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Álgebra linear
Curso: Álgebra linear > Unidade 1
Lição 6: Matrizes para resolução de sistemas por eliminaçãoResolução de sistemas lineares com matrizes
Neste vídeo, resolvemos um sistema linear com 3 variáveis representando-o com uma matriz aumentada e obtendo sua forma escalonada reduzida. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Todos que reclamaram do vídeo não ser explicativo, aparentemente só vieram ver o trecho específico do assunto sem ter olhado os anteriores. Se estivessem seguindo o conteúdo de matrizes desde o início (que não é muita coisa), estariam sabendo tudo o que se passa nele.
Mas sim, dava pra ser um pouco mais explicativo. Ela não especifica na tela por escrito que operações elementares ela está fazendo, por exemplo, e fala um tanto rápido, também.(24 votos)- Eis a introdução às matrizes que eu segui... https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/(6 votos)
- Para os que reclamam, fica difícil mesmo querer estudar tópicos de álgebra linear sem nem ao menos dominar escalonamento de matrizes. Operações básicas não precisam ser demonstradas, pois senão o vídeo teria 50 minutos. Recomendo dar uma lida em um material complementar, caso esteja com dificuldade(15 votos)
- Primeira vez que estou vendo a materia e já peguei, apesar dos coleguinhas estarem reclamando do vídeo, deveriam estar se esforçando mais! ótima professora! recomendo!(10 votos)
- Não indicado para não iniciados em escalonamento.(7 votos)
- O que significa matriz escalonada reduzida? Quais as características para ser uma?(4 votos)
- https://pt.wikipedia.org/wiki/Elimina%C3%A7%C3%A3o_de_Gauss
1 0 0 12
0 1 0 16
0 0 1 1
Se isso veio de um sistema:
x + 0y + 0z = 12
0x + y + 0z = 16
0x +0y + z = 1
a solução é imediata x= 12, y = 16 e z = 1!
Como disse o Antonio Fonte Filho abaixo:
Não indicado para não iniciados em escalonamento
O khan oferece aulas de escalonamento, procure e estude lá!(2 votos)
- triste por que vcs pensam que somos maquinas :((4 votos)
- #vozinha de fazer gf :)(3 votos)
- E como esse método foi desenvolvido?(3 votos)
Transcrição de vídeo
RKA2JV - Eu acho que nunca
é demais a gente praticar como se resolvem sistemas
com equações lineares. Então, vamos resolver
mais este aqui. Para resolver isto, a gente vai
usar a matriz aumentada, e depois a gente vai
colocar essa matriz aumentada na forma escalonada
reduzida por linha. Então, vamos lá. Vamos ver como vai ficar
a matriz aumentada que vai representar
este sistema aqui. Eu sei que são três equações
e três incógnitas. Então, a primeira incógnita,
os coeficientes dessa primeira incógnita, do "x" de cada uma das equações,
vão estar aqui na minha primeira coluna. Então, vai ser:
1, 1, 1. A segunda coluna são os coeficientes
de "y", no caso: 1, 2 e 3. E a terceira coluna,
os coeficientes de "z", então, eu vou
entrar aqui: 1, 3 e 4. Agora, aqui eu vou fazer
a minha linha divisória, e aqui eu vou colocar as constantes
que estão depois da igualdade em cada uma
destas equações. Então, vai ficar:
3, 0 e -2. Então, esta aqui é
a minha matriz aumentada, que está representando
este sistema aqui. Agora eu vou começar
a colocar esta matriz aumentada na forma reduzida
por linha. O que eu tenho
que fazer é colocar esta primeira entrada
principal como 1: já está. Então, o que eu vou
precisar fazer agora é zerar só estas
duas entradas aqui. Vamos lá. A primeira linha não vai mudar.
A primeira linha vai continuar como está. Então, vai ficar:
1, 1, 1. Vamos fazer a linha divisória aqui,
e aqui vai ficar o 3. Agora eu vou pensar
na minha segunda linha. Bom, eu posso fazer a primeira
linha menos a segunda linha. Então, 1 menos 1,
aqui vai ficar zero. Talvez seja mais negócio eu fazer
a segunda linha menos a primeira linha, porque aqui não vai
ficar negativo. Então, eu vou fazer
a segunda menos a primeira. Aí, 1 menos 1 dá zero,
2 menos 1 dá 1, 3 menos 1 dá 2,
e zero menos 3 vai dar -3. Agora eu quero zerar
este elemento aqui também, então, a gente vai fazer
a seguinte subtração: a terceira linha
menos a primeira linha. Então, eu vou ter: 1 menos 1, aqui nesta
primeira entrada, vai ser zero. 3 menos 1 vai ser 2,
4 menos 1 dá 3, e -2 com -3
vai dar -5. Até aqui está
tudo ok, não é? Tenho 1 como minha entrada
principal aqui nesta coluna, depois, à direita, eu tenho
1 aqui como entrada principal, que é o que eu quero para
deixar minha matriz escalonada na forma reduzida
por linha, e o que eu vou precisar me preocupar
aqui é com estas duas entradas aqui. Eu preciso zerá-las.
Então, vamos fazer isso. Eu vou escrever aqui
a minha matriz novamente. Eu já sei que a minha segunda linha
não vai ser alterada. Então, vai ficar
0, 1, 2. Vou colocar aqui o -3,
que é a parte aumentada. E agora eu vou me preocupar
em zerar estes caras. Vamos ver o que
eu vou fazer. Para zerar estes dois elementos aqui,
o que eu posso fazer, para começar com
esta primeira linha, é fazer esta primeira linha,
menos esta segunda linha aqui. Então, eu vou fazer
a primeira menos a segunda. Aí nós vamos ter:
1 menos zero, aqui vai ficar 1, 1 menos 1,
aqui vai ficar zero, 1 menos 2,
aqui vai ficar -1, e 3 menos (-3)
é como se fosse 3 + 3, então, 3 menos (-3), ou 3 + 3,
aqui vai ficar 6. Vamos só conferir para ter certeza que
eu não cometi nenhum erro por descuido. 1 menos zero vai dar 1,
1 menos 1 vai dar zero, 1 menos 2 dá -1,
e 3 menos (-3) dá +6. Ok, agora o que eu preciso fazer
é me livrar deste elemento aqui. Eu preciso zerar
este elemento. Então, a conta que
a gente pode fazer é: a terceira linha, menos
2 vezes esta segunda linha, porque aí vai ficar: zero menos
2 vezes zero, aqui vai dar zero; 2 menos 2 vezes 1:
2 vezes 1 é 2, 2 menos 2, aqui vai dar zero,
que é o que eu estava querendo fazer, 3 menos 2 vezes 2:
2 vezes 2 é 4, 3 menos 4,
aqui vai dar -1, e agora, -5
vezes -2 vezes -3. Vamos escrever
isso, vai ficar: -5 menos
2 vezes -3. Vai ser a mesma coisa que
-5 menos: 2 vezes menos 3 é -6, a gente vai ficar, então,
com -5 + 6, e isto é igual a 1. Só estava querendo
me certificar para ver se eu tinha feito corretamente,
não tinha errado nada, ok. Nós estamos quase chegando à nossa
matriz escalonada reduzida por linha. O que está dificultando
é que, aqui nesta linha, este 1 tem que ser positivo,
e aqui é negativo; e eu preciso transformar
estes dois elementos em zero, preciso zerar estas
duas entradas aqui. É bem fácil transformar este número aqui,
é só multiplicar esta linha por -1. O que vai acontecer
se eu multiplicar é que aqui vai ficar positivo
e aqui vai ficar negativo. Agora eu vou zerar
estes dois elementos. Vamos lá. A terceira linha da minha equação
eu vou manter a mesma, a minha terceira
linha não vai mudar. Ela vai continuar
sendo 0, 0, 1, e aqui -1. Só fazer a minha
linha divisória aqui. E o que nós
podemos fazer, então? Agora, o que eu vou querer
fazer é eliminar este cara aqui. Para eliminar, basta eu somar
a primeira linha com a terceira linha. Vou somar a primeira com
a última linha da minha matriz, e vai acontecer o que
eu estou querendo. Então, vamos ficar com:
1 mais zero, que vai dar 1, zero mais zero,
vai dar zero, -1 com +1 vai dar zero,
que é o que eu estava querendo, e 6 + (-1)
é 6 menos 1, que vai ser 5. E agora, o que eu vou fazer
é zerar este elemento aqui para arrumar a minha
segunda linha. Para isso eu posso fazer o seguinte:
posso fazer esta segunda linha, menos 2 vezes
a terceira linha. Porque aí eu vou
ficar assim, olha: zero menos,
2 vezes zero é zero, zero menos zero,
aqui vai ficar zero. 1 menos 2 vezes zero,
2 vezes zero é zero, 1 menos zero,
aqui vai ficar 1. 2 menos
2 vezes 1: 2 vezes 1 é 2,
2 menos 2, aqui vai dar zero. E nesta última aqui:
-3 menos 2 vezes (-1). Vamos só escrever isso para
a gente não cometer nenhum erro. -3 menos
2 vezes (-1). Vou ficar com: -3 menos,
2 vezes (-1) é -2, vou ficar com -3 mais 2,
isto é a mesma coisa que -1. Então, aqui é -1. E agora eu tenho a minha matriz aumentada
na forma escalonada reduzida por coluna. Esta matriz é a matriz
que está escalonada reduzida por linha
da nossa matriz inicial ali. Esta aqui, vamos
escrever aqui, é a nossa matriz que foi
escalonada reduzida por linha. Minhas entradas principais
são as únicas entradas em suas respectivas
colunas, olha só. Cada entrada vai estar à direita
e na linha abaixo da entrada anterior. E eu não tenho
variáveis livres. Cada coluna tem apenas
uma entrada principal. Agora vamos retornar
ao nosso sistema de equações para ver como ficaram
nossas variáveis. Então, o temos aqui? Vou escrever aqui,
nós temos: x + 0y + 0z = 5. Aqui está o "x", que corresponde
a esta linha aqui. Agora vamos ver aqui, a segunda:
a gente tem 0x + y + 0z = -1. É esta linha aqui. E na nossa última linha,
nós temos: 0x + 0y + z = -1. E assim nós resolvemos
o nosso sistema com três incógnitas e três variáveis,
e esta é a solução. Eu escrevi um pouco
mais afastado para você poder fazer
a correspondência com o resultado. Enfim, eu espero
que tenha percebido a utilidade do escalonamento
na solução do sistema. Até o próximo vídeo!