If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:17:43

Como resolver um sistema de 3 equações e 4 variáveis usando a forma escalonada da matriz

Transcrição de vídeo

eu tenho aqui três equações de quatro cobras e você pode imaginar você já sabe que se você tiver mais em conta do que equações você provavelmente não terá restrições suficientes terá um número infinito de soluções mas esse número infinito pode ser mais restrito por exemplo nesse caso aqui eu posso registro de um plano de quatro dimensões porque temos quatro cotas para um plano de três dimensões ou então para uma linha a gente sabe que uma linha ainda assim tem um número infinito de soluções mas é mais restrito do que um plano com quatro três dimensões vamos então resolver esse conjunto de sistemas aqui nós já fizemos isso pelo método da eliminação mas o que eu quero nesse vídeo introduzir a idéia de matrizes então a gente vai fazer compondo uma matriz às matrizes nada mais são do que abreviações preços sistemas de equações neste me criei então que uma matriz vão fazer isso de maneira ordenada e essa matriz vai ser composta pelos coeficientes das incógnitas do lado esquerdo do que das equações então essa primeira coluna aqui vencer 12 next são esses coeficiente sac 11 12 esse segundo 22 42 24 o terceiro 12 00 porque não existe esse tema que o tema x 3 não existe terceira linha então aqui vai ser zero então esse 120 e último aqui 11 - 16 11 - 16 então esse sistema composto pelos coeficientes dessas equações aqui de uma forma bem simples então o que nós temos aqui é uma matriz formada pelos coeficientes aqui dessa equação e o que eu quero fazer é aumentar essa matriz eu vou aumentar de que maneira vão aumentá la colocando esses valores aqui que são as igualdades do outro lado das equações que vou colocar uma reta vamos colocar uma reta que é que eu vou escrever o número 7 o 12 e 14 e assim se você observar você vai perceber que isso que a gente fez foi apenas uma maneira diferente de escrever isso aqui não preciso mais toda vez escreveu x 1 x 2 x 3 apenas pela oposição eu percebo que a questão dos coeficientes 1 x 2 ac x 3 eu pouco o tempo de escrever isso toda vez que eu coloco sistema essencialmente nós podemos fazer as mesmas opera aqui que faremos aqui que nós podemos fazer podemos substituir qualquer uma dessas equações por uma dessas outras equações multiplicados por escalar podemos dividir uma equação ou multiplicar uma dessas equações para escalar podemos subtrair uma equação da outra nós podemos trocar las também não vamos fazer isso em uma tentativa de resolver sistema ea primeira coisa que eu quero fazer aqui nós já fizemos em vídeos anteriores é colocar esse sistema que de maneira que cada uma dessas linhas têm apenas um coeficiente 1 e na linha que tivesse coeficiente 1 todas as outras entradas vão ter que ser zero tenho certeza que fizemos em 20 passado quando tentamos descobrir coisas que eram linearmente independentes ou não agora eu vou ter que garantir que se assistiu na minha linha todos os outros elementos dessa coluna serão 10 isso que eu estou fazendo pode ser chamado de forma escalonada reduzida por linha vamos escrever isso que se chama forma escalonada reduzida em calulo nada reduzida então se nós denominamos essa matriz de matrizaria porque nós vamos calcular é a forma de calor nada reduzida a sigla vai ficar em inglês que isso vai ser a reforma escolar nada reduzida a matriz a isso que a gente quer calcular agora apenas para tornar clara distinção entre a representação de matriz e vetores hoje apresentamos sempre uma matriz com uma letra maiúscula mas pra frente nós vamos estudar melhor como é que matrizes e vetores se relacionam mas agora eu quero apenas resolver e sistemas de equações então vamos lá bom e uma situação ideal eu gostaria de ter esse tema que vai ganhando muito o sistema sac valendo ser vamos ver o que eu posso fazer o que eu vou fazer eu vou colocar essa primeira linha que vou repetir se a primeira linha e segunda linha vai ser a primeira - a segunda então vamos ver que nós vamos ter a primeira linha não muda então vai ficar 1 21 11 e aqui vai ficar sete aqui a gente continua com ela a segunda linha vai ser a subtração da primeira - a segunda então vamos ter 1 - 1 0 2 -2 0 1 - 2 - 11 - - um ok ficar positivo então ficaram mais um device e 2007 - 12 - 57 - 12 - cinco aqui agora vamos ver o que consigo fazer essa terceira linha que agora eu preciso me livrar na verdade desse dois é que esses dois têm que vir a 0 na verdade vou fazer essa linha menos duas vezes a primeira linha que então a primeira entrada vai ficar 2 - duas vezes 12 - nois é nois versão é dois então 2 - 2 a 0 conseguiu que eu queria que já consegui de zero aqui quatro menos duas vezes 22 e 44 - 40 também 0 - duas vezes 12 meses 1 e 2 0 - 2 vai ficar - 26 - duas vezes um que é 26 - 24 e é que o último 4 - duas vezes sete em 2007 14 4 - 14 que vai ficar menos 10 rock isso foi o que a gente conseguiu fazer aqui vamos ver agora qual será o próximo passo bem você pode observar que a gente fica agora com tudo isso aqui zerado ficamos com toda essa parte é que sendo 10 o meu próximo passo seria será esse cara aqui caso ele não tivesse gerado mas como é que já tá zero vamos partir para essa próxima linha aqui o que eu vou fazer primeiramente é transformar essa linha aqui porque quero que esse coeficiente aqui ele vai é mais um seja um positivo então o que eu vou fazer aqui multiplicar essa linha toda aqui por menos um bom pronto e que precisar reescrever essa linha toda basta fazer o seguinte multiplicado do mundo por menos 1 significa fazer com que isso aqui vire positivo aqui fique negativo e aqui fica positivo isso seria multiplicar tudo ficou mais uns o topo pano teve que reescrever essa matriz de novo bom rock agora qual vai ser o meu próximo passo que podemos fazer aqui o que eu queria fazer é ser a esse limite aqui ó é esse - doença aqui então eu vou copiar novamente a minha matriz aqui deixou copiá la novamente o que a gente vai fazer com essa aqui do meio essa linha do meio não vou mexer porque já estou com esses erros aqui que eu quero e não vou copiar a linha do meio é 00 + 1 é menos dois vamos botar aqui nossa linha divisória e que vai ficar o 5 que eu vou fazer para eliminar esse menos dois aqui é pegar essa terceira linha e somar com o dobro dessa segunda linha e aí eu vou conseguir liminar se menos dois que o objetivo então agora na terceira linha nós teremos 0 aqui e quiser o quiseram mais 200 - reserva que vai dar zero não teríamos menos dois mais duas vezes 12 vezes 1 e 2 - 2 com mais dois aqui vai gerar também aqui nós vamos ter quatro mais duas vezes - duas vezes - 2 - 4 mais quatro com menos 4 que também vai ver aí é que nós vamos terminar os 10 mais duas vezes 52 vezes cinco e dez menos 10 mais 10 aqui também vai será então temos a linha toda sarada normalmente quando faz uma eliminação regular eu ficaria feliz em ver uma situação como essa há onde eu tenho os números 1 seguido de velhos erros mas até então não estava muito preocupado que vinha acima desses números uns agora o que eu quero torná los sérgio então eu vou fazer o que quer dizer a esse elemento aqui com região de fazer isso o que acontece se eu fizer essa linha que como sendo ela - a segunda linha então vou fazer a primeira - a segunda linha que eu vou ter aqui um - e vai continuar sendo 1 260 vai continuar sendo 21 - unb a 0 que eu querendo fazer um - menos dois vai ficar mais 33 positivo e 7 -5 vai dar 2 então nós temos a matriz da nossa forma escalonada reduzida essa aqui será a forma escalonada as reduzidas da nossa matriz a eu posso verificar que essa matriz ela está na forma como nada reduzida porque o número de cada linha quem são os números uns aqui ó tenho aqui tenho aqui eles são os únicos da coluna deles que não estão selados vamos escrever aqui devo destacar isso aqui eles são chamados de entradas principais então vou colocar aqui elas são as entradas principais são as únicas entradas que não vai ser o número 10 das suas respectivas comunas e se não tiver alguma linha toda zerada e eu tenho aqui eu tenho essa linha que olha totalmente será essa linha que ela está zerado por uma questão de convenção ela sempre será a última linha da nossa matriz então nós temos as entradas principais as únicas que são um das suas colunas elas devem ser humanos não podem ser outro número por exemplo 5 por exemplo é que fosse número 5 dividir essa linha inteira por cinco obter ia o que eu devo ter como entrada principal e aí a seguinte a linha seguinte outra entrada principal deve ser a próxima linha e sempre estará direita então aqui vai ser a próxima direito é só uma questão mesmo de convenção e assim como a gente também tem como uma convenção para as matrizes escalonados que se uma linha estiver será deve ser a última linha e claro disso várias vezes à entrada um deve ser a única que não vai ser zero na sua coluna agora você que me diz bom a partir desse ponto possa voltar o mundo das minhas equações lineares aqui de cima porque lembra aqui estão os coeficientes de x 1 aqui o suficiente x2 aqui o x3 é que os índices 4 ac às constantes desse lado direito aqui então eu posso reinscrever sistema usando essa mesma triste com uma reduzida que então vamos lá isso vai ficar como eu vou ter x 1 aqui mais duas vezes x 2 nesta primeira equação não tem x 3 ea gente vai ter mais três vezes x4 isso aki vai ser igual a 2 na segunda linha não tem x 1 no tx2 vamos ter x 3 x 3 - duas vezes x4 igual a 5 e essa última linha que não tem nenhuma a senhora está completamente zerada e o que nós somos capazes de fazer é reduzir esse sistema de equações para esse sistema de equações lineares aqui as variáveis que estão associadas às entradas principais delas são chamadas de variáveis dinâmicos e então x1 x3 a gente pode dizer que são variáveis dinâmicas maria reis dinâmicas e as variáveis que não estão associadas às entradas principais elas são chamadas de variáveis livre então nosso exemplo x 2 x 4 a gente pode dizer que são variáveis livres variáveis livre agora vamos resolver essencialmente a gente só vai conseguir resolver para as variáveis dinâmicas para as variáveis livros depois de ter um conjunto de variáveis eu disse no começo quando estávamos analisando o sistema de equações que nós temos - equações do que em cotas então esta não será uma solução tão restrita você não terá apenas um ponto do g4 que resolverá esse sistema você terá várias pontes então vamos lá vamos resolver vamos achar os valores possíveis processos variáveis dinâmicas porque são as únicas que nós podemos resolver eu vou dizer então que x 3 x 3 gol que é igual a 5 mais duas vezes x4 mais de duas vezes x 4 a única coisa que eu fiz foi subtraído foi somado x 4 dos dois lados né e x 1 x 1 mi outra variável dinâmica eu vou dizer que é igual a 2 - duas vezes x 2 - duas vezes 2 - três vezes x quadro eu pulei alguns passos mas o que eu fiz aqui foi diminuir duas vezes 2 de ambos os lados dessa equação e depois diminuir 3 x 4 de ambos os lados dessa equação e cheguei aqui então as mesmas variáveis dinâmicas x1 x3 estão aqui e isso é o mais longe que possui com esses sistemas de equações que eu tenho aqui na verdade eu posso escolher quaisquer valores para as mesmas variáveis livres x 2 x 4 então eu terei os valores de x 3 x 1 mas o que eu quero fazer agora é escrever isso de uma maneira um pouco diferente para que a gente possa visualizar melhor é claro sempre é difícil visualizar coisas em quatro dimensões talvez a gente consiga visualizar melhor o curso solução nesse sistema então vamos lá vamos escrever a solução de sistema na forma vetorial escreveu na forma vetorial a solução vai ser a gente vai ter os vetores x1 mectron as quatro cordas e x2 x3 e x4 ea gente pode dizer que isso é igual ao que tinha escrever que essa cor vão mudar a cor bom a gente vai escreveu vamos olhar primeiro para o x 1 x 1 é igual a 2 e 2 ac constante 2 mas alguma coisa vezes dois mais alguma coisa vezes x 2 e mais alguma coisa vezes o que terei com mottaki x 2 mas alguma coisa vez 1 x 4 mas alguma coisa vezes puxa os quatro agora vamos observar para ver quem são esses constantes que estão multiplicando as incógnitas que estão em função disso menos duas vezes 2 nem toda a gente pode dizer que vai ser mais x 2 vezes menos 2 vezes menos dois e menos três vezes x4 então a gente pode dizer que estes quatro demais x quatro vezes menos três essas aqui suas entradas em que a gente tem a solução x 1 x 3 x 3 então se nós olharmos por x3 ele é igual a 5 igual a 5 mais duas vezes 4 então posso dizer que estes quatro vezes 2 duas vezes 4 x 4 vezes duas como ele não tem x 2 a gente vai dizer que tirou os dois não está aplicada que não está em função ao colocar a 0 aqui no x 2 agora vamos observar os nossos variáveis livre x 2 x 4 x 2 x 4 depende ninguém então vou dizer que aqui x 2 vezes e aqui zero como x 2 gol x 2 na então aqui vai ser 1 e equivale a 60 a mesma coisa x 4 x 4 que vai ser zero aqui também vai ser zero como x 4 é igual a um x 4 aqui vai ser um agora o que isso aqui no gi bem você pode imaginar que cada um desses dessas novas nosso vetor exposição vai se vai estar o r4 então o que nós temos aqui é uma combinação linear de três vetores onde eles estão no g4 cada vetor de si uma vez do vetor posição aonde a gente terá o retorno e quatro então esses vetores essas coordenadas serão nosso conjunto solução em um plano r4 então temos que esse meu conjunto solução aqui será um vetor pense nisso vamos pensar nisso como vetor posição então vou fazer um vetor aqui um vetor posição e esse vetor manter essas coordenadas aqui vamos colocar aqui as coordenadas 2050 obviamente que isso aqui é um vetor em quatro dimensões né e aí a gente vai ter como conjunto solução esse vetor mais um múltiplo desses dois vetores aqui vamos mudar como vamos chamar que esse vetor de vetor aac vai ser o meu ver thura e vamos chamar esse aqui de vetor b esse aqui vai ser o meu vetor b então vamos imaginar que esse vetor aqui esse primeiro vetor de tacna é partindo dessa origem aqui e aí a gente vai ter nesse conjunto solução vai ter esse vetor mais um múltiplo dele então vou fazer aqui o meu vetor aqui seria o meu ver torá e aqui seria o meu vetor b aqui seria o meu vetor b meu vetor b está aqui então estou imaginando que o nosso conjunto solução vai ser esse vetor fixo mais os múltiplos dos vetores aimée nosso vetor fixos mais os múltiplos destes dois vetores aqui eu não sei se vai ser mais fácil mais difícil para você visualizar isso porque obviamente estamos tratando de quatro dimensões aqui e eu estou usando uma superfície tridimensional mas o que você pode imaginar é que esse conjunto solução vai ser igual a esse vetor fixo que o nosso ponto fixo né mas as combinações lineares de a&b e claro nós estamos trabalhando no r4 deixou escrever isso aqui tudo isso que nós estamos fazendo é no plano r4 as combinações lineares de a e b vão criar um plano você pode por exemplo multiplicará por dois e b por 3 ou multiplicará por menos um e b por menos 100 e aí você pode continuar somando subtraindo essas combinações de área de a&b então essas combinações as mulheres vão formar um plano e esse plano que vai formar aqui vai ser formado um plano vai conter esse vetor 2050 então a solução para essa equação aqui pra esse sistema é contra equações e quatro cópias é um plano r4 então isso aqui vai ser nossa nós conjunto solução que vai estar num plano no r4 eu sei que realmente é difícil de visualizar isso talvez eu faça com três dimensões mas eu espero que tenha pelo menos dá uma compreensão do que é uma matriz aumentada o que é forma reduzida escalonada e quais são as operações válidas para que possam ser aplicadas em uma matriz sem bagunça o sistema é isso pessoal até o próximo vídeo