If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:15:46

Transcrição de vídeo

então vamos dizer aqui nesse vídeo que eu tenho um par de vetores então até aqui o vetor 23 em um vetor 23 e tem também o vetor 46 anos esses dois vetores aqui que eu tenho vetor 23 e o vetor 46 eu só quero saber com o espaço gerado por esses vetores assumindo que esses vetores estão na posição padrão então quero saber quais são todos os outros vetores que podem ser gerados por esses vetores aqui se você se lembrar bem do que nós fizemos no último vídeo você vai lembrar o seguinte que esses dois vetores aqui juntos vão fazer uma combinação linear para gerar todos os outros portanto o espaço gerado por esses dois vetores será o seguinte as e 161 vezes o vetor 123 mas mais e 2 vezes o vetor dois nãos e 2 vezes o diretor do jornal que 46 eu posso perceber o seguinte quando eu olho pra cá e olha isso aqui eu reparo seguinte que esse vetor é duas vezes o primeiro vetor aqui ó o vetor 46 é o dobro do vetor 23 pensa que pode ser inscrito como nós pode ser inscrito como ser um vezes vezes o vetor 23 mas mais e 2 mas c2 vezes vezes vitória aqui o só que eu escrevesse leitor aqui de uma forma um pouco diferente mas que vê assim duas vezes o vetor 23 e porquê porque isso aqui é a mesma coisa que o vetor 46 ou escrever duas vezes o vetor duas vezes o vetor 23 e reparando mudei nada eu não mudei nada porque esse pedaço aqui é exatamente igual isso aqui ó isso porque duas vezes 2004 e 2006 36 bom então posso colocar isso aqui em evidência posso escrever o seguinte eu posso escrever que ser um mais dois e dois mais dois e dois vou colocar isso aqui em evidência multiplicado pelo vetor 23 então isso aqui é o que eu tenho agora coloquei o vetor 23 em evidência aqui e aqui serão mais dois e dois são uma constante e c2 também uma constante e arbitrária eu só pego seu mais dois e 2 é o número arbitrário mais duas vezes o número de trabalho também então isso aqui com certeza vai dar um número limitado então posso tratar isso aqui como sendo uma constante 33 vezes o vetor 23 ao c3 vetor 23 e neste caso aqui então mesmo que eu tenha começado com dois vetores a gente viu que o vitória múltiplo do outro o que aconteceu a gente acabou conseguindo reduzir esses dois vetores aqui apenas um vetor e x 1 escalar também ponto isso aqui vai acontecer o que esses fatores que são dependentes um do outro eles não geram nada diferente do que o vetor sozinho pode gerar o rio poderia ter feito o caminho contrário em vez de dizer que esse vetor é o dobro desse poderia ter dito que esse é metade desse isso não teria o nosso resultado e o que eu tenho aqui então o importante é o seguinte isso aqui é capaz de sozinho representar os dois vetores estão aqui sozinho é capaz de representar os dois vetores e nós já vimos que quando nós pegamos um vetor tipo esse aqui nós fazemos a combinação linear apenas com ele que vai acontecer então vamos dizer que a gente tem aqui o vetor 23 estão vetor 23 ele tá aqui ó 23 ele está aqui então só pega esse vetor aqui marquei aqui ó esse é o meu victor então que da combinação linear apenas desse vetor bom vai dar toda essa linha que ó anda toda essa linha aqui então quando a gente tem um vetor assim é a gente na verdade acaba tendo toda essa linha e neste caso aqui há tanto para um lado quanto para o outro isso é que continua crescendo infinitamente então com esses vetores aqui estão na forma padrão a única linha que eu voltei pra trás aos vetores essa linha aqui o então você poderia dizer que você poderia dizer que o espaço gerado espaço gerado por esses dois vetores ou seja pelo vetor 23 pelo vetor 23 e pelo meu outro vetor vetor 46 ao vetor 46 sei o que é bom ser isso aqui né seria essa linha aqui ó ataque embora esses vetores sejam diferentes são vitória múltiplo do outro é na verdade está em cima da mesma linha o vetor 23 daqui o vetor 46 seria esse evento aqui ó esse vetor aqui o vetor 463 são coli near es então vamos escrever isso aqui o nome que se dá a esses vetores aqui é o linear es não esses vetores são co lineares então colocar esses dois vetores aqui então estou tratando aqui de r 22 que vai acontecer eu quero gerar outros vetores a partir daqui desses vetores do r2 bom mas alguns vetores são impossíveis ser gerados por exemplo se vê por aqui ó é impossível de gerir o setor aqui através desses dois então utilizando apenas dois vetores é impossível apresentar todo r 2 nesse caso que a gente só vai conseguir representar essa linha aqui e essa idéia que está associado o seguinte eu peguei dois vetores através dos meus combinações lineares e conseguir reduzir se apenas um vetor então eu posso dizer aqui é o seguinte o que esse conjunto que a gente tem que esse conjunto aqui esse conjunto ele vai ser o que ele vai ser linearmente dependente então vamos escrever isso aqui quanto esses vetores são linearmente linearmente linearmente dependente linearmente dependente foi o que significa isso que significa ser linearmente independente se eu pego um conjunto de vetores dentro desse conjunto de vetores eu pego um vetor que é uma combinação linear de outros vetores desse conjunto então esse vetor linearmente independente desses outros vetores uma outra maneira de pensar em si o seguinte você pega o diretor acrescenta o espaço que você já tem e aí você vai ver se ele vai gerar uma nova dimensão se ele não gera nenhuma nova dimensão então quer dizer que ele é linear mente independente ou seja por exemplo esse caso aqui ó eu pego vetor 23 o vetor 23 já está aqui ó seguindo nessa direção eo vetor 46 acaba seguindo a mesma direção então não acrescenta nada não acrescenta nenhuma dimensão pra gente nesse caso aqui ele não sou capaz de por exemplo de gerar esse vetor aqui que está na 2ª dimensão que eles estão apenas em uma dimensão se a gente pensasse por exemplo isso aqui como uma terceira dimensão então vamos dizer que a gente tivesse dois vetores aqui ó não vou traçar um vetor aqui e vou traçar outro vetor aqui ó então o que acontece esses vetores aí eles estão no mesmo plano mas eles não estão na mesma linha ou seja eles não são lineares então eu posso dizer é que isso aqui ó esses dois vetores eles formam um plano então vamos dizer que eu coloco o terceiro vetor aqui ou acolá com o terceiro vetor aqui esse retorno mesmo plano dos outros dois ou seja eles são copana áreas pertencem ao mesmo plano então esse vetor aquilo acrescentou nenhuma dimensão logo esses três vetores são linearmente independentes entre si uma outra maneira de pensar nisso é que esses dois vetores rosa que eles conseguem expandir todo esse plano inclusive setor verde que está aqui ó portanto qualquer vetor tipo esse aqui ó pode ser uma combinação de nea desses dois vetores aqui desse setor e desse outro vetor aqui o portão significa o que significa que esse vetor verde aqui ó tá dentro desse plano então ele com certeza pode ser representado por esse vetor e por esse evento aqui ó portanto conforme dissemos antes esse vetor verde que não vai acrescentar nada ao meu plano então não vai mudar nada porque esses dois vetores aqui dão conta de expandir o plano isso acontece porque esse vetor aquele linearmente independente dos outros então isso acontece porque esses vetores aqui ó consegue expandir todo o plano é inclusive esse vetor e para que esse vetor que acrescentasse alguma dimensão ele teria que sair desse plano ele teria que sair desse plano que é dessa maneira assim então está em outro plano significa o que significa que esse vetor aqui junto com os outros podem representar outros vetores que não estão nesse plano aqui ó portanto esses três vetores aqui esses três vetores seriam capazes de gerar outros vetores diferente deste que já existem bom então esses três vetores aqui a gente diria que são linearmente independente apenas três vetores deixe me fazer mais alguns exemplos aqui pra você ver alguma coisa um pouco mais talvez um pouco mais abstrata e vamos dizer que eu tivesse os vetores 23 são os vetores 23 vetou a 72 o vetor 72 e o vetor vamos dizer aqui 95 então o vetor 95 eu quero saber o seguinte eu quero saber se esses vetores aqui são linearmente independentes ou não quando você olha de cara que você não vê nenhum desses vetores aqui sendo múltiplos do outro então parece que a princípio eles não são dependentes nem para inscrição independentes mas vamos averiguar melhor isso aqui quando a gente investiga melhor a gente vê que esses vetores aqui eles têm uma relação em preciosa então se chama esse vetor aqui o diretor um vetor um somar com esse outro vetor somax outro vetor como chamar de vetor 2 eu vou ter o que eu vou ter esse terceiro vetor aqui é o vetor três então a soma desses dois primeiros vetores deus terceira que portanto esses três vetores aqui ação linearmente independência tanto escrever isso esses vetores são um conjunto de vetores né aqui a gente tem um conjunto de vetores linearmente linearmente dependente aqui dependente então linearmente independente eu tenho três vetores linearmente independente uma gráfica então vamos lá vamos ver isso aqui na forma gráfica então vou pegar esse vetor aqui ó só peguei espera que o vetor 23 ele está mais ou menos aqui assim vamos desenhar um vetor 23 aqui ó que eu vou desenhar o vetor 23 então aqui está o meu vetor e agora vou pegar o vetor 72 então vamos pegar esse evento aqui 72 victor 72 está aqui assim aqui eu tenho vetor 72 vamos marcando aqui é um pouco mais longo eu poderia marcar esses vetores aqui em qualquer parte do plano eu estou marcando aqui porque foi assim que eu fiz outros vídeos a partir daqui do ponto zero mas ele poderia estar em qualquer parte do explorer aqui o que eu posso garantir a você que qualquer vetor aqui no espaço pode ser representado pela combinação linear desses dois vetores aqui por exemplo agora que vamos marcar o vetor 95 vetor 95 está aqui ó que a 9 aqui mais ou menos venceu cinco então vetor 95 está aqui e claramente está na r2 não é claramente está aqui no nosso r 2 ao vetor 95 lembrando que a gente está no r 23 o vetor aqui também está no r 2 portanto todo esse r2 aqui ó ele pode ser formado pelo espaço pelo espaço gerado pelo espaço gerado através de dois vetores v12 vai ser todo o nosso r 2 esse vetor aqui um exemplo de ser uma combinação linear de v1 e v2 nesses dois setores juntos aqui acabam resultando no vetor v3 que esse vetor azul aqui agora nós estamos começando acostumar com essa ideia do que é ser linear independente ou ser meramente independente então deixa eu fazer aqui um outro exemplo portanto vamos dizer que eu tenha de ser um pouquinho aqui vamos dizer que eu tenha me deixa só trocar a minha cor aqui então vamos dizer que eu tenha o vetor vetor 70 bons aqui talvez seja um pouco óbvio né esse aqui é o meu ver torun esse aqui é o vetor um é que eu vou colocar um outro vetor que vai ser o vetor zero - 1 esse aqui vai ser esse aqui vai ser o meu vetor 21 e seu vetor 2 e eu posso dizer é que esse conjunto aqui é um conjunto guinea mente independente ele realmente independente isso porque se eu quiser combinar esses dois elementos aqui não é combinar um deles para obter o outro é impossível né shaq a 0 que também é zero não existe número possível multiplique por 0 e de 7 o que eu estou querendo dizer que quando tem uma combinação linear nessa pegar aqui por exemplo se eu colocar aqui eu multiplicação por 0 x 0 eu nunca vou ter feito aqui porque vai dar - um então existe um número escalar né x 0 de -1 da mesma forma que você pegar uma constante aqui x 0 eu nunca vou conseguir obter o número 7 que sempre vai dar zero nunca obter 7 então a gente conclui que a gente pega um vetor se a gente combinar esse vetor ele nunca vai resultar no outro vetor então a gente pode dizer o que é que esses vetores são linearmente independentes ea gente pode ver isso aqui no gráfico então vamos descer um pouquinho aqui vamos ver aqui ó vamos desenhar primeiro vetou a 70 vetor 70 está aqui ó esse aqui é o nosso vetor esse aqui é o nosso vetor 70 esse é o nosso vetor 70 é esse vetor aqui e esse aqui ó esse aqui é o vetor zero menos um que o vetor zero - 1 e claramente eles não estão na mesma linha então a gente pode notar o que a gente pega esses dois vetores aqui é combiná los linearmente a gente vai ter o que todo r 2 a gente pode escrever que o espaço gerado o espaço gerado por esses dois vetores é pelo vetor v1 e pelo vetor v2 será o que será todo todo o nosso r 2 e outro ponto interessante é o seguinte eu subir aqui um pouquinho mostrar pra você eu disse você é o seguinte eu disse você é que esse vetor aqui era uma combinação linear desses outros dois vetores são esse vetor uma combinação lineares outros dois vetores agora eu quero saber o seguinte qual o espaço com o espaço que eu posso gerar com esses três vetores com o espaço que eu posso gerar com ver um v2 e v3 que posso eu posso ter a partir deles somente para que você se lembra né a gente podia pegar esse vetor aqui hoje somar nessa somando esse vetor aqui na ponta a gente tinha exatamente esse outro vetor então obviamente eles são uma combinação linear um do outro e essa questão possa até ser um pouco relevante porque esse vetor aqui não restringir nada ele também não acrescenta nada ele não restringe então esse espaço aqui gerado por um v2 e v3 vai continuar sendo vai continuar sendo r 2 o que a gente pode perceber o que é que a gente pode usar os três vetores agente vai gerar r 2 mas na verdade só preciso de dois vetores que nem aqui ó agente pessoas apenas dois vetores para gerar um espaço r 2 então o que eu posso dizer é que esse vetor aqui 22 eles formam uma base bom nem queria falar muito dessa história de base porque a gente não viu isso não é formalmente e na verdade só queria falar com a gente tinha que conversar melhor sobre isso mas eu posso dizer que isso aqui é uma base que forma todo meu r 2 então na verdade uma maneira eficiente né não gastou nada mais eu não gosto nem um vetor a mais para forma todo meu r 2 ao contrário da quina que eu tenho um terceiro vetor e esse vetor aquele passa a ser desnecessário é redundante vetor aqui não preciso dele para formar o meu r 2 portanto eu poderia dizer bom isso aqui talvez não seja uma boa base né deixou só mais um exemplo aqui em três dimensões chamas um exemplo que em três dimensões portanto vamos dizer o seguinte ó vamos dizer que eu tenho é que o vetor vetor 2010 aqui é meu primeiro vetor em que o vetor 2010 eu vou fazer uma leve semelhança com esse exemplo de cima então vamos dizer que eu tenho um vetor zero 10 e último seja o vetor james bond aqui então vetor 007 007 isso aqui é meu terceiro vetor nesse caso que nós estamos trabalhando r3 não porque eu tenho três vetores mas porque cada vetor tem três dimensões o que eu quero saber que o seguinte esses vetores são linearmente independente ou seleção de internet independente como é que eu posso reparar que não têm como combinar esses dois vetores aqui que são zero é das 7 aqui no final da mesma forma não tenho como combinar esse cara que esse cara aqui e não obter 10 aqui ó porquê é que sempre vai dar zero nessa x 0 50 a soma disso tudo a 0 e por fim que também é esse cara esse cara que combinados nunca vai dar nunca vai dar 2 aqui sempre vai dar zero portanto esse conjunto aqui é linearmente independente portanto decidi escrever isso aqui então eles são linearmente linearmente independente a linear mente independente né então é isso que significa que eles não dependem um do outro então linearmente independente se você for reparar bem você vai ver que nenhum desses vetores aqui estão no mesmo plano bom na verdade você sempre vai ter dois vetores no mesmo plano mas não os três no mesmo plano deixa tentar da cedec então aqui você talvez tenha um vetor 2010 aqui você talvez tenha um vetor zero zero e aqui por fim você tem o vetor 007 não vai ter um pouquinho maior aqui então esses vetores aqui estão em três dimensões neves são tridimensionais e você aprendeu lá na sua física clássica que eles são os vetores e jk na verdade isso quando é 0 01 00 enfim mas aqui a gente está usando um valor pouco diferente mas eles estão na mesma linha dos vetores de jk o que eu posso dizer a você o seguinte se você pegar esses três vetores aqui né eles nunca estarão no mesmo plano então você pode combiná los linearmente e aqui que você vai ter você vai ter que o espaço gerado por eles então o espaço espaço gerado por eles vai ser o que é um espaço gerado por esses três vetores aqui vai ser todo todo o r31 então deixa eu parar por aqui porque eu estou percebendo que eu tenho feito vídeos muito grande né isso talvez seja muito bom e no próximo vídeo que eu vou fazer é dar uma definição formal de conjuntos linearmente independentes independente eu espero muito que você tenha gostado desse vídeo nos vemos nos próximos