Resolução de sistemas lineares com matrizes

RKA2JV - Eu acho que nunca é demais a gente praticar como se resolvem sistemas com equações lineares. Então, vamos resolver mais este aqui. Para resolver isto, a gente vai usar a matriz aumentada, e depois a gente vai colocar essa matriz aumentada na forma escalonada reduzida por linha. Então, vamos lá. Vamos ver como vai ficar a matriz aumentada que vai representar este sistema aqui. Eu sei que são três equações e três incógnitas. Então, a primeira incógnita, os coeficientes dessa primeira incógnita, do "x" de cada uma das equações, vão estar aqui na minha primeira coluna. Então, vai ser: 1, 1, 1. A segunda coluna são os coeficientes de "y", no caso: 1, 2 e 3. E a terceira coluna, os coeficientes de "z", então, eu vou entrar aqui: 1, 3 e 4. Agora, aqui eu vou fazer a minha linha divisória, e aqui eu vou colocar as constantes que estão depois da igualdade em cada uma destas equações. Então, vai ficar: 3, 0 e -2. Então, esta aqui é a minha matriz aumentada, que está representando este sistema aqui. Agora eu vou começar a colocar esta matriz aumentada na forma reduzida por linha. O que eu tenho que fazer é colocar esta primeira entrada principal como 1: já está. Então, o que eu vou precisar fazer agora é zerar só estas duas entradas aqui. Vamos lá. A primeira linha não vai mudar. A primeira linha vai continuar como está. Então, vai ficar: 1, 1, 1. Vamos fazer a linha divisória aqui, e aqui vai ficar o 3. Agora eu vou pensar na minha segunda linha. Bom, eu posso fazer a primeira linha menos a segunda linha. Então, 1 menos 1, aqui vai ficar zero. Talvez seja mais negócio eu fazer a segunda linha menos a primeira linha, porque aqui não vai ficar negativo. Então, eu vou fazer a segunda menos a primeira. Aí, 1 menos 1 dá zero, 2 menos 1 dá 1, 3 menos 1 dá 2, e zero menos 3 vai dar -3. Agora eu quero zerar este elemento aqui também, então, a gente vai fazer a seguinte subtração: a terceira linha menos a primeira linha. Então, eu vou ter: 1 menos 1, aqui nesta primeira entrada, vai ser zero. 3 menos 1 vai ser 2, 4 menos 1 dá 3, e -2 com -3 vai dar -5. Até aqui está tudo ok, não é? Tenho 1 como minha entrada principal aqui nesta coluna, depois, à direita, eu tenho 1 aqui como entrada principal, que é o que eu quero para deixar minha matriz escalonada na forma reduzida por linha, e o que eu vou precisar me preocupar aqui é com estas duas entradas aqui. Eu preciso zerá-las. Então, vamos fazer isso. Eu vou escrever aqui a minha matriz novamente. Eu já sei que a minha segunda linha não vai ser alterada. Então, vai ficar 0, 1, 2. Vou colocar aqui o -3, que é a parte aumentada. E agora eu vou me preocupar em zerar estes caras. Vamos ver o que eu vou fazer. Para zerar estes dois elementos aqui, o que eu posso fazer, para começar com esta primeira linha, é fazer esta primeira linha, menos esta segunda linha aqui. Então, eu vou fazer a primeira menos a segunda. Aí nós vamos ter: 1 menos zero, aqui vai ficar 1, 1 menos 1, aqui vai ficar zero, 1 menos 2, aqui vai ficar -1, e 3 menos (-3) é como se fosse 3 + 3, então, 3 menos (-3), ou 3 + 3, aqui vai ficar 6. Vamos só conferir para ter certeza que eu não cometi nenhum erro por descuido. 1 menos zero vai dar 1, 1 menos 1 vai dar zero, 1 menos 2 dá -1, e 3 menos (-3) dá +6. Ok, agora o que eu preciso fazer é me livrar deste elemento aqui. Eu preciso zerar este elemento. Então, a conta que a gente pode fazer é: a terceira linha, menos 2 vezes esta segunda linha, porque aí vai ficar: zero menos 2 vezes zero, aqui vai dar zero; 2 menos 2 vezes 1: 2 vezes 1 é 2, 2 menos 2, aqui vai dar zero, que é o que eu estava querendo fazer, 3 menos 2 vezes 2: 2 vezes 2 é 4, 3 menos 4, aqui vai dar -1, e agora, -5 vezes -2 vezes -3. Vamos escrever isso, vai ficar: -5 menos 2 vezes -3. Vai ser a mesma coisa que -5 menos: 2 vezes menos 3 é -6, a gente vai ficar, então, com -5 + 6, e isto é igual a 1. Só estava querendo me certificar para ver se eu tinha feito corretamente, não tinha errado nada, ok. Nós estamos quase chegando à nossa matriz escalonada reduzida por linha. O que está dificultando é que, aqui nesta linha, este 1 tem que ser positivo, e aqui é negativo; e eu preciso transformar estes dois elementos em zero, preciso zerar estas duas entradas aqui. É bem fácil transformar este número aqui, é só multiplicar esta linha por -1. O que vai acontecer se eu multiplicar é que aqui vai ficar positivo e aqui vai ficar negativo. Agora eu vou zerar estes dois elementos. Vamos lá. A terceira linha da minha equação eu vou manter a mesma, a minha terceira linha não vai mudar. Ela vai continuar sendo 0, 0, 1, e aqui -1. Só fazer a minha linha divisória aqui. E o que nós podemos fazer, então? Agora, o que eu vou querer fazer é eliminar este cara aqui. Para eliminar, basta eu somar a primeira linha com a terceira linha. Vou somar a primeira com a última linha da minha matriz, e vai acontecer o que eu estou querendo. Então, vamos ficar com: 1 mais zero, que vai dar 1, zero mais zero, vai dar zero, -1 com +1 vai dar zero, que é o que eu estava querendo, e 6 + (-1) é 6 menos 1, que vai ser 5. E agora, o que eu vou fazer é zerar este elemento aqui para arrumar a minha segunda linha. Para isso eu posso fazer o seguinte: posso fazer esta segunda linha, menos 2 vezes a terceira linha. Porque aí eu vou ficar assim, olha: zero menos, 2 vezes zero é zero, zero menos zero, aqui vai ficar zero. 1 menos 2 vezes zero, 2 vezes zero é zero, 1 menos zero, aqui vai ficar 1. 2 menos 2 vezes 1: 2 vezes 1 é 2, 2 menos 2, aqui vai dar zero. E nesta última aqui: -3 menos 2 vezes (-1). Vamos só escrever isso para a gente não cometer nenhum erro. -3 menos 2 vezes (-1). Vou ficar com: -3 menos, 2 vezes (-1) é -2, vou ficar com -3 mais 2, isto é a mesma coisa que -1. Então, aqui é -1. E agora eu tenho a minha matriz aumentada na forma escalonada reduzida por coluna. Esta matriz é a matriz que está escalonada reduzida por linha da nossa matriz inicial ali. Esta aqui, vamos escrever aqui, é a nossa matriz que foi escalonada reduzida por linha. Minhas entradas principais são as únicas entradas em suas respectivas colunas, olha só. Cada entrada vai estar à direita e na linha abaixo da entrada anterior. E eu não tenho variáveis livres. Cada coluna tem apenas uma entrada principal. Agora vamos retornar ao nosso sistema de equações para ver como ficaram nossas variáveis. Então, o temos aqui? Vou escrever aqui, nós temos: x + 0y + 0z = 5. Aqui está o "x", que corresponde a esta linha aqui. Agora vamos ver aqui, a segunda: a gente tem 0x + y + 0z = -1. É esta linha aqui. E na nossa última linha, nós temos: 0x + 0y + z = -1. E assim nós resolvemos o nosso sistema com três incógnitas e três variáveis, e esta é a solução. Eu escrevi um pouco mais afastado para você poder fazer a correspondência com o resultado. Enfim, eu espero que tenha percebido a utilidade do escalonamento na solução do sistema. Até o próximo vídeo!