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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 1
Lição 6: Matrizes para resolução de sistemas por eliminaçãoComo resolver um sistema de 3 equações e 4 variáveis usando a forma escalonada da matriz
Neste vídeo, resolvemos um sistema linear com 3 equações e 4 variáveis representando-o com uma matriz aumentada e obtendo sua forma escalonada reduzida. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Bom dia! A solução não seria um espaço em R^4? Pois, sendo os vetores posição L.I., eles formam uma base para R^3, ou seja um espaço.(1 voto)
- como posso definir limite.(1 voto)
- Você está no lugar errado, vá para o curso de cálculo diferencial.(2 votos)
- Muito mal explicado, nem os símbolos foram colocados direito.... meu deus(1 voto)
- quero material basico sobre TENSORES(0 votos)
- Onde estão as legendas em pt?!(0 votos)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Eu tenho aqui
três equações de quatro incógnitas e você pode imaginar, você já sabe que
se você tiver mais incógnitas do que equações você provavelmente
não terá restrições suficientes, terá um número infinito
de soluções. Mas esse número infinito
pode ser mais restrito. Por exemplo,
nesse caso aqui eu posso restringir
de um plano de quatro dimensões, porque temos quatro incógnitas, para um plano de três dimensões, ou então para uma linha... A gente sabe que mesmo uma linha
ainda assim tem um número infinito de soluções, mas é mais restrito do que um plano
com quatro, três dimensões. Vamos, então, resolver
esse conjunto de sistemas aqui. Nós já fizemos isso
pelo método da eliminação, mas o que eu quero nesse vídeo é introduzir a ideia de matrizes. Então a gente vai fazer
compondo uma matriz. As matrizes
nada mais são do que abreviações
para esses sistemas de equações. Deixe-me criar, então,
uma matriz. Vou fazer isso
de maneira ordenada. Essa matriz vai ser composta
pelos coeficientes das incógnitas do lado esquerdo
das equações. Então, essa primeira coluna aqui
vai ser 1, 1, 2, que são esses coeficientes aqui,
1, 1, 2. Esse segundo 2, 2, 4. O terceiro, 1, 2, 0. Zero porque não existe
esse termo aqui. O termo x₃ não existe
nessa terceira linha. Então aqui vai ser zero.
Portanto, 1, 2, 0. E esse último aqui,
1, -1, 6. Então, esse sistema é composto pelos coeficientes dessas equações aqui de uma forma bem simples. Então o que nós temos aqui
é uma matriz formada pelos coeficientes
dessa equação e o que eu quero fazer
é aumentar essa matriz. Eu vou aumentar
de que maneira? Vou aumentá-la
colocando esses valores aqui, que são as igualdades
do outro lado das equações. Vou colocar uma reta.
Vamos colocar uma reta aqui. E aqui vou escrever os números
7, 12 e 4. E assim,
se você observar, você vai perceber
que isso que a gente fez foi apenas uma maneira diferente
de escrever isso aqui. Não preciso mais
toda vez escrever x₁, x₂, x₃. Apenas pela posição eu percebo que aqui estão
os coeficientes x₁, aqui x₂, x₃. Eu poupo o tempo de escrever isso
toda vez que coloco esse sistema. Essencialmente nós podemos fazer
as mesmas operações aqui que faríamos aqui. O que nós podemos fazer? Podemos substituir
qualquer uma dessas equações por uma dessas outras equações
multiplicadas por um escalar. Podemos dividir uma equação ou multiplicar uma dessas equações para um escalar. Podemos subtrair uma equação da outra,
e nós podemos trocá-las também. Então vamos fazer isso
em uma tentativa de resolver esse sistema. E a primeira coisa
que eu quero fazer aqui, e nós já fizemos
em vídeos anteriores, é colocar esse sistema aqui de maneira que cada uma dessas linhas
tenha apenas um coeficiente 1 e na linha que tiver esse coeficiente 1
todas as outras entradas vão ter que ser zero. Tenho certeza que fizemos
isso em vídeos passados quando tentamos descobrir coisas
que eram linearmente independentes ou não. Agora eu vou ter que garantir
que se existir 1 na minha linha, todos os outros elementos dessa coluna
serão zero. Isso que eu estou fazendo pode ser chamado de
forma escalonada reduzida por linha. Vamos escrever isso. Isso se chama
forma escalonada reduzida. Então, se nós denominamos
essa matriz como matriz "A", o que nós vamos calcular
é a forma escalonada reduzida. A sigla vai ficar em inglês [ref] e isso vai ser a forma escalonada reduzida da matriz A. Isso é o que queremos calcular agora. Apenas para tornar clara a distinção entre a representação de matriz e vetores, nós representamos sempre uma matriz
com uma letra maiúscula. Mais para a frente,
nós vamos estudar melhor como é que matrizes e vetores
se relacionam. Mas agora eu quero apenas resolver
esses sistemas de equações. Então vamos lá. Em uma situação ideal, eu gostaria de ter esse termo aqui valendo 1 e todos esses termos aqui valendo zero. Vamos ver o que eu posso fazer.
O que eu vou fazer? Vou colocar essa primeira linha,
vou repetir essa primeira linha, e a segunda linha vai ser
a primeira menos a segunda. Então vamos ver
o que nós vamos ter. A primeira linha não muda,
então vai ficar 1, 2, 1, 1 e aqui vai ficar 7.
A gente continua com ela. A segunda linha vai ser
a subtração da primeira menos a segunda. Então vamos ter:
1 menos 1, zero. 2 menos 2, zero.
1 menos 2, -1. 1 menos -1,
aqui vai ficar positivo, então vai ficar 1 mais 1,
vai ser 2. 7 menos 12, -5. Agora vamos ver o que consigo fazer
nessa terceira linha. Agora, eu preciso me livrar,
na verdade, desse 2. Esse 2 tem que virar zero. Na verdade, vou fazer essa linha
menos 2 vezes a primeira linha aqui. Então, a primeira entrada vai ficar
2 menos 2 vezes 1. 2 menos 2,
pois 2 vezes 1 é 2. Então 2 menos 2 é zero. Consegui o que eu queria.
Já consegui ter zero aqui. 4 menos 2 vezes 2. 2 vezes 2 é 4.
4 menos 4 é zero também. Zero menos 2 vezes 1. 2 vezes 1 é 2.
Zero menos 2 vai ficar -2. 6 menos 2 vezes 1, que é 2.
6 menos 2 é 4. E aqui, o último.
4 menos 2 vezes 7. 2 vezes 7 é 14.
4 menos 14 vai ficar -10. Isso foi o que
a gente conseguiu fazer aqui. Vamos ver agora
qual será nosso próximo passo. Bem, você pode observar que a gente ficou
com tudo isso aqui zerado. Ficamos com toda essa parte aqui sendo zero. O meu próximo passo seria zerar esse
cara aqui caso ele não estivesse zerado. Mas como aqui já está zero,
vamos partir para essa próxima linha. O que eu vou fazer
primeiramente é transformar essa linha aqui, porque
quero que esse coeficiente valha +1, ou seja, 1 positivo. Então o que eu vou fazer aqui
é multiplicar essa linha toda por -1. Para não precisar reescrever
essa linha toda, basta fazer o seguinte: multiplicar todo mundo por -1. Significa fazer com que isso aqui
vire positivo, aqui fique negativo
e aqui fique positivo. Isso seria multiplicar
tudo por +1. Só estou poupando o tempo
de reescrever essa matriz de novo. Agora, qual vai ser
o meu próximo passo? Que podemos fazer aqui? O que eu vou querer fazer
é zerar esse elemento aqui, esse -2 aqui. Então eu vou copiar novamente
a minha matriz aqui. Deixe-me copiá-la novamente. O que a gente vai fazer?
Com essa aqui do meio, nessa linha do meio
não vou mexer, pois já tenho esses zeros
que eu queria. Então vou copiar a linha do meio:
0, 0, 1, -2. Vamos colocar aqui
nossa linha divisória e aqui vai ficar 5. O que eu vou fazer
para eliminar esse -2 aqui é pegar essa terceira linha e somar com o dobro dessa segunda linha. Assim eu vou conseguir eliminar esse -2,
que é meu objetivo. Então, agora, nessa terceira linha
nós teremos zero aqui e zero aqui também, porque (zero mais 2 vezes zero)
e (zero mais 2 vezes zero) vai dar zero. Teremos -2 mais 2 vezes 1. 2 vezes 1 é 2,
-2 com 2 vai zerar também. Aqui nós vamos ter 4 mais 2 vezes -2. 2 vezes -2 é -4. +4 com -4,
aqui também vai zerar. E aqui nós vamos ter
-10 mais 2 vezes 5. 2 vezes 5 é 10.
-10 mais 10, aqui também vai zerar. Então temos essa linha toda zerada. Normalmente, quando eu faço
uma eliminação regular, eu ficaria feliz
em ver uma situação como essa, onde eu tenho os números 1
seguidos de vários zeros. Mas até então
não estava muito preocupada com o que vinha acima
desses números 1. Agora o que eu quero
é torná-los zeros, então o que eu vou fazer? Vou querer zerar
esse elemento aqui. Como nós vamos fazer isso? O que acontece
se eu fizer essa linha aqui como sendo ela
menos a segunda linha? Então vou fazer a primeira
menos a segunda linha. Vou ter aqui 1 menos zero,
que vai continuar sendo 1. 2 menos zero
vai continuar sendo 2. 1 menos 1 vai dar zero,
que é o que eu quero fazer. 1 menos -2 vai ficar +3,
3 positivo. e 7 menos 5 vai dar 2. Então nós temos a matriz
na nossa forma escalonada reduzida. Essa aqui será a forma escalonada reduzida
da nossa matriz A. Eu posso verificar que essa matriz está
na forma escalonada reduzida porque o número 1 de cada linha... Quem são os números 1 aqui? Tenho aqui, tenho aqui, e eles são os únicos da coluna deles
que não estão zerados. Vamos escrever aqui.
Deixe-me destacar isso aqui. Eles são chamados de
entradas principais. Então, vou colocar aqui
que são as entradas principais, e as únicas entradas que não serão o número zero
das suas respectivas colunas. E se eu tiver alguma linha toda zerada...
E eu tenho aqui. Eu tenho essa linha aqui
totalmente zerada. Essa linha aqui
está zerada. Por uma questão de convenção, ela sempre será a última linha
da nossa matriz. Então nós temos as entradas principais,
as únicas que são 1 nas suas colunas. Elas devem ser 1, não podem ser
outro número, como 5, por exemplo. Se aqui fosse o número 5,
eu dividiria essa linha inteira por 5 e obteria 1, que é o que devo ter
como entrada principal. E aí eu sei o seguinte: a linha seguinte,
a outra entrada principal, deve ser a próxima linha
e sempre estar à direita. Então aqui vai ser
a próxima à direita. É só uma questão de convenção, assim como a gente também tem, como uma convenção
para as matrizes escalonadas, que se uma linha estiver zerada
dever ser a última linha. E claro, eu já disse isso
várias vezes, a entrada 1 deve ser a única
que não vai ser zero na sua coluna. Agora, o que isso aqui
me diz? A partir desse ponto,
eu posso voltar ao mundo das minhas equações lineares
aqui de cima. porque aqui estão
os coeficientes de x₁, aqui os coeficientes de x₂, aqui os de x₃,
os coeficientes de x₄ e aqui as constantes
desse lado direito. Então, eu posso reescrever
esse sistema usando essa minha matriz escalonada reduzida aqui. Então vamos lá.
Isso vai ficar como? Eu vou ter x₁
mais 2 vezes x₂, nesta primeira equação
não tem x₃, e a gente vai ter
mais 3 vezes x₄ e isso será igual a 2. Na segunda linha não tem x₁ e nem x₂. Vamos ter x₃ menos 2 vezes x₄
igual a 5. E essa última linha aqui
não tem nenhuma equação. Está completamente zerada. E o que nós somos capazes de fazer é reduzir
esse sistema de equações para esse sistema de equações lineares aqui. As variáveis que estão associadas
às entradas principais são chamadas de
variáveis dinâmicas. Então x₁ e x₃ podemos dizer
que são variáveis dinâmicas. E as variáveis que não estão associadas
às entradas principais são chamadas de variáveis livres. Então, no nosso exemplo x₂ e x₄ podemos dizer
que são variáveis livres. Agora vamos resolver. Essencialmente, a gente só vai conseguir resolver
para as variáveis dinâmicas. Para as variáveis livres,
podemos ter um conjunto de variáveis. Eu disse no começo, quando estávamos analisando
os sistemas de equações, que nós temos menos equações
do que incógnitas. Então, esta não será
uma solução tão restrita. Você não terá apenas um ponto do R⁴
que resolverá esse sistema. Você terá várias pontos.
Então vamos lá. Vamos resolver e achar os valores possíveis
para as variáveis dinâmicas, porque são as únicas
que nós podemos resolver. Eu vou dizer, então,
que x₃ é igual a quê? É igual a 5 mais 2 vezes x₄. A única coisa que eu fiz
foi somar dois x₄ dos dois lados. E x₁? x₁, minha outra variável dinâmica, eu vou dizer que é igual a
2 menos 2 vezes x₂, menos 3 vezes x₄. Eu pulei alguns passos,
mas o que eu fiz aqui foi diminuir 2 vezes x₂
de ambos os lados dessa equação e depois diminuir 3x₄
de ambos os lados dessa equação e cheguei aqui. Então, as minhas variáveis dinâmicas,
x₁ e x₃, estão aqui e isso é o mais longe
que eu posso ir com esses sistemas de equações
que eu tenho aqui. Na verdade, eu posso escolher
quaisquer valores para as minhas variáveis livres x₂ e x₄. Então eu terei os valores de x₃ e x₁. Mas o que eu quero fazer agora é escrever isso de uma maneira
um pouco diferente, para que a gente possa
visualizar melhor. Claro, sempre é difícil visualizar coisas
em quatro dimensões, mas talvez a gente consiga visualizar
melhor o conjunto solução nesse sistema. Então vamos lá. Vamos escrever a solução desse sistema
na forma vetorial. Escrevendo na forma vetorial,
a solução vai ser: a gente vai ter os vetores x₁, x₂, x₃ e x₄
(as quatro incógnitas) e a gente pode dizer
que isso é igual a quê? Deixe-me escrever aqui dessa cor.
Vamos mudar de cor. A gente pode escrever... Vamos olhar primeiro
para o x₁. x₁ é igual a 2,
2 aqui é constante, mais alguma coisa vezes x₂ e mais alguma coisa vezes o quê? (Vamos colocar aqui x₂). Mais alguma coisa vezes x₄. Agora vamos observar
para ver quem são essas constantes que estão multiplicando as incógnitas
que estão em função de x₁. Menos 2 vezes x₂. Então a gente pode dizer
que vai ser mais x₂ vezes -2 e -3 vezes x₄. Então a gente pode dizer
que é mais x₄ vezes -3. Essas aqui são as entradas
em que a gente tem a solução do x₁. O x₃, se nós olharmos para ele, será igual a
5 mais 2 vezes x₄. Então posso dizer que será x₄ vezes 2,
ou 2 vezes x₄. Como ele não tem x₂, a gente vai dizer que x₂
não está aplicado aqui, não está em função,
então vou colocar zero aqui no x₂. Agora vamos observar
as nossas variáveis livres, x₂ e x₄. Elas não dependem de ninguém,
então vou dizer que x₂ será zero Como x₂ é igual a x₂,
então aqui será 1 e aqui será zero. A mesma coisa para x₄. x₄ aqui será zero
e aqui também será zero. Como x₄ é igual a x₄,
aqui vai ser 1. Agora o que isso aqui nos diz? Você pode imaginar que cada um
desses nossos vetores de posição vai estar no R⁴. Então o que nós temos aqui é uma combinação linear
de três vetores que estão no R⁴. Cada vetor desses
é um vetor posição e a gente terá
o vetor no R⁴. Então esses vetores,
essas coordenadas, serão nosso conjunto solução
em um plano no R⁴. Então, temos que esse meu conjunto solução
aqui será algum vetor. Pense nisso. Vamos pensar nisso
como um vetor posição, então. Vou fazer um vetor aqui,
um vetor posição. E esse vetor vai ter
essas coordenadas aqui. Vamos colocar as coordenadas (2, 0, 5, 0). Obviamente que isso aqui
é um vetor em quatro dimensões. E a gente terá
como conjunto solução esse vetor mais um múltiplo
desses dois vetores aqui. Vamos mudar a cor.
Vamos chamar esse vetor de vetor "a". Aqui vai ser o meu vetor "a". E vamos chamar esse aqui
de vetor "b". Esse aqui vai ser o meu vetor "b". Então vamos imaginar
que esse vetor aqui, esse primeiro vetor está aqui,
partindo dessa origem, e a gente vai ter
nesse conjunto solução esse vetor
mais um múltiplo dele. Então vou fazer aqui
o meu vetor "a". Aqui seria o meu vetor "a",
e aqui meu vetor "b". Aqui seria o meu vetor "b".
Ele está aqui. Então, estou imaginando
que o nosso conjunto solução vai ser esse vetor fixo
mais os múltiplos dos vetores "a" e "b". Nosso vetor fixo
mais os múltiplos destes dois vetores aqui. Eu não sei se vai ser mais fácil
ou mais difícil para você visualizar isso porque, obviamente, estamos tratando
de quatro dimensões aqui e eu estou usando
uma superfície tridimensional. Mas o que você pode imaginar
é que esse conjunto solução vai ser igual a esse vetor fixo,
o nosso ponto fixo, mais as combinações lineares
de "a" e "b". E claro, nós estamos trabalhando no R⁴. Deixe-me escrever isso aqui. Tudo isso que nós estamos fazendo
é no plano R⁴. As combinações lineares de "a" e "b"
vão criar um plano. Você pode, por exemplo,
multiplicar "a" por 2 e "b" por 3, ou multiplicar "a" por -1 e "b" por -100 e aí você pode continuar somando e subtraindo essas combinações lineares de "a" e "b". Então essas combinações lineares
vão formar um plano e esse plano
que vai ser formado vai conter esse vetor
(2, 0, 5, 0). Então a solução
para essa equação aqui, para esse sistema com três equações
e quatro incógnitas é um plano no R⁴. Então isso aqui
vai ser nosso conjunto solução que vai estar em um plano no R⁴. Eu sei que realmente
é difícil de visualizar isso. Talvez eu faça
com três dimensões, mas eu espero que tenha
pelo menos dado uma compreensão do que é uma matriz aumentada,
o que é a forma reduzida escalonada e quais são as operações válidas para que possam ser aplicadas
em uma matriz sem bagunçar o sistema. É isso pessoal. Até um próximo vídeo!