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Como resolver um sistema de 3 equações e 4 variáveis usando a forma escalonada da matriz

Transcrição de vídeo

RKA4JL - Eu tenho aqui três equações de quatro incógnitas e você pode imaginar, você já sabe que se você tiver mais incógnitas do que equações você provavelmente não terá restrições suficientes, terá um número infinito de soluções. Mas esse número infinito pode ser mais restrito. Por exemplo, nesse caso aqui eu posso restringir de um plano de quatro dimensões, porque temos quatro incógnitas, para um plano de três dimensões, ou então para uma linha... A gente sabe que mesmo uma linha ainda assim tem um número infinito de soluções, mas é mais restrito do que um plano com quatro, três dimensões. Vamos, então, resolver esse conjunto de sistemas aqui. Nós já fizemos isso pelo método da eliminação, mas o que eu quero nesse vídeo é introduzir a ideia de matrizes. Então a gente vai fazer compondo uma matriz. As matrizes nada mais são do que abreviações para esses sistemas de equações. Deixe-me criar, então, uma matriz. Vou fazer isso de maneira ordenada. Essa matriz vai ser composta pelos coeficientes das incógnitas do lado esquerdo das equações. Então, essa primeira coluna aqui vai ser 1, 1, 2, que são esses coeficientes aqui, 1, 1, 2. Esse segundo 2, 2, 4. O terceiro, 1, 2, 0. Zero porque não existe esse termo aqui. O termo x₃ não existe nessa terceira linha. Então aqui vai ser zero. Portanto, 1, 2, 0. E esse último aqui, 1, -1, 6. Então, esse sistema é composto pelos coeficientes dessas equações aqui de uma forma bem simples. Então o que nós temos aqui é uma matriz formada pelos coeficientes dessa equação e o que eu quero fazer é aumentar essa matriz. Eu vou aumentar de que maneira? Vou aumentá-la colocando esses valores aqui, que são as igualdades do outro lado das equações. Vou colocar uma reta. Vamos colocar uma reta aqui. E aqui vou escrever os números 7, 12 e 4. E assim, se você observar, você vai perceber que isso que a gente fez foi apenas uma maneira diferente de escrever isso aqui. Não preciso mais toda vez escrever x₁, x₂, x₃. Apenas pela posição eu percebo que aqui estão os coeficientes x₁, aqui x₂, x₃. Eu poupo o tempo de escrever isso toda vez que coloco esse sistema. Essencialmente nós podemos fazer as mesmas operações aqui que faríamos aqui. O que nós podemos fazer? Podemos substituir qualquer uma dessas equações por uma dessas outras equações multiplicadas por um escalar. Podemos dividir uma equação ou multiplicar uma dessas equações para um escalar. Podemos subtrair uma equação da outra, e nós podemos trocá-las também. Então vamos fazer isso em uma tentativa de resolver esse sistema. E a primeira coisa que eu quero fazer aqui, e nós já fizemos em vídeos anteriores, é colocar esse sistema aqui de maneira que cada uma dessas linhas tenha apenas um coeficiente 1 e na linha que tiver esse coeficiente 1 todas as outras entradas vão ter que ser zero. Tenho certeza que fizemos isso em vídeos passados quando tentamos descobrir coisas que eram linearmente independentes ou não. Agora eu vou ter que garantir que se existir 1 na minha linha, todos os outros elementos dessa coluna serão zero. Isso que eu estou fazendo pode ser chamado de forma escalonada reduzida por linha. Vamos escrever isso. Isso se chama forma escalonada reduzida. Então, se nós denominamos essa matriz como matriz "A", o que nós vamos calcular é a forma escalonada reduzida. A sigla vai ficar em inglês [ref] e isso vai ser a forma escalonada reduzida da matriz A. Isso é o que queremos calcular agora. Apenas para tornar clara a distinção entre a representação de matriz e vetores, nós representamos sempre uma matriz com uma letra maiúscula. Mais para a frente, nós vamos estudar melhor como é que matrizes e vetores se relacionam. Mas agora eu quero apenas resolver esses sistemas de equações. Então vamos lá. Em uma situação ideal, eu gostaria de ter esse termo aqui valendo 1 e todos esses termos aqui valendo zero. Vamos ver o que eu posso fazer. O que eu vou fazer? Vou colocar essa primeira linha, vou repetir essa primeira linha, e a segunda linha vai ser a primeira menos a segunda. Então vamos ver o que nós vamos ter. A primeira linha não muda, então vai ficar 1, 2, 1, 1 e aqui vai ficar 7. A gente continua com ela. A segunda linha vai ser a subtração da primeira menos a segunda. Então vamos ter: 1 menos 1, zero. 2 menos 2, zero. 1 menos 2, -1. 1 menos -1, aqui vai ficar positivo, então vai ficar 1 mais 1, vai ser 2. 7 menos 12, -5. Agora vamos ver o que consigo fazer nessa terceira linha. Agora, eu preciso me livrar, na verdade, desse 2. Esse 2 tem que virar zero. Na verdade, vou fazer essa linha menos 2 vezes a primeira linha aqui. Então, a primeira entrada vai ficar 2 menos 2 vezes 1. 2 menos 2, pois 2 vezes 1 é 2. Então 2 menos 2 é zero. Consegui o que eu queria. Já consegui ter zero aqui. 4 menos 2 vezes 2. 2 vezes 2 é 4. 4 menos 4 é zero também. Zero menos 2 vezes 1. 2 vezes 1 é 2. Zero menos 2 vai ficar -2. 6 menos 2 vezes 1, que é 2. 6 menos 2 é 4. E aqui, o último. 4 menos 2 vezes 7. 2 vezes 7 é 14. 4 menos 14 vai ficar -10. Isso foi o que a gente conseguiu fazer aqui. Vamos ver agora qual será nosso próximo passo. Bem, você pode observar que a gente ficou com tudo isso aqui zerado. Ficamos com toda essa parte aqui sendo zero. O meu próximo passo seria zerar esse cara aqui caso ele não estivesse zerado. Mas como aqui já está zero, vamos partir para essa próxima linha. O que eu vou fazer primeiramente é transformar essa linha aqui, porque quero que esse coeficiente valha +1, ou seja, 1 positivo. Então o que eu vou fazer aqui é multiplicar essa linha toda por -1. Para não precisar reescrever essa linha toda, basta fazer o seguinte: multiplicar todo mundo por -1. Significa fazer com que isso aqui vire positivo, aqui fique negativo e aqui fique positivo. Isso seria multiplicar tudo por +1. Só estou poupando o tempo de reescrever essa matriz de novo. Agora, qual vai ser o meu próximo passo? Que podemos fazer aqui? O que eu vou querer fazer é zerar esse elemento aqui, esse -2 aqui. Então eu vou copiar novamente a minha matriz aqui. Deixe-me copiá-la novamente. O que a gente vai fazer? Com essa aqui do meio, nessa linha do meio não vou mexer, pois já tenho esses zeros que eu queria. Então vou copiar a linha do meio: 0, 0, 1, -2. Vamos colocar aqui nossa linha divisória e aqui vai ficar 5. O que eu vou fazer para eliminar esse -2 aqui é pegar essa terceira linha e somar com o dobro dessa segunda linha. Assim eu vou conseguir eliminar esse -2, que é meu objetivo. Então, agora, nessa terceira linha nós teremos zero aqui e zero aqui também, porque (zero mais 2 vezes zero) e (zero mais 2 vezes zero) vai dar zero. Teremos -2 mais 2 vezes 1. 2 vezes 1 é 2, -2 com 2 vai zerar também. Aqui nós vamos ter 4 mais 2 vezes -2. 2 vezes -2 é -4. +4 com -4, aqui também vai zerar. E aqui nós vamos ter -10 mais 2 vezes 5. 2 vezes 5 é 10. -10 mais 10, aqui também vai zerar. Então temos essa linha toda zerada. Normalmente, quando eu faço uma eliminação regular, eu ficaria feliz em ver uma situação como essa, onde eu tenho os números 1 seguidos de vários zeros. Mas até então não estava muito preocupada com o que vinha acima desses números 1. Agora o que eu quero é torná-los zeros, então o que eu vou fazer? Vou querer zerar esse elemento aqui. Como nós vamos fazer isso? O que acontece se eu fizer essa linha aqui como sendo ela menos a segunda linha? Então vou fazer a primeira menos a segunda linha. Vou ter aqui 1 menos zero, que vai continuar sendo 1. 2 menos zero vai continuar sendo 2. 1 menos 1 vai dar zero, que é o que eu quero fazer. 1 menos -2 vai ficar +3, 3 positivo. e 7 menos 5 vai dar 2. Então nós temos a matriz na nossa forma escalonada reduzida. Essa aqui será a forma escalonada reduzida da nossa matriz A. Eu posso verificar que essa matriz está na forma escalonada reduzida porque o número 1 de cada linha... Quem são os números 1 aqui? Tenho aqui, tenho aqui, e eles são os únicos da coluna deles que não estão zerados. Vamos escrever aqui. Deixe-me destacar isso aqui. Eles são chamados de entradas principais. Então, vou colocar aqui que são as entradas principais, e as únicas entradas que não serão o número zero das suas respectivas colunas. E se eu tiver alguma linha toda zerada... E eu tenho aqui. Eu tenho essa linha aqui totalmente zerada. Essa linha aqui está zerada. Por uma questão de convenção, ela sempre será a última linha da nossa matriz. Então nós temos as entradas principais, as únicas que são 1 nas suas colunas. Elas devem ser 1, não podem ser outro número, como 5, por exemplo. Se aqui fosse o número 5, eu dividiria essa linha inteira por 5 e obteria 1, que é o que devo ter como entrada principal. E aí eu sei o seguinte: a linha seguinte, a outra entrada principal, deve ser a próxima linha e sempre estar à direita. Então aqui vai ser a próxima à direita. É só uma questão de convenção, assim como a gente também tem, como uma convenção para as matrizes escalonadas, que se uma linha estiver zerada dever ser a última linha. E claro, eu já disse isso várias vezes, a entrada 1 deve ser a única que não vai ser zero na sua coluna. Agora, o que isso aqui me diz? A partir desse ponto, eu posso voltar ao mundo das minhas equações lineares aqui de cima. porque aqui estão os coeficientes de x₁, aqui os coeficientes de x₂, aqui os de x₃, os coeficientes de x₄ e aqui as constantes desse lado direito. Então, eu posso reescrever esse sistema usando essa minha matriz escalonada reduzida aqui. Então vamos lá. Isso vai ficar como? Eu vou ter x₁ mais 2 vezes x₂, nesta primeira equação não tem x₃, e a gente vai ter mais 3 vezes x₄ e isso será igual a 2. Na segunda linha não tem x₁ e nem x₂. Vamos ter x₃ menos 2 vezes x₄ igual a 5. E essa última linha aqui não tem nenhuma equação. Está completamente zerada. E o que nós somos capazes de fazer é reduzir esse sistema de equações para esse sistema de equações lineares aqui. As variáveis que estão associadas às entradas principais são chamadas de variáveis dinâmicas. Então x₁ e x₃ podemos dizer que são variáveis dinâmicas. E as variáveis que não estão associadas às entradas principais são chamadas de variáveis livres. Então, no nosso exemplo x₂ e x₄ podemos dizer que são variáveis livres. Agora vamos resolver. Essencialmente, a gente só vai conseguir resolver para as variáveis dinâmicas. Para as variáveis livres, podemos ter um conjunto de variáveis. Eu disse no começo, quando estávamos analisando os sistemas de equações, que nós temos menos equações do que incógnitas. Então, esta não será uma solução tão restrita. Você não terá apenas um ponto do R⁴ que resolverá esse sistema. Você terá várias pontos. Então vamos lá. Vamos resolver e achar os valores possíveis para as variáveis dinâmicas, porque são as únicas que nós podemos resolver. Eu vou dizer, então, que x₃ é igual a quê? É igual a 5 mais 2 vezes x₄. A única coisa que eu fiz foi somar dois x₄ dos dois lados. E x₁? x₁, minha outra variável dinâmica, eu vou dizer que é igual a 2 menos 2 vezes x₂, menos 3 vezes x₄. Eu pulei alguns passos, mas o que eu fiz aqui foi diminuir 2 vezes x₂ de ambos os lados dessa equação e depois diminuir 3x₄ de ambos os lados dessa equação e cheguei aqui. Então, as minhas variáveis dinâmicas, x₁ e x₃, estão aqui e isso é o mais longe que eu posso ir com esses sistemas de equações que eu tenho aqui. Na verdade, eu posso escolher quaisquer valores para as minhas variáveis livres x₂ e x₄. Então eu terei os valores de x₃ e x₁. Mas o que eu quero fazer agora é escrever isso de uma maneira um pouco diferente, para que a gente possa visualizar melhor. Claro, sempre é difícil visualizar coisas em quatro dimensões, mas talvez a gente consiga visualizar melhor o conjunto solução nesse sistema. Então vamos lá. Vamos escrever a solução desse sistema na forma vetorial. Escrevendo na forma vetorial, a solução vai ser: a gente vai ter os vetores x₁, x₂, x₃ e x₄ (as quatro incógnitas) e a gente pode dizer que isso é igual a quê? Deixe-me escrever aqui dessa cor. Vamos mudar de cor. A gente pode escrever... Vamos olhar primeiro para o x₁. x₁ é igual a 2, 2 aqui é constante, mais alguma coisa vezes x₂ e mais alguma coisa vezes o quê? (Vamos colocar aqui x₂). Mais alguma coisa vezes x₄. Agora vamos observar para ver quem são essas constantes que estão multiplicando as incógnitas que estão em função de x₁. Menos 2 vezes x₂. Então a gente pode dizer que vai ser mais x₂ vezes -2 e -3 vezes x₄. Então a gente pode dizer que é mais x₄ vezes -3. Essas aqui são as entradas em que a gente tem a solução do x₁. O x₃, se nós olharmos para ele, será igual a 5 mais 2 vezes x₄. Então posso dizer que será x₄ vezes 2, ou 2 vezes x₄. Como ele não tem x₂, a gente vai dizer que x₂ não está aplicado aqui, não está em função, então vou colocar zero aqui no x₂. Agora vamos observar as nossas variáveis livres, x₂ e x₄. Elas não dependem de ninguém, então vou dizer que x₂ será zero Como x₂ é igual a x₂, então aqui será 1 e aqui será zero. A mesma coisa para x₄. x₄ aqui será zero e aqui também será zero. Como x₄ é igual a x₄, aqui vai ser 1. Agora o que isso aqui nos diz? Você pode imaginar que cada um desses nossos vetores de posição vai estar no R⁴. Então o que nós temos aqui é uma combinação linear de três vetores que estão no R⁴. Cada vetor desses é um vetor posição e a gente terá o vetor no R⁴. Então esses vetores, essas coordenadas, serão nosso conjunto solução em um plano no R⁴. Então, temos que esse meu conjunto solução aqui será algum vetor. Pense nisso. Vamos pensar nisso como um vetor posição, então. Vou fazer um vetor aqui, um vetor posição. E esse vetor vai ter essas coordenadas aqui. Vamos colocar as coordenadas (2, 0, 5, 0). Obviamente que isso aqui é um vetor em quatro dimensões. E a gente terá como conjunto solução esse vetor mais um múltiplo desses dois vetores aqui. Vamos mudar a cor. Vamos chamar esse vetor de vetor "a". Aqui vai ser o meu vetor "a". E vamos chamar esse aqui de vetor "b". Esse aqui vai ser o meu vetor "b". Então vamos imaginar que esse vetor aqui, esse primeiro vetor está aqui, partindo dessa origem, e a gente vai ter nesse conjunto solução esse vetor mais um múltiplo dele. Então vou fazer aqui o meu vetor "a". Aqui seria o meu vetor "a", e aqui meu vetor "b". Aqui seria o meu vetor "b". Ele está aqui. Então, estou imaginando que o nosso conjunto solução vai ser esse vetor fixo mais os múltiplos dos vetores "a" e "b". Nosso vetor fixo mais os múltiplos destes dois vetores aqui. Eu não sei se vai ser mais fácil ou mais difícil para você visualizar isso porque, obviamente, estamos tratando de quatro dimensões aqui e eu estou usando uma superfície tridimensional. Mas o que você pode imaginar é que esse conjunto solução vai ser igual a esse vetor fixo, o nosso ponto fixo, mais as combinações lineares de "a" e "b". E claro, nós estamos trabalhando no R⁴. Deixe-me escrever isso aqui. Tudo isso que nós estamos fazendo é no plano R⁴. As combinações lineares de "a" e "b" vão criar um plano. Você pode, por exemplo, multiplicar "a" por 2 e "b" por 3, ou multiplicar "a" por -1 e "b" por -100 e aí você pode continuar somando e subtraindo essas combinações lineares de "a" e "b". Então essas combinações lineares vão formar um plano e esse plano que vai ser formado vai conter esse vetor (2, 0, 5, 0). Então a solução para essa equação aqui, para esse sistema com três equações e quatro incógnitas é um plano no R⁴. Então isso aqui vai ser nosso conjunto solução que vai estar em um plano no R⁴. Eu sei que realmente é difícil de visualizar isso. Talvez eu faça com três dimensões, mas eu espero que tenha pelo menos dado uma compreensão do que é uma matriz aumentada, o que é a forma reduzida escalonada e quais são as operações válidas para que possam ser aplicadas em uma matriz sem bagunçar o sistema. É isso pessoal. Até um próximo vídeo!