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Desenvolvimento do produto triplo vetorial (muito opcional)

Transcrição de vídeo

o que vamos fazer neste vídeo é obter o produto vetorial de três vetores o vetor a produto vetorial com o vetor b produto vetorial com victor c a ideia é simplificar essa expressão nós vamos chegar a uma situação que envolve produtos hospitalares o que acaba sendo mais simples de ser obtido do que o produto vetorial para começar vamos lembrar que o vetor cada vetor pode ser escrito da seguinte forma por exemplo o vetor a o vetor a igual ao da x que é um número real multiplicando e que é a o vetor unitário no eixo do x na direção do x mais a y multiplicando j que indica o componente na direção do eixo y mais o a zica a mesma coisa para o eixo z analogamente para o setor b e para o setor c desta forma pela definição de produto vetorial da maneira a usar determinantes o o bê produto vetorial ser obtido através de determinante que na primeira linha temos o i e j e oka depois na segunda linha temos o bbx vybz e na terceira linha c x c e y z calculando este determinante nós vamos ter vamos multiplicar os elementos da diagonal principal e por byf cz mais agora aqui né o j com o bezerro multiplicando o cx ea mesma coisa aqui o bê x e y e o carro agora subtraindo os produtos na direção da diagonal secundária cxb y vezes cá - bxj cz - cyb z e organizar isto colocando em evidência onde houver o i j e k porque eu vou poder enxergar isso como um novo vetor colocando o i em evidência eu vou ter aqui byc b y z o e aparece novamente aqui no último tão - cyb z - ou por um bebê primeiro bz cyzh8e é tão mais o j parênteses aqui eu tenho bz cx - temos estamos olhando pro j estamos aqui de x e z the x c observa que existe uma regularidade né mas o ca que multiplica aqui temos b x e y e x c y - o que aparece aqui cxb y lo por byc x dessa maneira obtemos um novo vetor que temos os componentes e j e k multiplicados por números reais estudam o número real e assim por diante é um novo vetor que o resultado de produto vetorial de bi por si bem fizemos até aqui b produto vetorial com c então agora vamos fazer o a produto vetorial com o resultado que nós obtivemos ou seja a produto vetorial com o bê produto vetorial consequiu onde nós queremos chegar pela definição isso vai ser novamente um determinante só temos que tomar cuidado agora na hora de escrever temos aqui o i e j e oka o componente do victor há aqui eu a xis aqui o y aqui o ace e aqui vou colocar os componentes em e jk do que nós obtivemos aqui o produto vetorial de b para c byc e menos bc e y 16 x dizer cx - b x e z e aqui finalmente b x c y - bys x que eram as três componentes do resultado anterior e o que eu vou fazer agora é exatamente o que eu fiz acima ou seja calcular o determinante este é de ordem 3 e vou colocar em evidência o wii o j jucá para facilitar um pouquinho vou olhar primeiramente só para aquela parte do determinante que envolve wii fazer uma marquinha aqui o em evidência multiplicaria o y bx se y - o a y bny mellon x - a z dizê-lo cx mas a zdb x e z esta seria a parte em que de desenvolver determinante colocando em evidência na parte que é possível eu teria esta é a situação entretanto vou fazer aqui uma coisa interessante eu vou adicionar e subtrair a xb xxx.xxx vou adicionar e subtrair à x de x ce x essa expressão de modo que não vamos alterá la observe que o x y z que são todos os índices ficaram um pouco grandes você pode confundir preste atenção nisso olhando para esta expressão que está aqui entre parênteses eu vou escrever lá colocando 1º b x em evidência disso é possível então aqui o bbx em evidência temos aí não sei y aqui a yc e y aqui a ccz mais a z z e finalmente aqui mas o a x 6 x 1 e agora vou colocar o - os x em evidência onde for possível vamos ver temos aqui vai buscar com a yby observa que o sinal de menos já está ali a yby agora aqui onde temos o azt e bezerra então mais a z1 a z11 mas aqui o a xb x x de x agora o que eu escrevi aqui você pode ver que é uma coisa bastante interessante essa expressão reescrita aqui eu posso colocar na ordem aqui quem tem subisse x 1º depois y depois é mas você pode perceber aqui está exatamente o produto escalar de a por ser um produto escalar dia por c multiplicando a componente x do vetor b - aqui a mesma coisa só que é o vetor escalar de a por b a produto escalar por b multiplicando a componente x do vetor se voltando aqui então esta expressão toda é equivalente ao produto escalar de a pôr se multiplicando a componente x do vetor b - o produto escalar de apoio b multiplicando a componente x do vetor se tudo isso multiplicando vetor unitário e é isso que nós fizemos aqui vale só para componente no eixo x do produto vetorial que em questão agora nós repetimos este mesmo procedimento para as outras componentes do produto triplo vetorial que nós estamos estudando e vamos chegar o seguinte para a componente j vamos ter aqui uma expressão multiplicando j o vetor orientar j nós vamos à terá que em vez de peixes seria byd vez de xx teríamos e y e aqui teremos novamente o produto escalar de a pôr se multiplicando b y - e aqui o produto escalar de a por b multiplicando-se y da mesma maneira para terceira componente que multiplica o vetor unitário cá nós vamos ter aqui o a escalar com c que multiplica agora bz - o a produto escalar coube que multiplica que os e se você pode checar isso refazendo todos os cálculos exatamente como foram feitos até agora isto tudo então nude nos diz que o produto vetorial de apuros b produto vetorial com c é igual a somatória destas três expressões aqui está a primeira multiplicando vetor unitário e vamos colocar as outras aqui temos a segunda componente que multiplica o vetor unitário j somando aqui a primeira e finalmente a terceira que multiplica o vetor unitário cá e agora vou distribuir a multiplicação dos setores unitários e jk para dentro dos colchonetes e nós vamos ter então cada parte multiplicada por i e j e por cá agora lembrando que o produto escalaram número real colocar em evidência o produto escalar já por si então teremos entre parênteses agora o bbx e mas o byd j mas o bz cá - o produto escalar dia por b também evidência teremos a multiplicação por 6 x e cyj mais sesi cá agora aconteceu algo muito interessante o que está entre os primeiros parentes de x exibir mais byd j mais básica é nada mais nada menos que o vetor b do mesmo modo que nos outros parentes cx e mais seis são j mas cissé cá não era da mais nada menos que o vetor ser então escrevendo teremos o ar produto escalar de apoios e multiplicando o vetor b e depois o produto escalar de apoio e multiplicando e torcer isso então é o resultado daquilo que estávamos querendo o triplo produto vetorial a vetor a produto vetorial com b produtor ao concelho resulta nessa idéia se você precisa efetuar a vetor com baby torcer produto vetorial você tem como resultado considerando o primeiro vetor dos parentes que é o bê multiplicado pelo produto escalar dos outros dois que o ice - o segundo vetor dos parentes que ao ser multiplicado pelo produto escalar dos outros dois esta maneira o resultado simplificado para o produto vetorial triplo não é o resultado que necessariamente você precise memorizar mas ele pode agilizar alguns casos naturalmente você tiver que efetuar produto triplo produto vetorial triplo de alguns setores você pode fazer manualmente com os dados fornecidos mas a idéia desta demonstração destas passagens abre caminho para uma série de outras idéias na matemática espero que você tenha achado sutil até o próximo vídeo