produto escalar com o x 1 x 2 e ter até 1 x n pela definição de produtos calar nós temos que pegar o primeiro componente é que multiplicar pelo primeiro saque e assim por diante além das somas então eu teria que ver um mais w1 multiplicado pelo x 1 mais o v2 mais w2 multiplicados pelo x 2 mais assim por diante até chegar a vn mais wn multiplicado pelo xn então cálculo que nós fizemos é esta primeira parte da igualdade o resultado dela é este aqui agora vamos fazer o cálculo da segunda parte da igualdade ver o produto escalar com xv produto escalar coches é igual a aproveitando já que as componentes prontas nós vamos fazer o v 1 vezes o x1 mais o v2 vezes o x2 até o vn xn e se eu vi produtos car coches e agora vamos para o w produto escalar com x isso é igual a w1 vezes o x1 mais w2 vezes o x2 mais etc terá mais wn vejo x n e nós sabemos que nós queremos a adição destes dois resultados ao adicionar estas duas igualdades vão chegar em ver escalar x + w escalar x igual vamos adicionar esta linha com esta linha v 1 x 1 mas wx1 v 1 x 1 + wx1 mais agora que ver 2 x 2 mais w2 x 2 mas assim por diante e vamos chegar até vnx n mas wn xn bem vale lembrar que nós estamos a partir do lado direito aqui igual trabalhando com números reais então vamos usar aquilo que nós já sabemos que é válido para qualquer número real e podemos em cada parentes colocar o x1 em evidência então isso tudo vai ser igual a colocando x 1 em evidência que nós teríamos o ver um mais w1 tudo multiplicando o x1 mais aqui o vetor pois mais w2 tudo multiplicando agora quem vai evidenciar é o x2 mais etc mas aqui o vn mais wn tudo multiplicando x n basta uma olhadela bem rápida e você vê que o que temos aqui é exatamente ao que igual ao que temos aqui em outras palavras a igualdade que nós queríamos demonstrar que esta é verdadeira ou seja a distribuir dividendos disse como nós conhecemos nos números reais também é válida para o produto escalar de vetores são contextos diferentes intuitivamente nós já esperávamos que isso acontecesse e agora está demonstrado que é verdade muitas demonstrações envolvendo a adição de vetores e outras operações são feitas exatamente desta forma de maneira que você mesmo pode fazer essas demonstrações tranquilamente em vários livros de álgebra linear essas demonstrações são deixadas como exercícios para os alunos vamos estudar e demonstrar a última propriedade que é agora a propriedade associativa a pergunta é um escalar uma constante multiplicando um certo vetor ver o resultado disso produto escalar com o vetor w é igual à constante multiplicar o que obtemos do v escalar com w vamos novamente fazer as contas vamos primeiro obter o que temos do lado esquerdo da igualdade o vetor ver vamos lembrar que definimos os seus componentes e um v2 a tvn aqui o vetor v x 1 escalar c e depois produto escalar com o vetor w e isto vamos fazer bem passo a passo aqui naturalmente com parentes aqui nós vamos obter então aqui o constante a constante escalar multiplicando vetor a constante multiplica todos os componentes do setor ou seja o resultado do primeiro dos do que têm parentes é o cvv um serviço e 27 a 19 com esses componentes produto escalar com o vetor w aqui estamos falando do produto escalar de dois vetores vamos efetuar aqui temos o cv 1 que vai multiplicar o w1 ser vezes vê um multiplicando w1 mais os serviços v2 multiplicou w2 service v2 multiplicam w2 mais assim por diante até os serviços vn multiplicando o wn este é o resultado do que do que temos à esquerda da igualdade vamos agora analisar o que nós teríamos ao lado direito da igualdade do lado direito da igualdade temos um escalar multiplicando o resultado deste produto escalar vamos fazer passo a passo pra ver o que aparece o escalar vai multiplicar então resultado disso e o resultado disso vai ser bom produto escalar de dois vetores definição de um vezes w1tv 16 da blue 1 + v 2 vezes w2 mais ver ele fez wn e se o que está entre parênteses é o resultado do que está entre parentes lá em cima não podemos esquecer que o que está e parentes aqui por ser o resultado de um produto escalar é um escalaram número real estamos agora tratando somente com números reais se estamos tratando de números reais aqui uma multiplicação existe tranquilamente a distributividade em outras palavras você multiplica a primeira parcela servis v1 w1 mais os e multiplica a segunda parcela cervejas v2 w2 mas assim por diante até os e multiplicando vn vezes o wn hora mais uma vez chegamos aqui a expressão que é exatamente igual ao que tínhamos aqui então de fato esta igualdade e sim é verdadeira chama-se piedade associativa ou associatividade estas propriedades que provamos aqui podem parecer relativamente óbvias logo de cara entretanto nós sabemos que elas são verdadeiras no campo dos números se mudamos de contexto estamos olhando para os setores temos de fato que prová las que demonstrá las todas e acabamos caindo nos campos ou melhor dizendo no campo dos números ea partir do que nós sabemos que já é válido lá nós conseguimos provar as estas propriedades espero que você tenha aproveitado bem isso aqui e nos próximos vídeos nós vamos estudar mais propriedades e coisas interessantes envolvendo vetores até lá